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Analysis » Funktionalanalysis » Vollständigkeit eines normierten Raumes
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Universität/Hochschule J Vollständigkeit eines normierten Raumes
BeStelt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-25


Hallo alle miteinander.
Ich sitze schon seit geraumer Zeit an folgendem Problem:

fed-Code einblenden
Für Y weiß ich, dass es genau dann ein Banachraum ist, wenn jede absolut konvergente Reihe in Y konvergiert. Nur weiß ich wirklich nicht, wie ich die Offenheit von T dafür benutzen soll.

Wenn ich dann gezeigt hätte, dass Y ein Banachraum ist, habe ich oft gelesen, dass die Surjektivität eines stetigen, linearen, offenen Operators zwischen 2 Banachräumen zu trivial sei. Als einzigen Grund dafür, dass sie gilt, wurde "nur" gesagt, dass es keinen echten offenen Teilraum in Y gäbe. Nur weiß ich leider weder, warum das gilt, noch, warum man daraus Surjektivität folgern kann.

Vielen Dank schonmal im Vorraus.



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MeWi
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-25 10:40

\(\begingroup\)
Da bist du ein bisschen in die Irre geraten. Dass offene lineare Operatoren surjektiv sind, gilt zwischen beliebigen normierten Räumen. Mit der Vollständigkeit hat das nichts zu tun.

Es scheint mir an dieser Stelle deutlich sinnvoller, erst die Surjektivität zu zeigen. Benutze dafür, dass a) das Bild von $T$ offen ist und b) sich jeder Vektor aus $Y$ in eine beliebig kleine Kugel um $0$ "skalieren lässt".
\(\endgroup\)


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BeStelt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25 15:47

\(\begingroup\)
Ok, dann versteh ich das so, dass weil \(\{0\}\in T(X)\),
gibt es wegen Offenheit von T eine offene Kugel um T(0) in Y.
Ist dann \(y\in Y\), gibt es ein\(\delta >
 0\), sodass \(\delta\)y in dieser offenen Kugel liegt.
Dann gibt es ein x in der Kugel in X, die auf die offene Kugel um 0 in Y abgebildet wird,
mit \(T(\frac{x}{\delta}) = \frac{1}{\delta} T(x) = y\).

Wär das so richtig?

Bei der Vollständigkeit kam ich allerdings noch nicht weiter.
\(\endgroup\)


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MeWi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-25 17:10

\(\begingroup\)
Für den ersten Teil ist das richtig, ja.

Der zweite Teil scheint tatsächlich etwas kniffliger zu sein, mir ist jedenfalls noch keine einfache Lösung eingefallen. Vorläufig ein paar Tipps:
- Um zu zeigen, dass ein Raum vollständig ist, reicht es zu beweisen, dass jede Cauchyfolge eine konvergente Teilfolge hat.
- Wenn du zeigen kannst, dass es für eine Folge $(y_n)$ in $Y$ eine konvergente Folge $(x_n)$ in $X$ mit $Tx_n=y_n$ gibt, so konvergiert wegen der Stetigkeit von $T$ auch die Folge $(y_n)$.
- Wenn man eine Cauchyfolge rekursiv definieren will, reicht es, dass die Normen der Inkremente summierbar sind, also $\sum_{n=1}^\infty \lVert x_{n+1}-x_n\rVert<\infty$.

Vielleicht kommst du damit ja schon weiter.
\(\endgroup\)


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BeStelt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26 00:55

\(\begingroup\)
Ich habe es jetzt mit dem Hinweis, dass absolut konvergente Reihen in Banachräumen konvergieren, noch versucht:

Sei \((y_n)_{n\in \mathbb{N}}\) eine Folge in Y, sodass \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\|y_n\|_Y<\infty\).
Wegen Surjektivität von T gibt's jetzt eine Folge \((T(x_n))_{n\in \mathbb{N}}\),
sodass \(T(x_n)=y_n\) für alle \(n\in\mathbb{N}\).
Dann folgt:

\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\|y_n\|_Y = \sum \limits_{n=1}^{\infty}\|T(x_n)\|_Y\)

\(\huge(\)Da T linear und stetig in \(0\in X\), ist \(\|T\|<\infty\)
und damit gilt die Ungleichung \(\|T(x)\|_Y \leq \|T\|\cdot\|x\|_X\). [Aus Vorlesung]\(\huge)\)

\(\Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty}\|T(x_n)\|_Y \leq \sum \limits_{n=1}^{\infty}\|T\|\cdot\|x_n\|_X = \|T\|\sum \limits_{n=1}^{\infty}\|x_n\|_X <\infty\), da die Reihe über die \(y_n\) absolut konvergiert.

\(\Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty}x_n <\infty\), da X Banachraum ist.

