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Lineare Algebra » Eigenwerte » Charakterisierung von kommutierenden 2×2 Matrizen in Jordan-Normalform
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Autor
Universität/Hochschule Charakterisierung von kommutierenden 2×2 Matrizen in Jordan-Normalform
didubadap
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Dabei seit: 07.08.2014
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-24


Unter welchen Bedingungen kommutieren zwei reelle 2×2-Matrizen in Jordan-Normalform?

Meine Antwort wäre:
Wenn sie die selbe Anzahl Jordanblöcke haben (möglich sind ein oder zwei Blöcke) kommutieren sie. Ansonsten kommutieren sie genau dann, wenn der untere Wert in der (in diesem Fall eindeutigen) Diagonalmatrix Null ist.

Der Erkenntnissgewinn aus dieser charakterisierung ist aber ebenfalls gleich Null. Kann sich jemand vorstellen, welche interessantere Charakterisierung der Aufgabensteller im Sinn gehabt haben könnte?
Vielen Dank im voraus!



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1362
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-24


Hey didubadap,

ich denke, das stimmt nicht ganz. Wenn beide Matrizen nicht gleich viele Blöcke haben (das heißt ja, die eine Matrix ist eine Diagonalmatrix und die andere nicht), dann muss die Diagonalmatrix unten keine 0 haben. Es müssen lediglich die Diagonaleinträge der Diagonalmatrix jeweils gleich sein. Es kommutiert ja jede Matrix stets mit dem Vielfachen der Einheitsmatrix.

Zusammenfassend kann man wohl folgendes sagen: Zwei 2x2-Matrixzen in Jordannormalform kommutieren genau dann, wenn beides Diagonalmatrizen sind oder aber beide Matrizen nur einen Eigenwert (der algebraischen Vielfachheit 2) besitzen.

Ich denke, das wäre eine ganz gute Charakterisierung



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didubadap
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 07.08.2014
Mitteilungen: 513
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24


Danke für die Berichtigung. 2×2 Matrizen multiplizieren konnte ich auch schon mal besser...

Ich weiß zwar immernoch nicht, was diese Aufgabe soll, aber Deine Lösung hört sich so sinnvoll an, vielen Dank!



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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45672
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-24


2018-05-24 11:19 - Kampfpudel in Beitrag No. 1 schreibt:
... kommutieren genau dann, wenn beides Diagonalmatrizen sind oder aber beide Matrizen nur einen Eigenwert (der algebraischen Vielfachheit 2) besitzen.
Ich denke, das wäre eine ganz gute Charakterisierung
Hi didubadap & Kampfpudel,
das denke ich auch. Es fehlt aber noch der Fall, dass eine Matrix ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist und die andere ein Jordan-Block.
Ich möchte allerdings feststellen, dass die Aufgabe ziemlich unsachgemäß ist, weil sie keierlei Anwendungsmöglichkeiten bietet.
Im allgemeinen lassen sich zwei Matrizen nicht gleichzeitig durch dieselbe Ähnlichkeitstransformation auf Jordansche Normalform bringen. Im allgemeinen ist also das gefundene Kriterium gar nicht anwendbar (auf zwei beliebige Matrizen).
Gruß Buri



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1362
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-24


2018-05-24 18:06 - Buri in Beitrag No. 3 schreibt:
Es fehlt aber noch der Fall, dass eine Matrix ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist und die andere ein Jordan-Block.


Das ist doch durch "[...] beide Matrizen nur einen Eigenwert (der algebraischen Vielfachheit 2) besitzen" abgedeckt. Vielleicht würde das Wörtchen "jeweils" zwischen "nur" und "einen" es ein bisschen deutlicher machen



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