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| Autor |
  magnetischer Fluss bei Luftspalt |
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Pukiluu
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 06.06.2018
Mitteilungen: 31
 |  Themenstart: 2018-06-14
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Guten Morgen, ich habe folgende Aufgaben:
Aufgabe 1:
Ein langer, gerader Draht vom Radius r = 0,5 cm wird von einem Strom von 10 A durchflossen.
Welche Größe und Richtung hat die magnetische Feldstärke an der Drahtoberfläche?
Aufgabe 2:
Um den Leiter der Aufgabe 1 liegt konzentrisch zur Leiterachse ein geschlossener Holzring
von 2 cm² Querschnitt und 50 cm mittlerer Länge.
a) Wie groß ist die mittlere magnetische Feldstärke (d.h. die Feldstärke an der Stelle
der mittleren Länge des Ringes), die mittlere magnetische Flußdichte sowie der
magnetische Fluß im Ring ?
b) Wie groß sind die entsprechenden Größen, wenn man den Holzring durch einen
Eisenring mit der relativen Permeabilität von 4000 ersetzt ?
c) Wie groß werden die mittleren magnetischen Feldstärken, die magnetischen Flußdichten
und die magnetischen Flüsse im Eisen und in der Luft, wenn der Eisenring
durch einen Luftspalt von 5 mm Länge unterbrochen wird ?
Die Streuung des Feldes durch den Luftspalt soll vernachlässigt werden.
d) Wie groß ist der magnetische Widerstand des Ringes in den Fällen b) und c) ?
e) Berechnen Sie die magnetischen Flüsse in den Fällen b) und c) mit Hilfe der unter
d) ermittelten Werte der magnetischen Widerstände.
Sollte ja prinzipiell kein Problem sein, also los:
1)Die Richtung ergibt sich zunächst aus der rechten-Hand-Regel.
Um den Wert der Feldstärke zu bestimmen wende ich das Durchflutungsgesetz an:
\[\theta=I=H\int dl=H\cdot2\pi r\quad\iff\quad H(r)=\frac{I}{2\pi r}\]
Zahlenwerte:
\[H=\frac{10A}{2\pi 5\cdot10^{-3}m}=318,31\frac{A}{m}\]
2a) Die angegebene mittlere Länge entspricht dem Umfang, welcher in der Formel für die Feldstärke im Nenner steht, es kann also direkt
\[H_{Holz}=\frac{10A}{50cm}=20~\frac{A}{m}\]
bestimmt werden.
Als nächsten bestimme ich die magnetische Flussdichte B, mit \(\mu_{r, Holz}\approx1\)
\[B=25,1~\mu T\]
Zuletzt fehlt noch der magnetische Fluss:
\[\Phi=B\cdot A=25,1\mu T\cdot 2\cdot10^{-4}m^2=~5nVs\]
2b) Anpassen der Permeabilität liefert direkt:
\[\begin{align*}
H_{Eisen}&=20~\frac{A}{m} \\
B_{Eisen}&=100,4~mT \\
\Phi_{Eisen}&=20,1~\mu Vs
\end{align*}\]
2c) Die magnetische Feldstärke ist die Ursache des Magnetismus und hier konstant. Was sich ändert ist der Wert der Permeabilität. Damit berechne ich die Flussdichte über die Anteile (einfach durch die jeweilige Länge)
\[
B'=B_{Luft}+B_{Eisen}=\mu_0\cdot H \left(\frac{5}{500}+\mu_{r,Eisen}~\frac{495}{500}\right)=99,5~mT
\]
Da sich der Querschnitt ebenfalls nicht ändert ist auch der magnetische Fluss schnell ausgerechnet:
\[\Phi'=B'\cdot A=19,9~\mu Vs\]
2d) Allgemein:
\[R_m=\frac{l}{\mu_0\mu_r A}\]
Damit ist der geschlossene Ring einfach bestimmt:
\[R_m=\frac{0,5m}{\mu_0\cdot4000\cdot2\cdot10^{-4}m^2}=497,4~\frac{kA}{Vs}\]
