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 BWM 2018 1. Runde |
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salomeMe
Senior 
Dabei seit: 06.10.2015
Mitteilungen: 451
Wohnort: Deutschland
 |  Themenstart: 2018-03-09
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Die Woche nach dem Abgabetermin ist verstrichen, so dass man jetzt wohl die Aufgaben diskutieren darf.
https://www.mathe-wettbewerbe.de/bwm/aufgaben
Die erste Aufgabe war so gestellt, als ob in Deutschland nur das Dezimalsystem zur Darstellung natürlicher Zahlen zugelassen ist - "die" größte natürliche Zahl mit der geforderten Eigenschaft war zu finden. Wäre z.B. der Satz "Es gibt mehr als eine größte Zahl mit dieser Eigenschaft - 1001 im Binärsystem und 2112 im Dreiersystem." als Widerlegung der Aufgabenstellung angenommen worden? Natürlich hätte man noch zeigen müssen, dass es in den beiden Zahlensystemen keine größere Zahl dieser Art gibt.
Die zweite und dritte Aufgabe waren im Vergleich zur vierten zu leicht, obwohl die dritte mir gefallen hat.
Zur vierten habe ich noch keinen annehmbaren Beweis gefunden, den es aber, wie bei Wettbewerben üblich, geben wird.
Man kann bestimmt zeigen, dass es mindestens 6 verschiedene Abstände zwischen den sechs Punkten geben muss, die sämtliche kleinsten Seiten der 20 Dreiecke bilden.
Für die Anzahl verschiedener größter Abstände kann man bestimmt zeigen, dass es mehr als sechs sind, die größte Seiten der 20 Dreiecke sind. Kompliziert wird es aber zu zeigen, dass bei Anzahlen kleinster bzw. größter Dreiecksseiten kleiner 8 immer Dreiecke nur aus den kleinsten bzw. größten Dreiecksseiten existieren, deren größte bzw. kleinste Seite ebenfalls kleinste bzw. größte in einem anderen der Dreiecke ist. Eventuell gilt diese Annahme aber auch nicht. Über die Anzahl von Seiten, die weder kleinste noch größte von Dreiecken sind, sollte man sich eventuell auch Gedanken machen.
Bei Anzahlen der drei Seitenarten ab in Summe 16, muss es nach dem Schubfachprinzip wegen der genau 15 Abstände zwischen den 6 Punkten die gesuchte Seite geben.
Bin gespannt auf Eure Ideen zur vierten Aufgabe und die Interpretationsmöglichkeiten zur ersten.
beste Grüße
salomeMe
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
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Wohnort: der Nähe von Schwerin
|  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-09
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Hi,
bei der 1. Aufgabe ist die gesuchte Zahl 96433469.
Bei der 4. Aufgabe färbe jede Strecke rot, falls sie die kürzeste Strecke eines der Dreiecke ist und sonst blau. Jedes Dreieck enthält nun eine rote Kante. Zeige nun, dass es ein einfarbiges Dreieck gibt, also ein rotes Dreieck gibt.
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salomeMe
Senior
Dabei seit: 06.10.2015
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-09
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Hallo ochen,
danke für Deinen Tipp zur 4. Aufgabe. Ich arbeite noch an meiner räumlichen Vorstellungskraft, um immer auf ein rotes Dreieck zu kommen.
Dein Lösungsvorschlag zur ersten Aufgabe ist zwar sehr naheliegend, aber da der Begriff Dezimalsystem im Aufgabentext fehlt und in der Schule durchaus Binär- und Hexadezimalsystem behandelt werden, muss wohl der Nachweis von verschiedenen maximalen natürlichen Zahlen, je nach verwendeten Zahlensystemen auch als richtige Lösung gelten. Die Aufgabe ist nicht vollständig gestellt, um ein einziges Maximum beweisen zu können. Es gibt abzählbar unendlich viele dieser Maxima - für jedes denkbare zum Dezimalsystem analoge System mit abweichender Ziffernanzahl ein anderes. Man könnte auch eine recht einfache Formel für alle diese Maxima hinschreiben.
beste Grüße
salomeMe
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salomeMe
Senior 
Dabei seit: 06.10.2015
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-11
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Hallo ochen,
sich alle mögliche Körper, die durch die fast beliebig im Raum wählbaren 6 Punkte aufgespannt werden können, vorstellen zu wollen, war wohl der Grund dafür, dass ich lange zu keiner Lösung gekommen bin.
