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Mathematik » Schulmathematik » kpt-Folge berechnen
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Schule kpt-Folge berechnen
Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-20


Ich möchte das erste Vorkommen der Kleinsten Primteiler-Folge 3,19,5,3 berechnen.

Nach dem Chinesischen Restsatz geht das so: 3*19*5*3 + (2*19) = 285*3 = 855 + 38 = 893


Das stimmt soweit ...
Im 145. Interv. v. 867 - 873 = 0 PZ 11 13
Im 149. Interv. v. 891 - 897 = 0 PZ 19 5
Im 150. Interv. v. 897 - 903 = 0 PZ 29 17
Im 154. Interv. v. 921 - 927 = 0 PZ 13 5 25

nur ich versteh nicht, wo das 2 * 19 herkommt ....




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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-21


2018-03-20 23:36 - Bekell im Themenstart schreibt:
nur ich versteh nicht, wo das 2 * 19 herkommt ....

Es versteht wohl leider mal wieder niemand, was du hier mitteilen möchtest  eek



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-03-21


Hallo
 1. warum kommt in deiner Liste die 3 2mal vor. und wenn du das willst nicht einfach 3,3^2...
was soll die  893 angeben?
 und was hat das mit dem chin, Restsatz zu tun?
was bedeutet  "Im 145. Interv. v. 867 - 873 = 0 PZ 11 13
 die 11 und 13, warum sind da nicht auch 2, 3, 5 enthalten oder was bedeutet das mit dem Intervall?
wenn ich deine Forderung "Ich möchte das erste Vorkommen der Kleinsten Primteiler-Folge 3,19,5,3 berechnen.
 ist das einfach die Zahl die aus genau dem Produkt dieser PZ besteht, also suchst du anscheinend nicht das.
Völlig ohne Verständnis mal wieder
lula


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21


2018-03-21 13:29 - lula in Beitrag No. 2 schreibt:
 1. warum kommt in deiner Liste die 3 2mal vor?


und wenn du das willst nicht einfach 3,3^2...
Stelle die die Folge der natürlichen Zahlen vor. Jetzt streiche alle geraden Zahlen raus. Und jetzt schreibe unter alle ungeraden zusammengesetzten zahlen den Kleinsten Primteiler. Die so gebildete Folge ist unendlich. und irgendwo kommt das Stück ...3,19,5,3.... Das wollen wir berechnen, gefunden hab ich es schon.


was soll die  893 angeben?
ist durch 19 teilbar



 und was hat das mit dem chin. Restsatz zu tun?
das frag ich mich auch...



was bedeutet  "Im 145. Interv. v. 867 - 873 = 0 PZ 11 13
Ich hab mir ein Tool geschrieben, welches bei jeder arithmetischen Folge, - ich muß die immer angeben, die ich meine, die pz-freien-Intervalle raussucht. Der Ausdruck meint, zwischen 867 und 873 in der 3-er Malfolge gibt es 2 ung. zusammenges. Zahlen (uNPZ) im Intervall, wovon der eine durch 11, der andre durch 13 teilbar sind. Beides sind die kleinsten Primteiler.  
 

 die 11 und 13, warum sind da nicht auch 2, 3, 5 enthalten oder was bedeutet das mit dem Intervall?
Weil die dort in dem Intervall nicht als Primteiler bei ungeraden Zahlen auftauchen.


wenn ich deine Forderung "Ich möchte das erste Vorkommen der Kleinsten-Primteiler-Folge 3,19,5,3 berechnen.", ist das einfach die Zahl die aus genau dem Produkt dieser PZ besteht, also suchst du anscheinend nicht das.
Ja, das sagt der kinesische Restsatz, aber leider ist es nicht so, wie man sieht...


