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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Kategorientheorie: Warum sind in jedem transportablen Konstrukt mit kleinen Fasern alle epis surjektiv?
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Universität/Hochschule J Kategorientheorie: Warum sind in jedem transportablen Konstrukt mit kleinen Fasern alle epis surjektiv?
Nighel123
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  Themenstart: 2018-03-20

Hallo, ich habe in meinem Kategorientheorie Buch gelesen, dass in einem transportablen Konstrukt mit kleinen Fasern alle epimorphismen genau die morphismen sind, die eine surjektive zugrundeliegende Funktion haben. Die Definitionen habe ich mal hier aufgeschrieben: http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36208_Bildschirmfoto_2018-03-20_um_15.51.26.png und die eine Richtung habe ich auch hinbekommen (s.u.) aber bei der andern haperts. Hier einmal das was ich habe: http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36208_Bildschirmfoto_2018-03-20_um_15.52.52.png


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-20

Ich bezeichne die Kategorie mit $\mathcal{C}$. Ich bezeichne die drei Annahmen mit (F) Fasern sind klein (T) Transport-Eigenschaft (E) Epimorphismen sind surjektiv auf den Trägermengen Wir haben eine Menge $\{|A|/R : R \text{ ist Äquivalenzrelation auf } |A|\}$ und daher wegen (F) ebenfalls eine Menge $\mathcal{S} := \{B \in \mathcal{C} : |B| = |A|/R : R \text{ ist Äquivalenzrelation auf } |A|\}$. Nun sei $A \to B$ ein Epimorphismus. Wegen (E) ist die Abbildung $|A| \to |B|$ surjektiv. Folglich faktorisiert sie als $|A| \to |A|/R \to |B|$ für eine Äquivalenzrelation $R$, wobei die erste Abbildung die kanonische Projektion und die zweite Abbildung ein Isomorphismus ist ("Isomorphiesatz für Mengen"). Wegen (T) gibt es ein $B' \in \mathcal{C}$ mit $|B'| = |A|/R$ und einen Isomorphismus $B' \to B$, der $|A|/R \to |B|$ liftet. Das Diagramm $\require{xypic} \xymatrix{ & A \ar[dr] \ar[dl] & \\ B' \ar[rr] && B}$ kommutiert, weil dies auf den Trägermengen der Fall ist. Also ist der Epimorphismus $A \to B$ zum Epimorphismus $A \to B'$ isomorph, und $B'$ kommt hier aus der Menge $\mathcal{S}$.


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Nighel123
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21

Super danke!


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