\hideon
Man betrachtet die vier Dreiecke, die als größte Seite die längste Strecke zwischen zwei der sechs Punkte haben. Es gibt nur drei wesentlich verschiedene Anordnungen für die vier verschiedenen kürzesten Seiten dieser Dreiecke:
a) alle vier gehen von einem der Endpunkte der längsten Seite aus
b) drei gehen von einem der Endpunkte der längsten Seite aus und die vierte vom anderen
c) von jedem der Endpunkte der längsten Seite gehen zwei der kürzesten aus
zu a) und zu b) lassen sich zum einfachen Fall, es gehen mindestens 3 kürzeste Seiten von einem der Endpunkte der längsten Seite aus, zusammenfassen. In diesem Fall verbinden wir drei freien Endpunkte der kürzesten Seiten zu einem Dreieck. Dessen kürzeste Seite, bildet mit den zwei kürzesten Seiten, die von ihren Endpunkten zum entsprechenden Endpunkt der Längsten Seite verlaufen ein gefordertes Dreieck aus drei kürzesten Seiten von Dreiecken.
zu c) Wir verbinden die freien Endpunkte von den zwei von einem der Endpunkte der längsten Seite ausgehenden kürzesten Seiten durch eine Strecke. Die Endpunkte dieser Strecke verbinden wir mit dem anderen Endpunkt der längsten Seite. Das gebildete Dreieck hat eine kürzeste Seite. Ist diese die Verbindungsstrecke zwischen den zwei kürzesten Seiten, haben wir wieder ein Dreieck aus drei kürzesten Seiten. Andernfalls haben wir am anderen Endpunkt der längsten Seite drei ausgehende kürzeste Seiten und haben diesen Teilfall von c) auf Fall a) zurückgeführt und damit ist wieder ein Dreieck aus nur kürzesten Seiten von Dreiecken nachweisbar.
Die längste Seite eines Dreiecks aus den kürzesten Seiten anderer Dreiecke erfüllt die geforderte Eigenschaft.
\hideoff
beste Grüße
salomeMe
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Ex_Senior
| Beitrag No.4, eingetragen 2018-03-17
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Ich bin gerade in die Korrektur meiner Tüte gestartet, und dabei über eine schöne Lösung zur vierten Aufgabe gestolpert. Dass sie von einem Achtklässler stammt, macht die Sache noch bemerkenswerter. Die Lösung selbst hat er natürlich mit anderen Worten beschrieben, aber ich gebe hier mal eine Variante mit mathematischer Fachsprache (und damit dann auch sprachlich, aber nicht inhaltlich gekürzt) an:
Wir wissen, dass in jedem vollständigen Graph mit 6 Knoten, dessen Kanten mit je einer der beiden Farben rot oder blau gefärbt sind, mindestens ein einfarbiges Dreieck existiert. Wir färben nun alle Strecken zwischen je zwei unserer 6 Punkte rot ein, die die längste Strecke in mindestens einem Dreieck sind, alle anderen blau. Dann gibt es mindestens ein einfarbiges Dreieck. Jedoch kann dieses nicht blau sein, da auch in einem solchen Dreieck eine längste Strecke existieren würde, diese also rot und nicht blau eingefärbt ist. Also existiert ein Dreieck D, dessen drei Strecken alle rot, d.h. längste Seiten in mindestens einem Dreieck, sind, insbesondere auch die kürzeste Strecke in D, was den Existenznachweis erbringt.
Interessant ist hier die Variante, dass gar nicht auf die blauen Kanten eingegangen wird, da ein einfarbig blaues Dreieck ja gar nicht existieren kann.
Cyrix
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9810
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-18
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\quoteon(2018-03-17 20:44 - cyrix in Beitrag No. 4)
Wir wissen, dass in jedem vollständigen Graph mit 6 Knoten, dessen Kanten mit je einer der beiden Farben rot oder blau gefärbt sind, mindestens ein einfarbiges Dreieck existiert. \quoteoff
Erstaunlich.
Ich hätte das in der 8. Klasse und auch in der 13 und auch heute noch nicht gewusst.
Ich hatte immer eine eher kritische Meinung zum Schulstoff.
