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Strukturen und Algebra » Moduln » Basis von Moduln berechnen
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Universität/Hochschule Basis von Moduln berechnen
HannahL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-25

\(\begingroup\)
Liebe Mathematiker,

ich habe eine Frage zum Themengebiet der Moduln, welche meine Kenntnis leider übersteigt. Es ist wahrscheinlich nicht schwer, ich würde diese Aufgaben gerne so verstehen, dass ich sie einer Freundin erklären kann. Mein "Basis"wissen über Moduln ist leider nur oberflächlich im Moment :D

a)
\[Sei \ E = \left\{\left(\begin{array}{c}1 \\1 \\4 \\\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\1 \\1 \\\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\0 \\2 \\\end{array}\right)\right\} und \ M = \langle E\rangle \subseteq \mathbb{Z}^3 \ der \ von \ E \ erzeugte \ Untermodul \ von \ \mathbb{Z}^3.\]
Berechnen Sie eine Basis von M und zeigen Sie, dass keine Teilmenge von E eine Basis von M ist.

b)
Berechnen Sie eine Basis des \(\mathbb{Z}-Moduls \ \langle\left(\begin{array}{c}1 \\2 \\\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 \\4 \\\end{array}\right)\rangle \cap \langle\left(\begin{array}{c}1 \\2 \\\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 \\4 \\\end{array}\right)\rangle \subseteq \mathbb{Z}^2. \)

Okay.. ich hoffe es passt alles, dieses LaTeX war doch etwas komplizierter als erwartet :) Ich bitte um eure Hilfe!

GLG
Hannah
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
a) Ich verwende die Zeilenschreibweise.

Es gilt $(1,1,4) - (1,1,1) - (0,0,2) = (0,0,1)$. Daher ist

$\langle (1,1,4),(1,1,1),(0,0,2) \rangle = \langle (1,1,4),(1,1,1),(0,0,2),(0,0,1) \rangle$
$=\langle (1,1,0),(1,1,0),(0,0,0),(0,0,1) = \langle (1,1,0),(0,0,1)\rangle .$
 
Die beiden Erzeuger sind nun linear unabhängig, also eine Basis.

b) Du hast die Aufgabe vermutlich nicht korrekt abgetippt, weil da ein Untermodul mit sich selbst geschnitten wird.
\(\endgroup\)


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HannahL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
2018-05-26 02:07 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
a) Ich verwende die Zeilenschreibweise.

Es gilt $(1,1,4) - (1,1,1) - (0,0,2) = (0,0,1)$. Daher ist

$\langle (1,1,4),(1,1,1),(0,0,2) \rangle = \langle (1,1,4),(1,1,1),(0,0,2),(0,0,1) \rangle$
$=\langle (1,1,0),(1,1,0),(0,0,0),(0,0,1) = \langle (1,1,0),(0,0,1)\rangle .$
 
Die beiden Erzeuger sind nun linear unabhängig, also eine Basis.

b) Du hast die Aufgabe vermutlich nicht korrekt abgetippt, weil da ein Untermodul mit sich selbst geschnitten wird.

Danke danke danke! Ja du hast recht, es sollte lauten

Berechnen Sie eine Basis des \(\mathbb{Z}-Moduls \ \langle\left(\begin{array}{c}1 \\2 \\\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 \\4 \\\end{array}\right)\rangle \cap \langle\left(\begin{array}{c}2 \\2 \\\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 \\-1 \\\end{array}\right)\rangle \subseteq \mathbb{Z}^2. \)
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-26


Kannst du denn zunächst den ersten Modul vereinfachen, also ein "besseres" Erzeugendensystem finden?



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HannahL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
2018-05-26 08:52 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Kannst du denn zunächst den ersten Modul vereinfachen, also ein "besseres" Erzeugendensystem finden?

okay, wäre das dann:

$(3,4)-(1,2)-(1,2) = (1,0)$

also:

$=\langle (1,0),(0,2)\rangle$ ?
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
Ja, richtig. Und konkret ist dann $\langle (1,0),(0,2) \rangle = \{(a,b) \in \IZ^2 : b \text{ gerade}\}$.

Den zweiten Untermodul kann man vereinfachen zu $\langle (8,0),(3,-1) \rangle$.

Der Durchschnitt besteht also aus den Ausdrücken der Form

$a (8,0) + b (3,-1) = (8a + 3b, -b)$,
 
für die $-b$ gerade ist. Der Durchschnitt ist daher gleich

$\langle (8,0),(6,-2) \rangle .$
\(\endgroup\)


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HannahL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
2018-05-26 10:45 - Triceratops in Beitrag No. 5 schreibt:
Ja, richtig. Und konkret ist dann $\langle (1,0),(0,2) \rangle = \{(a,b) \in \IZ^2 : b \text{ gerade}\}$.

Den zweiten Untermodul kann man vereinfachen zu $\langle (8,0),(3,-1) \rangle$.

Der Durchschnitt besteht also aus den Ausdrücken der Form

$a (8,0) + b (3,-1) = (8a + 3b, -b)$,
 
für die $-b$ gerade ist. Der Durchschnitt ist daher gleich

$\langle (8,0),(6,-2) \rangle .$

Wow, echt tausend Dank, das hab ich verstanden und kann es so erklären <3... und wie kann ich bei a) noch zeigen, dass keine Teilmenge von E eine Basis von M ist? Gibt es da auch einen Trick?
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
So viele $2$-elementige Teilmengen hat $E$ nicht. Die kann man durchgehen.
\(\endgroup\)


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HannahL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
2018-05-26 11:43 - Triceratops in Beitrag No. 7 schreibt:
So viele $2$-elementige Teilmengen hat $E$ nicht. Die kann man durchgehen.

Würdest du mir ein Beispiel geben?

Und nochmals vielen Dank, du hast mir wirklich sehr geholfen!
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-26


Ich soll dir ein Beispiel für eine 2-elementige Teilmenge einer 3-elementigen Menge hinschreiben?



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HannahL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26


2018-05-26 13:13 - Triceratops in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich soll dir ein Beispiel für eine 2-elementige Teilmenge einer 3-elementigen Menge hinschreiben?

Aso.. verstehe schon.. danke!



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