Für den Ring mit Lücke müssen die einzelnen Widerstände bestimmt und aufaddiert werden:
\[\begin{align*}
R_m'&=R_{m,Eisen}'+R_{m,Luft}\\
R_{m,Eisen}'&=\frac{0,495m}{\mu_0\cdot4000\cdot2\cdot10^{-4}m^2}=492,4~\frac{kA}{Vs}\\
R_{m,Luft}&=\frac{0,005m}{\mu_0\cdot1\cdot2\cdot10^{-4}m^2}=198,9~\frac{kA}{Vs}\\
\implies R_m'&=492,4~\frac{kA}{Vs}+19894,4~\frac{kA}{Vs}=20386,8~\frac{kA}{Vs}
\end{align*}
\]
2e) Analog zum ohmschen Gesetz gilt bei Magnetismus:
\[\theta=R_m\cdot\Phi\]
Ich stelle also einfach nach $\Phi$ um und setzen ein:
\[\begin{align*}
\Phi&=\frac{\theta}{R_m}=\frac{10A}{497,4~\frac{kA}{Vs}}=20,1~\mu Vs\\
\Phi'&=\frac{\theta}{R_m'}=\frac{10A}{20386,8~\frac{kA}{Vs}}=490,5~nVs
\end{align*}
\]
Mein Ergebnis des geschlossenen Rings wird bestätigt, aber nicht im Fall der Lücke. Ich habe gerade nochmal nachgerechnet und bin mir einigermaßen sicher, dass ich mich nicht auf dem Taschenrechner vertippt habe. Ich glaube eher, dass mein Fehler in 2c) steckt, bräuchte aber mal einen anstupser, was/warum das nicht so funktioniert.
Vielen Dank,
Pukiluu
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 Profil
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holsteiner
Senior 
Dabei seit: 25.01.2012
Mitteilungen: 645
Wohnort: Deutschland
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-15
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Moin Pukiluu,
die Formel, die Du in 2c verwendest ist falsch. Nicht B wird addiert, sondern die magnetischen Widerstände R. Der Luftspalt reduziert B erheblich. Du solltest aus H mit R erst $\Phi$ ausrechnen und dann daraus B.
Viele Grűße
holsteiner
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Pukiluu
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.06.2018
Mitteilungen: 31
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-16
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Moin,
Danke für die Antwort, jetzt weiß ich, das mein gedanklicher Fehler vorlag, als ich H für konstant angenommen hatte... Ich löse gemäß Aufgabenstellung das ganze aber an der Stelle noch ohne den magnetischen Widerstand ;)
Der Vollständigkeit halber:
Da es sich bei dem Ring mit Luftspalt bei Vernachlässigung der Streuverluste um einen geschlossenen Kreis handelt, muss der magnetische Fluss konstant sein.
\[\Phi_{Luft}=\Phi_{Eisen}=\Phi'\]
Da die Querschnitte gleich sind gilt auch direkt
\[B_{Luft}=B_{Eisen}=B'\]
Das wiederum bedeutet, dass sich die magnetische Feldstärke ändern muss. Durchflutungsgesetz:
\[\theta=I=\int H~dl=H_{Eisen}\cdot l_{Eisen}+H_{Luft}\cdot l_{Luft}\]
Damit kann ich umstellen/einsetzen:
\[
\begin{align*}
B_{Luft}&=\mu_0 H_{Luft}\\
B_{Eisen}&=\mu_0\mu_r H_{Eisen}\\
\implies \mu_0 H_{Luft}&=\mu_0\mu_r H_{Eisen}\\
\iff H_{Luft}&=\mu_r H_{Eisen}\\
\implies I&=H_{Eisen}\cdot l_{Eisen}+\mu_r H_{Eisen}\cdot l_{Luft}\\
&=H_{Eisen}\left( l_{Eisen}+\mu_r\cdot l_{Luft} \right)\\
\iff H_{Eisen}&=\frac{I}{l_{Eisen}+\mu_r\cdot l_{Luft}}\\
H_{Eisen}&=488\frac{mA}{m}\\
H_{Luft}&=1952\frac{A}{m}\\
B'&=2,45mT\\
\Phi'&=490,5nVs
\end{align*}
\]
Vielen Dank für die Antwort,
Pukiluu
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