Wally
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Ex_Senior
| Beitrag No.6, eingetragen 2018-03-18
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Mal wieder ein bisschen nicht-representative Statistik:
Diesmal hatte ich eine recht junge Teilnehmer-Auswahl in meiner Tüte: Median in Klassenstufe 9, darunter einmal Klassenstufe 5. Demzufolge wurden auch relativ viele Aufgaben nicht bearbeitet (4 meiner 7 Teilnehmer haben die vierte Aufgabe nicht bearbeitet, 3 der 7 nicht die dritte). Alles zusammen führt zu nicht unbedingt überragenden Ergebnissen:
Ich schlage vor:
3 dritte Preise,
3 Annerkennungen und
1 mal keinen Preis.
Was häufiger problematisch war, war, dass in Aufgabe 1 das System zur Konstruktion der gesuchten Zahl nicht weiter begründet wurde. Insbesondere wurde oft eine Symmetrie-Eigenschaft postuliert, auf deren Notwendigkeit dann nicht weiter eingegangen wurde. (Da es aber die 1. Aufgabe war, ist da nicht mit zu strengem Blick darauf zu schauen. Will sagen: Daran scheitert ein dritter Preis nicht...)
Die schwierigste Aufgabe war (wie erwartet) die vierte Aufgabe. Da gab es schöne Ideen, aber keine wurde vollständig durchgezogen, sodass ich hier nie die höchste Bewertungsstufe vergeben habe. Darauf folgt die dritte Aufgabe als Geometrie, die aber, wenn sie bearbeitet wurde, meist ganz ordentlich gelöst wurde. Die zweite Aufgabe war am schul-ähnlichsten und viel dementsprechend auch deutlich am besten aus, als insbesondere besser als die Einstiegsaufgabe.
Zur Geometrie noch eine kurze Bemerkung: Hier hat mich die Einsendung aus der Klassenstufe 5 durch ihre Klarheit sehr beeindruckt. Ich als kleiner Pimpf in dem Alter hätte das so noch nicht hinbekommen. Alle Achtung!
Cyrix
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AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3858
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
 | Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-18
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Hallo zusammen,
ich halte es für nahezu ausgeschlossen, dass ochon und cyrix' Achtklässler einen annähernd wortgleichen (und vor allem "farbgleichen"!) Beweis zufällig gefunden haben. Wenn also nicht beide Zugriff auf die gleiche Quelle haben (was ich bei dem Schüler/der Schülerin auszuschliessen hoffe), so liegt für mich nahe, dass man solche Themen anscheinend heutzutage in der Schule lernt.
Ich finde das großartig, es erscheint mir viel sinnvoller als blöde Rechnerei oder Kurvendiskussionen. Allerdings entdecke ich keinen Hinweis darauf, dass ein G8-Gymnasium in NRW graphentheoretische Probleme erörtert. Das ist einerseits bedauerlich und andererseits lässt es mich ein wenig an der Chancengleichheit beim Wettbewerb zweifeln (allerdings kenne ich mich damit nicht aus).
Weiß hier jemand Genaueres?
Mein persönlicher Eindruck der Aufgaben ist - naturgemäß - ein völliger anderer als der, den Cyrix kleine Stichprobe nahelegt. Aufgabe 4 finde ich interessant (und relativ einfach), Aufgabe 1 sehe ich mehr als ein Rätsel, das zu lösen Spass bereitet, aber nicht sonderlich viel Mathematik braucht, Aufgabe 2 finde ich nicht besonders erhellend, während ich mich mit Aufgabe 3 erst gar nicht beschäftigt habe, als ich "spitzwinklig" und "Höhe" nur gelesen habe. Nach einer erneuten Ansicht finde ich die Aufgabe aber für Schüler gut geeignet und sicher auch recht spannend.
lg, AK.
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Ex_Senior
| Beitrag No.8, eingetragen 2018-03-18
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Der Achtklässler hat nicht von Graphen gesprochen. Er hat sich in einer Vorüberlegung mit der Frage beschäftigt, ob man irgendwie bei 6 Punkten ein gleichfarbiges Dreieck vermeiden kann, wenn man für jede Strecke nur die Farben rot oder blau zur Verfügung hat. (Hier habe ich den Satz, den er dabei beweist, und der jetzt auch in der Landesrunde der MO auftauchte und dort verallgemeinert wurde, der Kürze wegen direkt angegeben. Man hätte ihn auch einfach angeben und verwenden können.)
