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  Kugelschale geteilt in zwei Hemisphären: geerdet und nicht geerdet |
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quarks
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 29.04.2017
Mitteilungen: 56
 |  Themenstart: 2018-07-05
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Hallo,
ich habe eine Frage zur folgender Aufgabe:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47886_hemisph_ren.png
Ich bin mir nicht genau sicher, was mit der Aufgabenstellung gemeint ist. Gemeint ist wohl, dass ich
$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{l=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}(\theta ,\varphi ){\frac {q_{lm}}{r^{l+1}}}}$$
$$q_{lm}={\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}\,\int d^{3}r^{\prime }\,\rho (\mathbf {r} ^{\prime })\,{r^{\prime }}^{l}\,Y_{lm}^{*}(\theta ^{\prime },\varphi ^{\prime })$$
für beide Hemispähren getrennt ausrechnen soll.
Meine Frage ist jetzt, wie ich auf die Ladungsdichte $\rho(\vec r ')$ komme, wenn ich nur Potential Null und Potential V der beiden Hemisphären gegeben habe?
Kann mir einer bitte einen Tipp geben, um dann vielleicht selber draufkommen zu können?
Gruß
quarks
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 Profil
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Orangenschale
Senior 
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2282
Wohnort: Heidelberg, Deutschland
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-05
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Hallo quarks,
das gesuchte Potential erfüllt die Laplacegleichung $\Delta\Phi=0$, wobei $\Phi$ auf dem Rand, also der Fläche $r=a$, gegeben ist. Ganz allgemein kann man die Lösung der Laplacegleichung in Kugelkoordinaten immmer schreiben als $$\Phi(\boldsymbol r) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\left(A_l r^l+B_l r^{-(l+1)}\right)Y_{lm}(\cos\theta).$$ Für $ra$ muss darf Potential insbesondere im unendlichen nicht divergieren, deswegen gilt $A_l=0$ im Außenraum.
Um (b) zu lösen musst du die Symmetrie des Problems nutzen um das Potential weiter zu vereinfachen, und dann noch ein paar Relationen der Legendrepolynome um die noch unbestimmten Koeffizienten des Potentials zu berechnen.
Letztendlich entwickelst du das Potential in orthogonale Basisfunktionen (Legendrepolynome bzw. Kugelflächenfunktionen). Vergleichbar ist das mit der Entwicklung einer Funktion in eine Fourierreihe.
Viele Grüße
OS
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quarks hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
quarks hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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