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Analysis » Funktionen » Lipschitz im R^2, beschränkter Gradient
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Universität/Hochschule J Lipschitz im R^2, beschränkter Gradient
student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-24


Hallo zusammen,
ich mache gerade Übungsaufgaben zu Lipschitz-Funktionen im R^n.
wir hatten in der Vorlesung, dass f lipschitz ist wenn der gradient beschränkt ist, also fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Konkret:
Für die Funktion f(x,y)= 1+xy ist der Gradient ja fed-Code einblenden
Ich glaube dass dieser nicht beschränkt ist, aber wie kann ich das mathematisch korrekt zeigen?

Viele Grüße, student99



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BlakkCube
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-24


Hallo student99,

fed-Code einblenden

Gruß BlakkCube


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'Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.'
- Jean-Baptist le Rond d'Alembert



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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24


Hallo BlakkCube,

ja, fed-Code einblenden

Aber was es bedeutet, dass die Norm unbeschränkt ist, das ist ja gerade mein Problem. Vielleicht könntest du mir das noch erklären, bitte?

Viele Grüße, student99



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BlakkCube
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-24


fed-Code einblenden


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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24


Eigentlich müsste das ja heißen, dass die Norm kleiner gleich irgendein Wert ist, also: fed-Code einblenden
Nach unten könnte man das ja durch 0 abschätzen, aber nach oben findet man ja kein passendes b (das heißt doch, dass es unbeschränkt ist?). Aber wie kann ich das korekt zeigen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24


Hallo BlakkCube,

Sorry, hab jetzt erst bemerkt, dass wir irgendwie fast gleichzeitig einen Beitrag geschrieben haben.

Die Negation wäre (glaube ich):
Für alle L>0 gibt es ein (x,y) aus R^2, sodass gilt: fed-Code einblenden


Mir ist noch was eingefallen: Könnte ich das auch so zeigen, dass
fed-Code einblenden

Viele Grüße, student99



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BlakkCube
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-24

\(\begingroup\)
2018-05-24 18:43 - student99 in Beitrag No. 5 schreibt:
Die Negation wäre (glaube ich):
Für alle L>0 gibt es ein (x,y) aus R^2, sodass gilt: fed-Code einblenden

Das ist richtig. Jetzt hast Du die Aussage, die Du beweisen musst.


Mir ist noch was eingefallen: Könnte ich das auch so zeigen, dass
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Anmerkung: Ich habe die Schreibweise jetzt übernommen, aber es ist m.M.n. nicht ganz klar, was unter \((x,y)\rightarrow\infty \) unter dem Limes bedeuten soll. Gerade am Anfang des Studiums sollte man es eher ein bisschen genauer nehmen.


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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24


OK, vielen Dank für deine Erläuterungen, soweit ist es mir jetzt klar.
Aber wie ich mit der Gleichung fed-Code einblenden
Wäre nett, wenn du mir da noch helfen könntest!
Viele Grüße, student99



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BlakkCube
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-24


fed-Code einblenden


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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24


Ich glaub, ich steh gerade voll auf dem Schlauch.
ich weiß ja nicht was L ist, also kann ich ja gar keine konkreten Werte finden. Eigentlich müsste es ja für ein beliebiges (x,y) gelten ???



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BlakkCube
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-05-24


Naja, das Paar (x,y) wird schon von L abhängen. Für unterschiedliche Werte von L wirst Du unterschiedliche Paare (x,y) finden.

Was machst Du z.B., wenn L=1000 ist? Und wenn L=10000 ist? Und wenn L irgendeine positive reelle Zahl ist?


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24


hmm, wenn L=1000 ist muss fed-Code einblenden
fed-Code einblenden




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BlakkCube
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-05-24


Und wenn Du nun einfach L statt 1000 schreibst?


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24


fed-Code einblenden



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-05-24

\(\begingroup\)
\((x,y)=(L,L)\) und nicht \((L^2,L^2)\). (Letzteres wäre falsch, da \( L^4+L^4>L^2\) nicht für alle L<= gilt. Ich vermute Du hast vergessen, die Quadrate wegzunehmen)

Aber ja \((x,y)=(L,L)\) ist ein mögliches gesuchtes Paar. Jetzt noch ordentlich aufschreiben und fertig.


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fed-Code einblenden



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Ja das passt so. Ich würde vielleicht noch die Zwischenschritte der Ungleichung ein bisschen klarer aufschreiben:

fed-Code einblenden

Wichtig: Übungsaufgaben haben wie jedes Schriftstück einen Adressaten. In diesem Fall Deinen Übungsleiter. Schreibe es so auf, als wolltest Du es ihm erklären. Ein Zwischenschritt zu viel ist gerade am Anfang besser als einer zu wenig.


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OK, vielen Dank für deine Tipps.
ich habe ich derweil noch mit zwei weiteren Teilaufgaben befasst und hätte dazu noch folgende Fragen:
1. h(x,y)= sin(x)-cos(y)
fed-Code einblenden
Damit wäre grad(h) beschränkt und h lipschitz.
Kann man das so machen?

2. g(x,y)=sin (xy)
fed-Code einblenden
Für den letzten Ausdruck haben wir ja jetzt schon gezeigt, dass es nicht beschränkt ist.
Würde dann daraus folgen, dass g auch nicht lipschitz ist?

Wäre super, wenn du mir da auch noch Rückmeldung geben könntest.

Viele Grüße, student99




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BlakkCube
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Das sieht beides gut aus. Bei h ist die Klammer nach norm wahrscheinlich nicht richtig gesetzt, da hat es deine Formel ein bisschen zerschossen.

fed-Code einblenden


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Hallo BlakkCube,

vielen, vielen Dank für deine Hilfe und Tipps, mir ist einiges klar geworden.

Viele Güße, student99



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