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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Duale Paarung endlich-dimensional
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Autor
Universität/Hochschule J Duale Paarung endlich-dimensional
schlunz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-24 13:42

\(\begingroup\)
Hallo,

hängt die duale Paarung in endlich-dimensionalen normierten Räumen immer automatisch mit einem Skalarpodukt zusammen und wenn ja, mit welchem?

Ich betrachte $\mathbb{R}^d$ mit euklidischem Skalarprodukt, $\mathbb{C}^{m,n}$ mit irgendeiner Norm und einen linearen Operator $\mathcal{A}:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{C}^{m,n}$ mit dualem Operator $\mathcal{A}^*$. Für die dualen Paarungen auf den Räumen sollte dann erstmal
$<\mathcal{A}^*(T),z> = <T,\mathcal{A}(z)>$
für alle $T\in\mathbb{C}^{n,m}, z\in\mathbb{R}^d$ gelten. Entspricht die duale Paarung links dem euklidischem Skalarpodukt und was ist mit der auf der rechten Seite? Ist das Definitionssache und hängt davon auch ab, wie $\mathcal{A}^*$ überhaupt aussieht? Bin gerade etwas verwirrt.

Danke schonmal
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-24 14:29

\(\begingroup\)
Hallo schlunz,

2018-06-24 13:42 - schlunz im Themenstart schreibt:
$<\mathcal{A}^*(T),z> = <T,\mathcal{A}(z)>$

Damit das, was Du da hingeschrieben hast, einen Sinn ergibt, müssen die Bilinearformen links und rechts definiert sein.
* Für die linke Seite ist das erfüllt, denn Du sprichst ja von "${\Bbb R}^d$ mit euklidischem Skalarprodukt".
* Für die rechte Seite aber nicht, denn dort gibt es weder ein Skalarprodukt (Du hast ja ${\Bbb C}^{m,n}$ nur "mit irgendeiner Norm" versehen) noch eine duale Paarung, denn es tauchen ja nur Vektoren $\in{\Bbb C}^{m,n}$ auf und sonst nichts.

Also musst Du entweder ${\Bbb C}^{m,n}$ mit einem Skalarprodukt ausstatten oder auf anderem Wege zu einer dualen Paarung ergänzen.

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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schlunz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24 14:49

\(\begingroup\)
Hey,

vielen Dank für die Antwort, bis dahin könnte ich mir die dualen Paarungen also erstmal über Skalarprodukte definieren. Was ich am Ende gerne hätte, ist
$\langle T,\mathcal{A}(z)\rangle\leq\Vert T\Vert_*\Vert\mathcal{A}(z)\Vert$,
mit der ganz allgemeinen Norm $\Vert\cdot\Vert$ auf $\mathbb{C}^{m,n}$ und zugehöriger dualer Norm $\Vert\cdot\Vert_*$. Funktioniert das auch dann noch, wenn die Norm nicht von dem Skalarprodukt induziert wird?

Grüße
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-24 15:39

\(\begingroup\)
2018-06-24 14:49 - schlunz in Beitrag No. 2 schreibt:
Was ich am Ende gerne hätte, ist
$\langle T,\mathcal{A}(z)\rangle\leq\Vert T\Vert_*\Vert\mathcal{A}(z)\Vert$

Das ist doch eine direkte Konsequenz der Definition der dualen Norm,

    $\displaystyle
\|T\|_*=\sup_{\|S\|=1}|\langle T,S\rangle|$  ,

wobei $\|\cdot\|$ die von Dir gewählte Norm auf ${\Bbb C}^{m,n}$ ist und erstmal nichts mit der durch das Skalarprodukt $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle$ definierten Norm zu tun hat.
\(\endgroup\)


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schlunz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24 16:17

