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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » Bestimmtes Integral lösen
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Universität/Hochschule J Bestimmtes Integral lösen
Miradius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-18

\(\begingroup\)
Guten Tag,

ich würde gerne folgendes Integral

\[\int_0^{2\pi} \frac{1-r^2}{1-2r\cos(x-X)+r^2}f(x)dx  \]

für die beiden Fälle \(f(x)=\cos(x)\) und \(f(x)=\sin(x)\) lösen. Ich habe bereits diverse online Integralrechner verwendet, die aber alle time outen.


Hat jemand vielleicht ein Rechenprogramme wie Mathlab und könnte die beiden Integrale bitte mal für mich ausrechnen.


Gruß
Miradius
\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-18


Hallo Miradius,
sind X und r in Bezug auf x als Konstanten zu betrachten?

Ciao,

Thomas



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Miradius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18


Hallo Thomas,

ja X,r sind konstant. Entschuldigung, dass hätte ich natürlich vorher sagen sollen.

Gruß
Miradius



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-18


Hallo, Miradius,

mit dem Residuensatz (und der Substitution <math>u=X-x</math> zusammen mit den Additionstheoremen) sollte es gelingen, die Integrale zu berechnen.

Wally



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-18

\(\begingroup\)
Hallo Miradius,
gut. Betrachten wir das Integral
$$I=\intop_0^{2\pi} \frac{(1-r^2)\cos x}{1-2r\cos(x-X)+r^2}\text dx$$
Wir substituieren $z=x-X$:
$$I=\intop_0^{2\pi} \frac{(1-r^2)\cos(z+X)}{1-2r\cos z+r^2}\text dz$$
und wenden für den Kosinus im Zähler die Additionstheoreme an:
$$I=\intop_0^{2\pi} \frac{(1-r^2)\left(\cos z\cos X-\sin z\sin X\right)}{1-2r\cos z+r^2}\text dz$$
Eigentlich hätten wir die Integrationsgrenzen mit verschieben müssen um X, aber da Du genau über eine Periode integrierst, ist es hier überflüssig. Wir spalten das Integral nun in zwei Teile auf und ziehen konstante Terme vor das Integral:
$$I=\intop_0^{2\pi} \frac{(1-r^2)\cos X\cos z}{1-2r\cos z+r^2}\text dz-\intop_0^{2\pi} \frac{(1-r^2)\sin X\sin z}{1-2r\cos z+r^2}\text dz$$
$$I=(1-r^2)\cos X\intop_0^{2\pi} \frac{\cos z}{1-2r\cos z+r^2}\text dz-(1-r^2)\sin X\intop_0^{2\pi} \frac{\sin z}{1-2r\cos z+r^2}\text dz$$
$$I=(1-r^2)\cos X\cdot I_1-(1-r^2)\sin X\cdot I_2$$
mit
$$I_1=\intop_0^{2\pi} \frac{\cos z}{1-2r\cos z+r^2}\text dz$$
$$I_2=\intop_0^{2\pi} \frac{\sin z}{1-2r\cos z+r^2}\text dz=0$$
Das zweite Integral ist null, weil es eine ungerade Funktion ist, und wenn Du von $-\pi$ bis $\pi$ integrierst, was Du ohne weiteres auch kannst, hebt sich alles auf. Es bleibt also nur das erste Integral übrig. Weil es eine gerade Funktion ist,reicht es, von null bis $\pi$ zu integrieren und mit zwei zu multiplizieren. Daher erhältst Du:
$$I=2(1-r^2)\cos X\intop_0^{\pi} \frac{\cos z}{1-2r\cos z+r^2}\text dz$$
Wolframalpha bekommt das jedenfalls hin. Für das Integral mit $f(x)=sin(x)$ läuft das genauso, es führt am Ende auch auf diese beiden Teilintegrale, nur mit $\cos X$ und $\sin X$ vertauscht.

Ciao,

Thomas



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Miradius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18


Danke für die ausführliche Erklärung Thomas!



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Miradius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-20

\(\begingroup\)
Hallo,

ich bin es nochmal. Mir ist etwas aufgefallen, dass ich nicht ganz nachvollziehen kann.

