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Mathematik » Stochastik und Statistik » Zerlegung des Einheitsintervalls (Gleichverteilung)
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Kein bestimmter Bereich Zerlegung des Einheitsintervalls (Gleichverteilung)
gilligans94
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 09.04.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-24

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Hallo an alle,

Ich habe folgende Aufgabe:

Seien $U_1$ und $U_2$ zwei unabhängige, uniform auf dem Einheitsintervall
$I := [0, 1]$ verteilte Zufallsvariable. Sie zerlegen $I$ in drei Teilintervalle $I_1, I_2, I_3$. Zeigen
Sie: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Längen von $I_1, I_2$ und $I_3$ alle kleiner als $\frac{1}{2}$ sind, ist $\frac{1}{4}$
Seien nun $V_1, V_2$ und $V_3$ drei zufällige Punkte der Ebene, unabängig und uniform auf dem
Einheitskreis verteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $V_1, V2$ und $V_3$ die Ecken
eines spitzwinkligen Dreiecks bilden (alle Winkel kleiner als 90◦).

Also zunächst mal eine grundsätzliche Frage: Wenn ich eine gleichverteilte Zufallsvariable auf einem Intervall habe, heißt das, dass die Zufallsvariable Punkte auf dem Intervall darstellt oder kann es auch ein Intervall sein ?

Also ich hänge noch bei dem ersten Teil mit dem Intervall. Mein Ansatz war das komplementäre Ereignis zu zeigen. Also, wollte die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass jedes Intervall größer gleich $\frac{1}{2}$ ist, aber da weiß ich schon nicht wie ich das ausrechnen soll...

Vielleicht hat da jemand paar Tips ?
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-24

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2018-06-24 18:44 - gilligans94 im Themenstart schreibt:
1) Also zunächst mal eine grundsätzliche Frage: Wenn ich eine gleichverteilte Zufallsvariable auf einem Intervall habe, heißt das, dass die Zufallsvariable Punkte auf dem Intervall darstellt oder kann es auch ein Intervall sein ?

2) Also, wollte die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass jedes Intervall größer gleich $\frac{1}{2}$ ist, aber da weiß ich schon nicht wie ich das ausrechnen soll...

Hallo gilligans94,

1) U1 und U2 sind Zahlen. Wenn etwa U1 = 0,2 und U2 = 0,6, dann haben alle drei Intervalle ein Länge <= 1/2.

2) Diese W'keit ist trivialerweise 0, denn die Summe der Längen der drei Intervalle muss 1 ergeben.
\(\endgroup\)


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gilligans94
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 6
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24

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Oh sorry, ja das geht natürlich nicht... meinte, dass eins der Intervalle  größer gleich $\frac{1}{2}$ ist ..
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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-24

\(\begingroup\)
Huhu gilligans,

der Ansatz ist durchaus in Ordnung.

Setze z.B. $M=\max(U_1, U_2)$ und $m=\min(U_1, U_2)$. Es gilt dann z.B. $\mathbb{P}(M \leq \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ (Warum?). Entsprechendes gilt für $\mathbb{P}(m \geq \frac{1}{2})$. Untersuche dann noch $M-m$ für den Fall, dass $M > \frac{1}{2}$ und $m < \frac{1}{2}$.

lg, AK.
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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-24


Betrachte zunächst den Fall, dass U1 < U2. Welche Bedingungen müssen U1 und U2 erfüllen, damit alle drei Intervalle eine Länge < 1/2 haben?

Skizziere dann in der U1-U2-Ebene denjenigen Bereich, für den alle drei Intervalle eine Länge < 1/2 haben.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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gilligans94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24

\(\begingroup\)
Schon mal Danke für die Antworten!
Ich stehe etwas auf dem Schlauch... Ich verstehe nicht wieso $\mathbb{P}(M \leq \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ ?
Wenn ich das mit der Gleichverteilung ausrechne, komme ich auf:

$\mathbb{P}(M \leq \frac{1}{2}) = \int_0^{0.5} \!  \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}$ ?
\(\endgroup\)


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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-24

\(\begingroup\)
Huhu,

Dein Integral bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass eine auf $[0;1]$-gleichverteilte Zufallsvariable (etwa $U_1$) kleiner als $\frac{1}{2}$ ist. $M$ besitzt aber eine andere Verteilung (die man sich leicht überlegen kann: die Verteilungsfunktion $F_M$ lässt sich "natürlich" aus der Verteilungsfunktion $F_{U_1}$ bestimmen.)

lg, AK.
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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-24


2018-06-24 20:06 - gilligans94 in Beitrag No. 5 schreibt:
Schon mal Danke für die Antworten!
Ich stehe etwas auf dem Schlauch... Ich verstehe nicht wieso <math>\mathbb{P}(M \leq \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}</math> ?
Wenn ich das mit der Gleichverteilung ausrechne, komme ich auf:

<math>\mathbb{P}(M \leq \frac{1}{2}) = \int_0^{0.5} \!  \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}</math> ?