Völlig ohne Verständnis mal wieder
ich hoffe, ich hab Dir geholfen ...:-)


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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-03-21


Hallo
 vielleicht weiss ich ein bisschen besser was du willst, aber das wesentliche bleibt geheimnisvoll. Ich muss erst mal die Wortschöpfungen  wie " 3-er Malfolge " die nicht etwa 867 870, 873 enthält  also die folge von "Mal drei Zahlen" sondern  offensichtlich 869 wil durch 11 tb und 871 weil durch 13 tb
 aber warum dann nicht das Intervall 869, 871?
und 855 ist auch durch 19 tb und 855+n*19 oder 855+19 auch? anscheinend soll n aber gerade sein, da du ja nur mit ug Zahlen hantierst?
und was das mit dem chin Restsatz zu tun hat ist weiter unter einem dicken Schleier verborgenrichtig ist, dass zwischen 855 und 855+2*19 keine ungerade durch 19 tb Zahl liegt. hat aber nichts mit klugen Chinesen zu tun
Gruß ledum


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21


Man kann das Problem anders lösen, fällt mir grade ein.

Nochmal: Gesucht ist das erste Vorkommen der kleinsten Primteilerfolge 3,19,5,3 (KPT-Folge)

Da die 5 dabei ist, muß die dazugehörige Zahl auf 5 enden. Daraus folgt, daß die davorstehende u. Zahl auf 3 enden muß. Irgendwas mal 19 = xx3. 19 mal was ergibt 3 hinten? Es muß was mit 7 hinten sein!
Wir testen jetzt
1. 7*19 = 133
2. 17*19 = 323
3. 27*19 = 513
4. 37 *19 = 703
5. 47 * 19 = 893

Zudem darf die Zahl mit der 5 hinten nicht durch 3 teilbar sein, weil das Duo durch zwei durch 3 teilbare Zahlen eingerahmt ist, also die 1 und 7 hinten.

Zu testen wären
135/3 = 45 - geht nicht, weil ohne Rest
325/3 = ginge
515/3 = ginge
705/3 = 235 - geht nicht
893/3 = ginge

Jetzt muß noch der dazugehörige 1-er oder 7-er auch 3 teilbar sein. Ein Test reicht!
321/3 = 107
511/3 = geht nicht - krummer Rest
891/3 = 297

Wir hätten also die Folge 321/3; 323/19; 325/5; 327/3

Aber die Folge fällt aus, weil 323 noch durch eine kleinere Primzahl als 19 teilbar ist, durch die 17.
Daraus folgt dann, 891-897 ist der früheste Ort, an dem die KPT Folge 3,19,5,3 das erste Mal auftritt.

Das war jetzt eine Rechenanweisung für die Hand.... ich hab mich hindurchgewurstelt. Bin mir aber sicher, daß man das automatisieren kann? Ich suche also eine Formel, in der man vorne irgendwie die KPT-Folge eingibt, und hinten kommt die erste Zahl raus. Ist es nicht so, was man programmieren kann, kann man auch berechnen, oder stimmt die Annahme nicht?

Kann man das irgendwie vereinfachen?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
Ich würde das so rechnen, wenn ich dich richtig verstanden habe:
Du suchst eine kleinste...
- ungerade Zahl u,
so dass...
- u durch 3 teilbar ist
- u+2 durch 19 teilbar ist
- u+4 durch 5 teilbar ist
- u+6 durch 3 teilbar ist (folgt aus obigen)

Damit kann man beginnen:
\(u = 2k+1 = 3l \to k = 3k'+1; u = 2(3k'+1)+1 = 6k'+3\\
u+2 = 6k'+5 = 19m \to k' = 19k''+15; u = 6(19k''+15)+3 = 114k''+93\\
u+4 = 114k''+97 = 5n \to k'' = 5k'''+2; u = 114(5k'''+2)+93 = 570k'''+321\)

Damit haben wir alle Zahlen, die deine Bedingungen erfüllen: \(570k+321\)
Mit \(k=0\) ist die kleinste: 321.

Auffällig ist, dass der Faktor vor dem k das Produkt aller verwendeten Primzahlen und 2 (da es ungerade werden soll) und 2 ist. Der Summand / das Absolutglied danach ergibt sich vielleicht auch schneller mit anderen Methoden.
\(\endgroup\)


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
2018-03-21 18:00 - MartinN in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich würde das so rechnen, wenn ich dich richtig verstanden habe:
Du suchst eine kleinste...
- ungerade Zahl u,
so dass...
- u durch 3 teilbar ist
- u+2 durch 19 teilbar ist
- u+4 durch 5 teilbar ist
- u+6 durch 3 teilbar ist (folgt aus obigen)

@MartinN
ja, korrekt - Du kennst das Problem von Legendre und hast mich auf Anhieb verstanden ....


