Die Mathe-Redaktion [Home] - Neues auf einen Blick 27.01.2023 18:45 [Neues] [Forum] [Suche] - Registrieren/Login
 
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Zerfallende exakte Folge wird unter Funktoren erhalten
Autor
Universität/Hochschule J Zerfallende exakte Folge wird unter Funktoren erhalten
yann
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.01.2015
Mitteilungen: 547
  Themenstart: 2018-06-13

Hallo, Seien $R,S$ Ringe. Angenommen man hat einen covarianten, additiven Funktor $T:Mod(R)\to Mod(S)$ und eine zerfallende exakte Folge in Mod(R) $$(0)\to X\to M\to Y\to (0)$$ wobei $f:X\to M, g:M\to Y$. dann wird behauptet, dass Anwendung von $T$ wieder eine zerfallende exakte Folge liefert. Was ich einsehen konnte: $T(f)$ ist injektiv, $T(g)$ ist surjektiv und $im\;T(f)\subseteq ker \;T(g)$. Mir ist aber nicht klar, warum auch $ker\;T(g)\subseteq im\;T(f)$ gilt. Hat jemand eine Idee? Viele Grüsse, yann

   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6469
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-13

Eine Folge $0 \to X \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} Y \to 0$ zerfällt genau dann, wenn es Morphismen $q : M \to X$ und $j : Y \to M$ gibt, welche die Gleichungen $qi = id$ $pj = id$ $pi = 0$ $qj = 0$ $iq + jp = id$ erfüllen. Diese Gleichungen werden von additiven Funktoren erhalten. Das ganze gilt nicht nur für Modulkategorien, sondern für beliebige additive Kategorien.

   Profil
yann
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.01.2015
Mitteilungen: 547
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-14

Mir ist nur nicht klar, warum die Folge dann wieder exakt sein muss, also mein Problem war die Exaktheit.

   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6469
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-14

Aus den Gleichungen folgt die Exaktheit.

   Profil
yann
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.01.2015
Mitteilungen: 547
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-20

Danke.

   Profil
yann hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
yann hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]