\(\begingroup\)
Die Definition der Operatornorm auf dem Dualraum von $(\mathbb{C}^{m,n},\Vert\cdot\Vert)$ ist doch erstmal
$$\Vert T\Vert_* = \sup_{\Vert S\Vert=1}\vert T(S)\vert$$
und deine Definition bekommt man, wenn man $(\mathbb{C}^{m,n}, \langle\cdot,\cdot\rangle)$ betrachtet, hätte ich gedacht.
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-24 17:25

\(\begingroup\)
$T(S)$ ist die Anwendung der Linearform $T$ auf den Vektor $S$. Für eine duale Paarung schreibt man das üblicherweise als $\langle T,S\rangle$. Und in dem Spezialfall, dass man den ursprünglichen Raum über ein Skalarprodukt mit seinem Dualraum identifiziert, ist das auch das Gleiche wie das Skalarprodukt der beiden Vektoren $T$ und $S$.

Das das alles ein wenig verwirrend aussieht, liegt daran, dass Du mit $T$ mal einen Vektor und mal eine Linearform bezeichnest. Wenn wir stattdessen mal Linearformen mit Kleinbuchstaben bezeichnen und die Abbildung von ${\Bbb C}^{m,n}$ in seinen Dualraum mit $\iota$, so haben wir:

    1. Anwendung der Linearform $u$ auf den Vektor $S$:  $
u(S) = \langle u,S\rangle_{\rm Duale\;Paarung}$

    2. Innenprodukt der Vektoren $T$ und $S$:  $
\langle T,S\rangle_{\rm Innenprodukt}$

    3. Zusammenhang zwischen beidem:  $
\langle T,S\rangle_{\rm Innenprodukt}=
\langle\iota(T),S\rangle_{\rm Duale\;Paarung}$
\(\endgroup\)


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schlunz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24 18:45

\(\begingroup\)
Ok, wenn ich das SP mit $\langle\cdot,\cdot\rangle$ und die duale Paarung mit $\langle\cdot,\cdot\rangle_*$ bezeichne, gilt also
$\vert\langle T, S\rangle\vert = \langle \iota (T), S\rangle_* \leq \Vert\iota(T)\Vert_* \Vert S\Vert$.

Die duale Paarung ist erstmal von Normen und Skalarprodukten unabhängig und benutzt nur die Vektorraumstruktur (zumindest im Endlichdimensionalen, im Unendlichdimensionalen hängt die Stetigkeit der Operatoren von der topologischen Struktur ab?), meine Abschätzung gilt mit jeder beliebigen Norm und dein 3. Punkt funktioniert deswegen mit beliebigen Skalarprodukten, weil man $\iota$ passend wählt. Habe ich das alles richtig verstanden?

Danke nochmal
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-24 21:24

\(\begingroup\)
2018-06-24 18:45 - schlunz in Beitrag No. 6 schreibt:
Die duale Paarung ist erstmal von Normen und Skalarprodukten unabhängig und benutzt nur die Vektorraumstruktur (zumindest im Endlichdimensionalen [...])

Ja.

Normen kommen dann dadurch ins Spiel, dass die Wahl einer Norm $\|\cdot\|$ auf dem Vektorraum über die duale Paarung eine Norm $\|\cdot\|_*$ auf dem dualen Raum definiert.  

2018-06-24 18:45 - schlunz in Beitrag No. 6 schreibt:
meine Abschätzung gilt mit jeder beliebigen Norm

Ja. Das liegt ganz einfach daran, dass die Norm $\|\cdot\|_*$ gerade so definiert ist, dass diese Abschätzung gilt.

2018-06-24 18:45 - schlunz in Beitrag No. 6 schreibt:
und dein 3. Punkt funktioniert deswegen mit beliebigen Skalarprodukten, weil man $\iota$ passend wählt.

Wobei man $\iota$ gar nicht wählen muss. Das Skalarprodukt legt es eindeutig fest.
\(\endgroup\)


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schlunz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-25 09:53


Alles klar, vielen Dank.



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