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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Eine Funktion ist implizit definiert
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Universität/Hochschule Eine Funktion ist implizit definiert
mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-24


Hallo,

ich gucke folgende Aufgabe:

Begründen Sie, dass durch die Gleichung <math>x^3 -3x + 2 + ye^y = 0</math> implizit eine Funktion <math>y = f(x)</math> auf <math>\mathbb{R}</math> de finiert ist. Untersuchen Sie <math>f</math> auf lokale Extremwerte.

Wie kann man das begründen? Wenn man den Satz der impliziten Funktionen anwenden bekommt man nicht eine Teilmenge statt das ganze <math>\mathbb{R}</math> ?



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-24

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Hallo mathletic,

2018-06-24 20:41 - mathletic im Themenstart schreibt:
Wenn man den Satz der impliziten Funktionen anwenden [...]

Es gibt ja noch mehr als den Satz über implizite Funktionen. Beispielsweise weiß man, dass streng monotone Funktionen umkehrbar sind.

2018-06-24 20:41 - mathletic im Themenstart schreibt:
Begründen Sie, dass durch die Gleichung <math>x^3 -3x + 2 + ye^y = 0</math> implizit eine Funktion <math>y = f(x)</math> auf <math>\mathbb{R}</math> definiert ist.

Wenn Du hier nicht irgendwas falsch abgeschrieben hast, ist die Aussage der Aufgabe allerdings falsch: Für große $x$ wirst Du kein passendes $y$ finden, da $y\,e^y$ nicht beliebig klein werden kann.

Grüße,
dromedar
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mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24

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2018-06-24 21:45 - dromedar in Beitrag No. 1 schreibt:
2018-06-24 20:41 - mathletic im Themenstart schreibt:
Begründen Sie, dass durch die Gleichung <math>x^3 -3x + 2 + ye^y = 0</math> implizit eine Funktion <math>y = f(x)</math> auf <math>\mathbb{R}</math> definiert ist.

Wenn Du hier nicht irgendwas falsch abgeschrieben hast, ist die Aussage der Aufgabe allerdings falsch: Für große $x$ wirst Du kein passendes $y$ finden, da $y\,e^y$ nicht beliebig klein werden kann.

Achso. Gilt es wenn wir eine Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> betrachten, oder gilt diese Aussage gar nicht?
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-24

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2018-06-24 22:16 - mathletic in Beitrag No. 2 schreibt:
Gilt es wenn wir eine Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> betrachten [...]

Ja. Die Gleichung liefert eine Funktion $y=f(x)$, wenn man sich auf $x\in(-\infty,-2]$ beschränkt.
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mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24

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2018-06-24 22:40 - dromedar in Beitrag No. 3 schreibt:
2018-06-24 22:16 - mathletic in Beitrag No. 2 schreibt:
Gilt es wenn wir eine Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> betrachten [...]

Ja. Die Gleichung liefert eine Funktion $y=f(x)$, wenn man sich auf $x\in(-\infty,-2]$ beschränkt.

Achso! Und wie kann man das beweisen/begründen?
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-24

\(\begingroup\)
2018-06-24 22:49 - mathletic in Beitrag No. 4 schreibt:
Und wie kann man das beweisen/begründen?

Mit den Funktionen

    $q\colon y\mapsto y\,e^y$    und    $p\colon x\mapsto -x^3+3x-2$

hat die gegebene Gleichung die Form

    $q(y)=p(x)$  .

Nun kann man einfach nachrechnen:

    1. $q\bigl([0,\infty)\bigr)=[0,\infty)$.

    2. $q^{-1}\bigl([0,\infty)\bigr)=[0,\infty)$.

    3. $\left.q\right|_{[0,\infty)}$ ist streng monoton.

    4. $p\bigl((-\infty,-2]\bigr)\subseteq[0,\infty)$.

Aus (4) und (1) folgt erstmal, dass die Gleichung $q(y)=p(x)$ für $x\in(-\infty,-2]$ lösbar ist. Aus (2) folgt dann, dass alle Lösungen $y$ in $[0,\infty)$ liegen. Und schließlich folgt aus (3), dass die Lösung eindeutig ist.
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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-25


Für interessierte, die gern über den Tellerrand schauen:

y*e^y=3x-x³-2
Umkehrfunktion ist längst bekannt:
LambertW-Beispiele.html
und
Lambertsche_W-Funktion
y=LambertW(n, -2 + 3 x - x^3) mit n=-1...2 {n ganz, je nach komplexen Zahlen}
Ableitung für Extrema für n=0:

d/dx LambertW(0, -2 + 3 x - x^3)
= (3 (x + 1) W(-x^3 + 3 x - 2))/((x - 1) (x + 2) (W(-x^3 + 3 x - 2) + 1))

also 2 Lösungen x=1 {und komplex um x=-1, was aber wegen Aufgabenstellung nur reelle Zahlen wegfällt}.

grafische Ansicht der Extrempunkte:
erst um x=1 herum:
plot mit LambertW Funktion

{nur Zugabe, da laut Aufgabe nur reelle Zahlen betrachtet werden...
um x=-1 herum nur komplex (rot=imaginär-Anteil):
plot mit LambertW Funktion um -1
 ...}



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-25

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2018-06-25 11:44 - hyperG in Beitrag No. 6 schreibt:
erst um x=1 herum:

Mach Dir doch erstmal in Ruhe klar, was Du da rechnest: Um $x=1$ herum ist die Gleichung überhaupt nicht eindeutig nach $y$ auflösbar.
\(\endgroup\)


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