Damit kann man beginnen:
\(u = 2k+1 = 3l \to k = 3k'+1; u = 2(3k'+1)+1 = 6k'+3\\
u+2 = 6k'+5 = 19m \to k' = 19k''+15; u = 6(19k''+15)+3 = 114k''+93\\
u+4 = 114k''+97 = 5n \to k'' = 5k'''+2; u = 114(5k'''+2)+93 = 570k'''+321\)

Ja, das ist dasselbe Ergebnis, wie ich es habe= 891/3; 893/19; 895/5; 897/3, denn 570+321 = 891
bloß ich versteh die Zeichen nicht: Was ist K'? und l, m, n sind wohl die verschiedenen Zahlen, oder

Soll das jetzt die Formel sein? Sieht mehr wie eine Rechenanweisung aus...Nimm die doch mal auseinander und schreib hinter jeden Schritt mit Worten, was das meint, denn Dein Weg ist ein andrer, als ich ihn genommen habe, das sieht man ja an den Zahlen, wir haben aber dasselbe Ergebnis, also vermutlich haben wir beide richtig gerechnet....:-)



Damit haben wir alle Zahlen, die deine Bedingungen erfüllen: \(570k+321\)
Mit \(k=0\) ist die kleinste: 321.
.. der wird aber gestört durch die 17, die kleiner als 19...


Auffällig ist, dass der Faktor vor dem k das Produkt aller verwendeten Primzahlen und 2 (da es ungerade werden soll) und 2 ist. Der Summand / das Absolutglied danach ergibt sich vielleicht auch schneller mit anderen Methoden.

Was meinst Du mit Absolutglied? Was sind die verwendeten PZ? 3*5*19 = 285 ??

Noch ne Frage: Ich hatte ganz oben diese Tabelle:
1. 7*19 = 133
2. 17*19 = 323
3. 27*19 = 513
4. 37 *19 = 703
5. 47 * 19 = 893

Kann man nicht von vorn herein auf die letzte Zeile tippen, weil da ja schon die Nr. 5 Steht?


Wie findest Du den Namen KPT-Folge?


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-03-21


Meine Lösung:

(u, u+2, u+4, u+6), wobei u = 19(47 + 30k) - 2 mit einer natürlichen Zahl k, sodass 47 + 30k keinen Primfaktor < 19 enthält.

k = 0 liefert das Beispiel (891,893,895,897) aus Beitrag #5.



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21


Das ist mir vollkommen schleierhaft, StrinAltEntf, aber richtig .....

Wir brauchen so einen Satz: Keine KPT-Folge ist vor dem Produkt ihrer Glieder zu finden. Läßt der sich halten? In diesem Fall also 3*19*5*3 = 855

Wir können ja erst mal Gegenbeispiele suchen. So könnte man den Satz erstmal versuchen zu Wiederlegen. Das ist einfacher, denn wenn er nicht stimmt, kann er in die Mülltonne.

Ja, da kann er hin, denn die KPT-Folge 7, 3, 5 beginnt bei 91, 93, 95 und ist vor 3*5*7 = 105.

Dann nehmen wir folgenden, garantiert richtigen Satz: Keine KPT-Folge ist vor dem Quadrat ihres größten Gliedes zu finden.

Der Satz ist richtig, weil eine PZ erst ab ihrem Quadrat kleiner Primteiler einer anderen Zahl werden kann. Ist jetzt ein PZ größter kleinster Primteiler einer KPT Folge, so kann die KPT-Folge also maximal mit einem Quadrat beginnen.

Daraus folgt wiederum, da ein Quadrat ja kein Teil eines interquadratischen Intervalles sein kann, daß  .....

man sehe sich mal die KPT-Folge 5,3,7,11,3,5 von 115-125 an. Die ist 6 lang und hat das 11-er Quadrat rechts der Mitte. Ein typischen Zentralintervall mit den beiden höchsten je einmal in der Mitte.
Das möglichst kleinste größte Glied einer 6 Folge KPT-Folge ist ja die 11. Gebraucht würde diese KPT Folge zwischen 36 und 49. Wir finden Sie aber erst über dem Quadrat des größten Gliedes.