<math>M \leq \frac{1}{2}</math> bedeutet, dass <math>U_1\leq\frac{1}{2}</math> und <math>U_2\leq\frac{1}{2}</math> sind. Da beide Zufallsvariablen unabhängig voneinander sind, folgt...


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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gilligans94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24

\(\begingroup\)
Super, vielen Dank! Ihr habt mir schon mal sehr geholfen.. ich fasse nochmal kurz zusammen:
Es gibt drei Möglichkeiten, dass eines der Intervalle größer gleich $\frac{1}{2}$ ist (die drei Möglichkeiten aus AnnaKaths Antwort).
Da $U_1, U_2$ unabhängig sind, ist $\mathbb{P}(M \leq \frac{1}{2}) = \mathbb{P}(U_1 \leq \frac{1}{2}) * \mathbb{P}(U_2 \leq \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$.
Für $\mathbb{P}(m \geq \frac{1}{2})$ und für $M-m$ geht das analog. Also erhalte ich für jede Möglichkeit $\frac{1}{4}$, was aufsummiert dann $\frac{3}{4}$ ergibt und da wir das komplementäre Ereignis betrachtet haben, erhalten wir $1-\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.


Hat jemand vielleicht noch einen Tipp zu dem zweiten Teil mit dem spitzwinkligen Dreieck ? Wahrscheinlich kann man dafür den Teil mit den Intervallen irgendwie benutzen aber ich sehe noch nicht wie.
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-06-24

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Hier noch mal "meine" Methode.



Der blaue Bereich ist die Menge der (U1,U2), für die die drei Intervalle alle kleiner als 1/2 sind. Der Flächeminhalt beträgt 1/4.

Ähnlich kannst du auch bei der zweiten Aufgabe vorgehen.

Fasse einen Punkt auf dem Kreis als Zahl im Intervall \([0,2\pi]\) auf. ObdA sei V1 = 0.

Wie sieht der Bereich in der V2-V3-Ebene aus, sodass alle Winkel kleiner als \(\pi/2=90°\) sind?
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gilligans94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24

\(\begingroup\)
Ahh.. auf die Idee, den Kreis als Intervall zu schreiben, bin ich natürlich nicht gekommen...

Wählt man nun ,wie du schon vorgeschlagen hast $V_1 = 0$, erhält man bspw. den Winkel am Punkt $V_1$ zu den anderen Punkten mit $V_3 - V_2$, wenn diese auch in $[0,2 \pi]$ liegen.
Ich weiß jetzt aber nicht genau wie ich weitermachen soll.. Bei dem Teil mit dem Intervall hat man ja die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass ein Intervall größer gleich $\frac{1}{2}$ ist, aber die Hälfte unseres Intervalls hier ist ja $\pi$ und wir bräuchten, um den Teil mit dem Intervall anwenden zu können, ja $\frac{\pi}{2}$ in der Hälfte des Intervalls..
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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-06-25


Wenn du die Punkte auf dem Kreis mit Mittelpunkt <math>M</math> entgegen des Uhrzeigersinns mit <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> bezeichnest, dann ist das Dreieck <math>ABC</math> genau dann spitzwinklig, wenn die Winkel <math>AMB</math>, <math>BMC</math> und <math>CMA</math> alle kleiner als <math>\pi</math> sind.
Kennst du den Zentriwinkelsatz? de.m.wikipedia.org/wiki/Kreiswinkel#Zentriwinkelsatz



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-06-25

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2018-06-24 22:02 - gilligans94 in Beitrag No. 10 schreibt:
Bei dem Teil mit dem Intervall hat man ja die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass ein Intervall größer gleich $\frac{1}{2}$ ist, aber die Hälfte unseres Intervalls hier ist ja $\pi$ und wir bräuchten, um den Teil mit dem Intervall anwenden zu können, ja $\frac{\pi}{2}$ in der Hälfte des Intervalls..

Was meinst du mit dem letzten Halbsatz? Tasächlich kannst du mit dem Hinweis von ochen hier direkt Teil a anwenden.
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