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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Differenzierbar in manchen Punkten
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Universität/Hochschule Differenzierbar in manchen Punkten
janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-22

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

ich möchte Hilfe mit einer Aufgabe:




Meine Gedanken:

(Das ist die Funktion \(x^2(x-1)\))

Da für jede nicht-rationale Zahl die Funktion gleich Null ist, können wir nur betrachten zwei unterschiedliche Stellen: wenn x = 0 und x = 1. Aber da \(\mathbb Q\) dicht in \(\mathbb R\) liegt, können wir auch die Stetigkeit für die Funktion an den Stellen 0 und 1 nutzen. Und somit existieren die Ableitung an den beiden Stellen.

-----------


Danke im Voraus.
\(\endgroup\)


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LeBtz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-22


Hallo,

wie genau folgerst du denn aus der Stetigkeit die Differenzierbarkeit?



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janalp
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.10.2017
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-24


Ich habe das nicht gefolgert. Ich habe genau umgekehrt gefolgert. Differienzierbarkeit impliziert Stetigkeit aber umgekehrt geht nicht.



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-24


2018-04-24 15:31 - janalp in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich habe das nicht gefolgert. Ich habe genau umgekehrt gefolgert. Differienzierbarkeit impliziert Stetigkeit aber umgekehrt geht nicht.

Oben behauptest du, die Funktion sei dort differenzierbar, begründest jedoch nur, dass sie dort stetig ist.
Die Differenzierbarkeit ist mit deinem Stetigkeitsargument noch nicht bewiesen (oder ich verstehe das Argument nicht).


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-24


Was wäre ein besseres Argument?



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-24

\(\begingroup\)
Schaut man den Graph an könnte man bereits vermuten, dass die Funktion im Ursprung differenzierbar ist, an der Stelle 1 jedoch nicht.

Idee:
Der Parabel 3. Grades wird ja im Grunde die Gerade $y=0$ überlagert. Im Berührpunkt sind Funktionswerte und Steigung gleich => stetig und differenzierbar.
Im Schnittpunkt sind die Steigungen unterschiedlich => nicht differenzierbar.

Formal/technisch könnte man bspw. mit den üblichen Grenzwertdefinitionen (Differentialquotient) arbeiten.


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-25

\(\begingroup\)
Hallo, danke für den Beitrag. Ich habe gestern und vorgestern versucht die Aufgabe zu lösen und möchte weitere Hilfe, falls möglich.

Also ich habe:

\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = 0\)

und

\(\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \) existiert nicht, weil \(f'(1) =1\) aber \(lim_{x \to 1} f'(x) = 0\)

Aber die Ableitung f'(x) hat zwei Wurzeln: 0 und 2/3. D.h f'(x) ist differenzierbar an den Stellen 0 und 2/3 mit dem gleichen Argument von x->0 für 2/3. Also ist f nur an den einzigen Punkten 0 und 2/3 differenzierbar.

Stimmt das?
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-04-26


Nein.
Da die Funktion an der Stelle 2/3 nicht stetig ist, kann sie dort auch nicht differenzierbar sein.
Das ergibt sich auch bei Anwendung des Differentialquotienten.


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- Bill Watterson -



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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-26


Ja stetig an der Stelle 2/3 ist die Funktion nicht. Ich habe das auch geprüft aber irgendwie habe ich gedacht, dass da Stetigkeit nicht Differenzierbarkeit nicht impliziert, vielleicht gibt es etwas so, dass etwas differenzierbar ist aber nicht stetig. Aber nach Nachlesen setzt die Differenzierbarkeit immer die Stetigkeit voraus.

So die Funktion ist nur an der Stelle 0 differenzierbar. Muss ich noch was überprüfen oder das ist alles?



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-04-26

\(\begingroup\)
In wieweit dein Vorgehen formal reicht, möchte ich nicht beurteilen.
Mir gefällt deine Rechnung/Begründung nicht besonders.

Als Übung könntest du ja mal zeigen, warum Differenzierbarkeit Stetigkeit impliziert.
Vielleicht findest du dann auch eine Verbesserung deiner formalen Widerlegung der Differenzierbarkeit an der Stelle $x=1$.


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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-26


Ja formal mache ich das gleich. Ich schreibe zurück falls ich noch Fragen habe. Danke!



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