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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-03-21


2018-03-21 19:34 - Bekell in Beitrag No. 9 schreibt:
Keine KPT-Folge ist vor dem Produkt ihrer Glieder zu finden

Wie sieht's mit der "kleinsten Primteiler Folge" 3,5,7 aus?



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
Jep, kleinere Primfaktoren als Teiler habe ich nicht beachtete :D
Entsprechend waren meine 4 Bedingungen (ungerade Zahl, u durch 3, u+2 durch 19 und u+4 durch 5 teilbar) doch nicht vollständig.

Die verschiedenen k's (also k, k', k'', ...) repräsentieren die Variable k, welche nacheinander abgewandelt wurde.
Also zuerst: 2k+1 für alle ungerade Zahlen (Bedingung 1)
Dann: 6k'+3 für alle ungeraden, durch 3-teilbaren Zahlen (Bedingung 1 und 2)
Dann: 114k''+93 für alle ungeraden, durch 3-teilbaren Zahlen, so dass auch deren zweiter Nachfolger durch 19 teilbar ist (Bedingung 1 bis 3)
usw.

Auf diese Abwandlung von k kam ich, durch die entsprechenden Gleichungen. 3l, 19m, 5n, ... repräsentieren dabei die durch 3, 19, 5, ... teilbaren Zahlen.

So kam ich etwa mit den Bedingungen 1 bis 3 auf u = 114k'' + 93
Nun soll u+4 noch durch 5 teilbar (= 5n) sein:
u + 4 = 114k'' + 97
Dies sei durch 5 teilbar, also:
114 k'' + 97 = 5 n

Nun suchen wir ein x für k'' = 5k''' + x, so dass diese Gleichung immer stimmt:
k'' = 5 k''' + x -> 114 (5 k''' + x) + 97 = 5 n
Beide Seiten kann man hier mod 5 rechnen: -x + 2 = 0 mod 5
Damit komme ich auf x = 2.

Daher meine Gleichung für k'': k'' = 5k''' + 2

Dies dann in u eingesetzt: u = 114k'' + 93 = 114 (5k''' + 2) + 93 = 570 k''' + 321

Dies ist nun eine Gleichung für u, die alle oben genannten, vier Bedingungen erfüllt.

Zur Übersichtlichkeit habe ich am Ende dann wieder die Striche nach dem k gelöscht, also: u = 570 k  + 321
[andere Bedingungen, etwa das u+2 nicht durch 7, 11, 13 und 17 teilbar sei, ist hier nicht berücksichtigt]


Am Ende kommt man also auf eine Gleichung der Form: u = (2*3*5*19) k + x
Der Faktor vor dem k ist dabei das Produkt aller Primteiler, die man untersucht hat, und der 2 (da man auch die Teilbarkeit durch 2 berücksichtigt hat, sollen ja ungerade Zahlen sein). Bzw. allgemeiner: Der Faktor vor dem k ist das kgV aller berücksichtigten Teilbarkeiten.

Das Absolutglied (das x am Ende, welches nicht als Faktor vor einem k liegt) ist dabei individuell zu finden, entsprechend der gegeben Bedingungen.
Also: u = kgV(2,3,5,19) * k + x.



Aber:
(1) Wie man effektiver das x findet... kA - ev. hat der chinesische Restblub was damit zu tun.
(2) Wie man zusätzlich andere Bedingungen berücksichtige, etwa dass zusätzlich noch u+2 nicht durch die kleineren Primzahlen teilbar ist... kA

Wenn man (2) vernachlässigt, dann gilt zumindest: \(0 \leq x < kgV(t_1,t_2,...,t_n)\), wobei \(t_i\) die betrachteten Teiler sind (hierbei 2, 3, 5, 19). Mit weiteren Bedingungen kann diese kleinste Zahl, ab welcher diese Teilerreihenfolge gilt, natürlich größer sein (aber muss es eventuell nicht).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
\(\endgroup\)


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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-03-21


2018-03-21 19:34 - Bekell in Beitrag No. 9 schreibt:
Dann nehmen wir folgenden, garantiert richtigen Satz: Keine KPT-Folge ist vor dem Quadrat ihres größten Gliedes zu finden.