\(\Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty}y_n = \sum \limits_{n=1}^{\infty}T(x_n) = T\left(\sum \limits_{n=1}^{\infty}x_n\right) <\infty\), da T stetig ist.

\(\Rightarrow\) Y ist vollständig.

Wäre das so in Ordnung?
\(\endgroup\)


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MeWi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-26 09:34

\(\begingroup\)
Nein, das funktioniert so nicht. Die Begründung für $\sum_n \lVert x_n\rVert<\infty$ stimmt nicht (und im Allgemeinen wird das auch falsch sein). Du musst schon geeignete Urbilder wählen und nicht einfach irgendwelche.
\(\endgroup\)


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LeBtz
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Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-26 10:05


Hallo,

etwas einfacher geht es vielleicht, wenn man den von <math>T</math> induzierten Operator <math>\widetilde T:X/ker(T)\to Y</math> betrachtet.

Man muss eigentlich nur zeigen, dass dieser offen ist. Das ist aber recht einfach, wenn man weiß, dass die Quotientenabbildung stetig ist.

Edit: Aber lass dich nicht von deinem Weg abbringen, schau dir diese Alternative vielleicht irgendwann später mal an, wenn du Zeit hast.



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BeStelt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26 11:06

\(\begingroup\)
2018-05-26 09:34 - MeWi in Beitrag No. 5 schreibt:
Nein, das funktioniert so nicht. Die Begründung für $\sum_n \lVert x_n\rVert<\infty$ stimmt nicht (und im Allgemeinen wird das auch falsch sein).

Ah, danke, das hab ich wohl übersehen. Ab der Ungleichung muss der Term ja nicht mehr zwingend kleiner Unendlich sein...

2018-05-26 09:34 - MeWi in Beitrag No. 5 schreibt:
Du musst schon geeignete Urbilder wählen und nicht einfach irgendwelche.

Wie könnte man denn ein bestimmtes Urbild wählen, wenn ich nur weiß, dass es mindestens eine Folge von \(x_n\) gibt, sodass \(T(x_n)=y_n\) für alle \(n\in\mathbb{N}\)?
\(\endgroup\)


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MeWi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-26 14:59

\(\begingroup\)
@BeStelt: Du konzentrierst dich nur auf die Surjektivität von $T$, aber du hast auch noch die Offenheit zur Verfügung. Diese kann man für lineare Operatoren äquivalent formulieren als folgende Eigenschaft (mach dir das klar):

Für alle $\epsilon>0$ existiert ein $\delta>0$, sodass es für alle $y\in Y$ mit $\lVert y\rVert<\delta$ ein $x\in X$ mit $\lVert x\rVert <\epsilon$ und $Tx=y$ gibt.

@LeBtz: Dafür muss man aber auch verwenden, dass Quotienten von Banachräumen nach abgeschlossenen Unterräumen wieder vollständig sind. Das ist im Wesentlichen genauso schwer wie die vorliegende Aufgabe, denke ich.
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BeStelt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-27 16:40

\(\begingroup\)
2018-05-26 14:59 - MeWi in Beitrag No. 8 schreibt:
@BeStelt: Du konzentrierst dich nur auf die Surjektivität von $T$, aber du hast auch noch die Offenheit zur Verfügung. Diese kann man für lineare Operatoren äquivalent formulieren als folgende Eigenschaft (mach dir das klar):

Für alle $\epsilon>0$ existiert ein $\delta>0$, sodass es für alle $y\in Y$ mit $\lVert y\rVert<\delta$ ein $x\in X$ mit $\lVert x\rVert <\epsilon$ und $Tx=y$ gibt.

Da wir in der Vorlesung einen ähnlichen Satz für lineare Operatoren hatten, konnte ich mir das schnell klarmachen.
Nur müsste ich doch jetzt immernoch \(\|x\|\) mit einer Folge von epsilons abschätzen, deren Reihe gegen 0 konvergiert, oder?
Aber dann gilt für alle diese epsilons doch dann, dass erst ab einem bestimmten \(N\in\mathbb{N}\) gilt, dass \(\|y_n\|<\delta\) abhängig vom jeweiligen epsilon für alle n > N.
Dann ist aber doch nicht garantiert, dass ich alle \(x_n\) betrachte, für die \(T(x_n)=y_n\)...
\(\endgroup\)


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MeWi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-05-28 10:43

\(\begingroup\)
Wie schon gesagt, es ist ein bisschen knifflig. Wähle erst eine Folge $(\epsilon_k)$, sodass $\sum_k \epsilon_k<\infty$, z.B. $\epsilon_k=2^{k}$. Wähle dann eine Folge $(\delta_k)$ entsprechend der Charakterisierung von Offenheit. Finde dann eine Teilfolge $(y_{n_k})$ mit $\lVert y_{n_{k+1}}-y_{n_k}\rVert <\delta_k$ und schau einmal, ob du damit weiterkommst.
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