Mit dem Resultat von Thomas konnte ich das Integral

$$I=\intop_0^{2\pi} \frac{(1-r^2)\cos x}{1-2r\cos(x-X)+r^2}\text dx$$

mithilfe eines online Rechners lösen. Als Lösung erhält man


$$\dfrac{{\pi}\left(r^2-1\right)\cos\left(y\right)}{r}$$

Was ausfällt ist, dass der Integrand für \(r=0\) definiert ist und nach der Integration nicht mehr. Wie kann das sein?
\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-20


Hallo Miradius,
ich hatte etwas anderes heraus, habe das Ergebnis aber schon weggeschmissen. Bei mir blieb (meine ich) nur r im Zähler übrig, und (r²-1) kam gar nicht mehr vor. Mit y meinst Du wohl X?

Ciao,

Thomas



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Miradius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-20

\(\begingroup\)
Ja \(y=X\).


Bei mir blieb (meine ich) nur r im Zähler übrig, und (r²-1) kam gar nicht mehr vor.

Das ist komisch...

Ich habe sogar einen Integralrechner hier gefunden, der das allg. bestimmte Integral lösen
kann. Mit diesem komme ich auf die gleiche Lösung


$$I= (1-r^2)\intop_0^{2\pi} \frac{\cos x}{1-2r\cos(x-X)+r^2}\text dx=(1-r^2) \left( -\frac{{\pi}\cos\left(X\right)}{r} \right) $$

Wow, das ist echt nervig.... Sitze jetzt schon seid mehreren Tagen an diesem Integral und komme nicht weiter. Ich mir auch schon mehrere Integraltabellen angeschaut, dort taucht das Integral aber leider nicht auf^^

\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-06-21

\(\begingroup\)
Hallo Miradius,
also das zu berechnende Integral lautet
$$I_3=\intop_0^{\pi} \frac{\cos z}{1-2r\cos z+r^2}\text dz$$
(welches sich von $I_1$ nur durch den Faktor 2 unterscheidet).
Wie uns Wolframalpha verrät (hier), ist das unbestimmte Integral, wenn man es ein wenig aufräumt:
$$\int\frac{\cos z}{1-2r\cos z+r^2}\text dz=-\frac z{2r}+\frac{r^2+1}{r(r^2-1)}\arctan\left(\frac{r+1}{r-1}\tan\frac z2\right)$$
Du hast vermutlich $\pi$ für $z$ eingesetzt. Dann geht der Tangens gegen unendlich, "unendlich" mit $\frac{r+1}{r-1}$ multipliziert ist immer noch unendlich (außer vielleicht bei $r=-1$), und dann hast Du für den Arkustangens eben wiederum $\frac{\pi}2$ eingesetzt. Stimmt das soweit? Du musst hier aber auf das Vorzeichen achten, denn $\frac{r+1}{r-1}<0$, wenn $-1<r<1$. Dann dreht sich das Vorzeichen für den Arkustangens um. Wenn Du jetzt also die Integrationsgrenzen einsetzt, folgt:
$$I_3=-\frac {\pi}{2r}+\frac{r^2+1}{r(r^2-1)}\left(-\frac{\pi}2\right)$$
$$I_3=-\frac {\pi}{2r}\left(1+\frac{r^2+1}{r^2-1}\right)$$
$$I_3=-\frac {\pi}{2r}\cdot\frac{2r^2}{r^2-1}$$
$$I_3=-\frac{\pi r}{r^2-1}$$
Das nun eingesetzt ergibt insgesamt für Dein gesuchtes Integral:
$$I=2(1-r^2)\cos X\left(-\frac{\pi r}{r^2-1}\right)$$
$$I=2\pi r\cos X$$
Für $|r|>1$ müsstest Du für den Arkustangens aber $+\frac{\pi}2$ einsetzen, was evtl. zu Deinem Ergebnis führt. Habe es nicht nachgerechnet.

Ciao,

Thomas
\(\endgroup\)


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Miradius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23



..Du musst hier aber auf das Vorzeichen achten, denn r+1r−1<0, wenn −1<r<1.

Ahh, da lag der Fehler!


Vielen Dank für deine Hilfe Thomas  smile !



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