Auch ist Graphentheorie kein klassischer Schulstoff. Wohl aber bietet es sich als Thema sehr gut an, womit man gute Schülerinnen und Schüler fördern kann, da man keinerlei Voraussetzungen aus dem normalen Schulstoff benötigt, aber viele interessante Dinge erkennen kann. Insofern ist es ein Standard-Thema in Förder-Maßnahmen, AGs o.Ä.
Cyrix
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salomeMe
Senior
Dabei seit: 06.10.2015
Mitteilungen: 451
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-19
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Hallo cyrix,
danke für Deine interessanten Beiträge. Im Nachhinein gesehen ist die 4. Aufgabe nicht so schwer, doch baute sie mit den fast beliebigen 6 Punkten im Raum bei mir eine große Hemmschwelle auf - so in Richtung die "Kepplervermutung" kann ich mir leichter als richtig vorstellen.
Hat der Satz von der Existenz eines einfarbigen "Dreiecks" in einem mit zwei Farben gefärbten vollständigen Graphen mit > 5 Knoten einen Namen oder wenigstens eine vermutlich erste Nennung? Der Nachweis bei 6 Knoten ist wahrscheinlich zu einfach, dass man sich dazu Gedanken gemacht hat. ;-)
Ist meine Kritik an der Formulierung der ersten Aufgabe nicht nachvollziehbar? Bei mir hat sie sofort den Widerspruchsungeist erregt. Dieser Ungeist hat auch die 4. Aufgabe zu einem Problem für mich werden lassen - wollte ein Gegenbeispiel finden.
beste Grüße
salomeMe
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Ex_Senior
| Beitrag No.10, eingetragen 2018-03-19
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Im Englischen habe ich für den "Satz" (in jedem vollständigen kanten-zwei-gefärbten Graph mit 6 Knoten gibt es ein einfarbiges Dreieck) den Namen Theorem on friends and strangers gefunden. Ich kenne es als erstes nicht-triviale Resultat der Ramsey-Theorie, was man auch kurz als $R(3,3)=6$ bezeichnen kann.
Bezüglich des Zahlsystems: Es ging um die Einstiegsaufgabe in der ersten Runde eines grundständigen Wettbewerbs, der sich prinzipiell an alle Schülerinnen und Schüler richtet. Da den allermeisten von diesen gar nicht bewusst ist, dass es auch andere Zahlensysteme gibt, darf davon ausgegangen werden, dass, solang nichts anderes gesagt ist, immer im den meisten intuitiven Dezimalsystem gearbeitet wird. (Ein Hinweis, dass es sich um dieses dreht, wäre zwar mathematisch sinnvoll gewesen, hätte aber tendenziell als Fremdwort o.Ä. eher abschreckend wirken können. Und genau das will man ja insbesondere mit diesen Einstiegen nicht, sondern die Leute für den Wettbewerb interessieren. Es ist also eine Abwägung zwischen sprachlicher/ mathematischer Genauigkeit und Wirkung auf Leute, die erst wieder/ weiter für Mathe begeistert werden sollen.)
Cyrix
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salomeMe
Senior
Dabei seit: 06.10.2015
Mitteilungen: 451
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-20
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Hallo cyrix,
danke für den Satznamen und den Verweis auf die Ramsey-Theorie. Dadurch ist mir eingefallen, dass diese Aufgabe im Buch "Mathematische Detektiv-Geschichten" von Prof. Stewarts als eine von vielen unterhaltsamen Geschichten auftauchte - "Die Sause mit den sechs Gästen". Leider bin ich inzwischen sehr vergesslich geworden.
Die Kompromissbereitschaft bei der Formulierung der ersten Aufgabe kann ich schon verstehen, zumal meine jüngste leidlich mathematisch interessierte Tochter leider keinerlei Problem in der Aufgabenstellung gesehen hat. Andererseits stellt man mathematische Talente damit vor das Problem, die Aufgabenstellung zu widerlegen. Wird eine mathematisch exakte Widerlegung der ersten Aufgabe, auch als richtige Lösung gewertet? (Falls nicht, wäre das aus meiner Sicht fatal, weil es bei den gegebenen Voraussetzungen die einzig mathematisch richtige Lösung ist.)
Kompromisse können zu Konflikten führen - zwei sich widersprechende Ergebnisse müssten als richtig gewertet werden.
beste Grüße
salomeMe
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salomeMe hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
salomeMe hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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