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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Zerfallende exakte Folge wird unter Funktoren erhalten
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Universität/Hochschule J Zerfallende exakte Folge wird unter Funktoren erhalten
yann
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  Themenstart: 2018-06-13

Hallo, Seien $R,S$ Ringe. Angenommen man hat einen covarianten, additiven Funktor $T:Mod(R)\to Mod(S)$ und eine zerfallende exakte Folge in Mod(R) $$(0)\to X\to M\to Y\to (0)$$ wobei $f:X\to M, g:M\to Y$. dann wird behauptet, dass Anwendung von $T$ wieder eine zerfallende exakte Folge liefert. Was ich einsehen konnte: $T(f)$ ist injektiv, $T(g)$ ist surjektiv und $im\;T(f)\subseteq ker \;T(g)$. Mir ist aber nicht klar, warum auch $ker\;T(g)\subseteq im\;T(f)$ gilt. Hat jemand eine Idee? Viele Grüsse, yann


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-13

Eine Folge $0 \to X \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} Y \to 0$ zerfällt genau dann, wenn es Morphismen $q : M \to X$ und $j : Y \to M$ gibt, welche die Gleichungen $qi = id$ $pj = id$ $pi = 0$ $qj = 0$ $iq + jp = id$ erfüllen. Diese Gleichungen werden von additiven Funktoren erhalten. Das ganze gilt nicht nur für Modulkategorien, sondern für beliebige additive Kategorien.


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yann
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-14

Mir ist nur nicht klar, warum die Folge dann wieder exakt sein muss, also mein Problem war die Exaktheit.


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-14

Aus den Gleichungen folgt die Exaktheit.


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yann
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-20

Danke.


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