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  Divergenz des Vektorpotenzials, Elektrodynamik |
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Sito
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 05.11.2016
Mitteilungen: 229
 |  Themenstart: 2018-03-24
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Guten Tag zusammen,
ich besuche gerade eine Vorlesung zur Elektrodynamik und verstehe eine Herleitung nicht. Ich lasse die Vektorpfeile weg, da das Ganze sonst leider sehr unleserlich wird... Es sei \(\frac{\partial \rho}{\partial t}=0\) und somit \(\operatorname{div}{j}=0\). Es soll gezeigt werden, dass \(\operatorname{div}_{{x}}{A}({x})=0\) gilt, wenn \({A}({x})\) das Vektorpotenzial ist.
\(\begin{align}\operatorname{div}_{{x}}{A}({x})&= \frac{k}{c}\int d^3y~ {j}({y})\cdot \nabla_{{x}}\frac{1}{|{x}-{y}|}\\
&= -\frac{k}{c}\int d^3y~ {j}({y})\cdot \nabla_{{y}}\frac{1}{|{x}-{y}|}\\
&\overset{(*)}{=} \frac{k}{c}\int d^3y~ (\nabla_{{y}}\cdot{j}({y}))\frac{1}{|{x}-{y}|}\\ &=0\end{align}\)
Der Schritt von \((1)\) zu \((2)\) ist noch ok, aber bei \((*)\) komme ich leider nicht mit... Kann mir vlt. jemand erklären was genau dort geschieht?
Gruss Sito
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wessi90
Senior 
Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2127
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-24
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Hallo,
hier wurde partiell integriert. Der Term ohne Integral fällt dabei weg, weil er im unendlichen verschwindet.
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Profil
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dromedar
Senior
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Wohnort: München
 | Beitrag No.2, eingetragen 2018-03-24
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Hallo Sito,
\quoteon(2018-03-24 14:27 - Sito im Themenstart)
Der Schritt von \((1)\) zu \((2)\) ist noch ok, aber bei \((*)\) komme ich leider nicht mit...
\quoteoff
An dieser Stelle wird partiell integriert und dabei ausgenutzt, dass kein Randterm auftritt, weil die Felder für $|{\bf x}|\to\infty$ hinreichend schnell verschwinden.
Für ein endliches Gebiet $G$ sieht das Ganze so aus: Für ein Vektorfeld ${\bf v}$ und ein Skalarfeld $u$ ist
$\mathop{\rm div}({\bf v}u)=
(\mathop{\rm div}{\bf v})\,u+
{\bf v}\cdot\mathop{\rm grad}u$ .
Also haben wir
$\begin{align*}
\int_{\partial G}{\bf v}\,u\;{\rm d}\boldsymbol\sigma
&=\int_G\mathop{\rm div}({\bf v}u)\;{\rm d}^3y=\\[1.5ex]
&=\int_G(\mathop{\rm div}{\bf v})\,u\;{\rm d}^3y+
\int_G{\bf v}\cdot\mathop{\rm grad}u\;{\rm d}^3y
\end{align*}$
Im Grenzwert $G\to{\Bbb R}^3$ – wir können z.B. eine Kugel mit Radius $R$ betrachten und dann $R\to\infty$ gehen lassen – verschwindet das Integral über $\partial G$ und es bleibt
$\begin{align*}
\int_G(\mathop{\rm div}{\bf v})\,u\;{\rm d}^3y=-
\int_G{\bf v}\cdot\mathop{\rm grad}u\;{\rm d}^3y
\end{align*}$ .
Und diese Formel wurde bei $(*)$ angewandt mit
${\bf v}({\bf y})={\bf j}({\bf y})$ und $\displaystyle u({\bf y})={1\over|{\bf x}-{\bf y}|}$ .
Grüße,
dromedar
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Sito hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sito hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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