Die KPT-Folge 3,29,31 beginnt bei 27.



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Bekell
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2018-03-21 22:06 - querin in Beitrag No. 12 schreibt:
2018-03-21 19:34 - Bekell in Beitrag No. 9 schreibt:
Dann nehmen wir folgenden, garantiert richtigen Satz: Keine KPT-Folge ist vor dem Quadrat ihres größten Gliedes zu finden.
Die KPT-Folge 3,29,31 beginnt bei 27.

Nein, 27 ist durch 3 teilbar, aber 29 und 31 sind Primzahlen und keine kleinsten nichttrivialen Primteiler....


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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-03-21


2018-03-21 22:09 - Bekell in Beitrag No. 13 schreibt:
Nein, 27 ist durch 3 teilbar, aber 29 und 31 sind Primzahlen und keine kleinsten nichttrivialen Primteiler....

Das mit den nichttrivialen Primteilern ist aber neu, oder? (Siehe dein eigenes Beispiel 7,3,5)



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Bekell
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2018-03-21 22:13 - querin in Beitrag No. 14 schreibt:
2018-03-21 22:09 - Bekell in Beitrag No. 13 schreibt:
Nein, 27 ist durch 3 teilbar, aber 29 und 31 sind Primzahlen und keine kleinsten nichttrivialen Primteiler....
Das mit den nichttrivialen Primteilern ist aber neu, oder? (Siehe dein eigenes Beispiel 7,3,5)

Nein, nur bei Primzahlen, die eh keine weiteren Teiler haben, ist es überflüssig von Primteilern zu reden, da die 1 seit Euler keine PZ mehr ist, und kpt-Folgen betrachten, wo die kleinste PZ eh die 3 ist.


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Bernhard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-03-21


Hallo Bekell!

Soll das jetzt die Formel sein? Sieht mehr wie eine Rechenanweisung aus...

Das ist es doch gerade! Jede Formel ist eine Rechenanweisung! Das Ausrechnen mußt Du schon selber machen. Das kann die Formel nicht. Dafür gibt sie Dir den Rechenweg vor - für jeden Wert, den Du einsetzen willst.

Also was bist Du darüber jetzt so enttäuscht?

Viele Grüße, Bernhard


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"Wichtig ist, daß man nie aufhört zu fragen"
"Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuches, sie zu erwerben"
Albert Einstein



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-03-22

\(\begingroup\)
"Keine KPT-Folge ist vor dem Quadrat ihres größten Gliedes zu finden."

In deinem Sinne hast du damit recht...

Sei \(p \in prim\) der größte, betrachtete Primteiler. So suchen wir eine Zahl \(z\) mit dem kleinsten Teiler \(1 < t(z) \leq \sqrt{z}\) [wenn z eine Primzahl ist, so existiert dieser nicht]: \(t(z) = p\).

Wenn \(p\) dieser Teiler ist, so gilt insbesondere: \(p \mid z \to z = \lambda p\).
Außerdem gelte per Definition von \(t(z)\) dann: \(p \leq \sqrt{z} \to z \geq p^2\).

Damit muss die Zahl \(z\) mindestens so groß wie \(p^2\) sein, damit \(p\) dieser besondere Teiler \(t(z)\) sein kann.

Was bringt dir jetzt diese Überlegung?


Edit:
Generell gilt mit der obigen Definition der Funktion \(t(z)\) als kleinster Teiler einer Zahl, der größer als 1 aber kleiner-gleich dessen Wurzel ist:
\[p,p_i \in prim; a_i \in \IN:\\
t\left(p \cdot \prod_{p_i \geq p} p_i^{a_i} \right) = p\]
Somit ist deren kleinste Zahl \(t(p^2) = p\), oder am Bsp. von 19:
- 19^2; 19*23; 19*29; 19*31; ... 19*19*19; 19*19*29; ...
Also, mit der Primfaktorzerlegung kann man die in Frage kommenden Zahlen gut eingrenzen :D
\(\endgroup\)


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