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Zahlentheorie » Elementare Zahlentheorie » Primitivwurzeln / elementare Zahlentheorie: Beweis richtig oder falsch?
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Autor
Universität/Hochschule J Primitivwurzeln / elementare Zahlentheorie: Beweis richtig oder falsch?
sorachan
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 14.09.2013
Mitteilungen: 73
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-23 10:21

\(\begingroup\)
Moin Leute,

bei einem der letzten Zahlentheorie-Blätter hatte ich eine kleine Diskussion mit einem der Korrektoren darüber, ob ein Beweis richtig oder falsch ist und mich würde jetzt mal eine externe Meinung interessieren. (Der Punktabzug ist mir egal, es geht eher darum, ob mein Beweis wirklich mathematisch falsch ist. wink )

Die Situation ist folgende - gegeben sind zwei ungerade Primzahlen \(p\) und \(q\) mit \(p=2q+1\).

In Aufgabenteil (a) war die Frage, wie viele Primitivwurzeln modulo \(p\) existieren - hier war die Antwort \(q-1\).

In Aufgabenteil (b) war zu zeigen, dass (für \(2\leq r\leq q\)) gilt: \(r^q\equiv\pm1\pmod p\). (Dies hatte ich direkt so gezeigt, dass es auch für \(2\leq r\leq 2q-1\) gilt, andererseits folgt das auch trivialerweise weil die Äquivalenzklassen zu \(q+1,\ldots,2q-1\) ja genau jene zu \(-q,\ldots,-2\) sind.)

Die Unstimmigkeit darüber, was richtig ist und was nicht, ist jetzt in diesem Aufgabenteil:


Ich hab den Korrektor daraufhin gefragt:
Du schreibst, es wird bereits verwendet, dass r oder -r eine
Primitivwurzel ist, ich verstehe allerdings nicht ganz, wo / wie das
verwendet wird...

Die Argumentation war ja die folgende:
- falls irgendeine Zahl r Primitivwurzel ist, ist -r keine, also kann
in einer Menge {+r,-r} nur höchstens ein Element PW sein
- +1 und -1 sind keine PW und es Z_p^x besteht ansonsten aus q-1
weiteren Mengen der Form {+r,-r}, nämlich {+2,-2}, ..., {+q,-q}
- nach Aufgabenteil (a) gibt es aber genau q-1 PW, also muss
kombinatorisch gesehen in jeder dieser Mengen ein Element PW sein,
denn sonst stimmt die Anzahl nicht

Wenn ich das richtig sehe, verwende ich hier doch nicht, dass r oder
-r PW ist, sondern nur, dass, wenn r PW ist, -r keine ist, oder sehe
ich gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht?

und er antwortete:

Du hast in deinem Beweis einfach nicht gezeigt, dass r eine
Primitivwurzel ist. Dafür musst du einfach die Definition abarbeiten.
Zeig dass die ord(r)=phi(p) ist. Deine Argumentation zeigt das leider
nicht. Es sagt nur dass wenn x eine Pw mod p ist, ist es -x nicht. Das
zeigt dir nur wenn r Pw ist, dann..... aber genau das sollte ja
gezeigt werden.

aber meiner Ansicht nach habe ich doch genau das gezeigt... und ist es hier wirklich nötig mit mehr Detail "die Definition abzuarbeiten"?

Wenn ich doch weiß, dass genau eins der Elemente in \(\{r,-r\}\) Primitivwurzel sein muss, und für dieses Element \(g\) dann sicherlich nicht \(g^q\equiv 1\) sondern notwendigerweise \(g^q\equiv-1\) gilt (wegen (b) und der Definition), dann bin ich doch fertig... oder?  confused

Wie gesagt, mich würde mal eure unabhängige Meinung dazu interessieren. smile

LG
sorachan
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-23 11:25


Hallo sorachan,

ich denke Dein Argument ist schon richtig, aber unglücklich/unvollständig formuliert. Im wesentliche verwendest Du:
- Es gibt q-1 Schubladen und q-1 Elemente.
- In jeder Schublade ist höchstens 1 Element.
=> Jede Schublade enthält genau ein Element.

Hier kann man schon Punkte abziehen, da Dein Argument nicht so klar zu erkennen ist, was dann auch Deinem Korrektor passiert ist. smile



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sorachan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24 08:35


Danke!  smile



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