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 r vs r' Koordinaten inkl. Beispiel: inhomogen geladener Kreisring |
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quarks
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 29.04.2017
Mitteilungen: 56
 |  Themenstart: 2018-07-07
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Hallo,
obwohl ich schon einige Beispiele zur Berechnung von Ladungs- und Stromdichte inklusive Magnetfelder und Potentiale gemacht habe, um Routine reinzubekommen, verwirrt es mich immer wieder komischerweise, was jetzt nun r und r' ist. Da gefühlt die Notation immer anders ist, obwohl es im Endeffekt eine triviale Sache zum Verstehen ist.
Ich versuchs mal selber logisch nachzuvollziehen:
Also für das Berechnen der Potentiale oder E- und B-Felder mit den Formeln
$$\Phi (\vec r) = \int d^3 r' \frac{\rho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|}$$
$$\vec E (\vec r) = \int d^3 r' \rho(\vec r ') \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^3}$$
$$\vec B (\vec r) = \frac{1}{c}\int d^3 r' \vec j(\vec r ') \times \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^3}$$
ist es hilfreich die Strom- und Ladungsdichte genaz zu wissen, also mit jenen Koordinaten, die genau hinzeigen. Bei Punktladungen ist es offentsichtlich nur ein einziger Vektor und bei geladenen "Objekten" grenzt man das mit Hilfe von Delta-Distributionen und Heaviside-Funktionen ein.
Beispiel für die Ladungsdichte einer homogen geladenen Kugelschale: $$\rho (\vec r') = \frac{q}{4\pi R^2}\delta(r'-R)$$ und einer homogen geladenen Kreisscheibe: $$\rho (\vec r') = \frac{q}{\pi R^2}\theta(R-r')\delta(z')$$
Kurz gesagt: Ich gebe meine Dichten immer in jene Koordinaten("Strich-Koordinaten") an, die mir den Ort der geladenen Objekte zeigen. Um anschließend den Wert eines Feldes an einem beliebigen Ort im Raum $\vec r$, das von dem geladenen Objekt hervorgerufen/beeinflusst wird, zu bekommen, muss ich, wie oben an den Formel gezeigt, über diese Strich-Koordinaten integrieren.
Ich stellte mir die Frage, warum das dan beim Ausrechnen der Felder über die Strich-Koordinaten integriert. Wenn ich eben \rho(\vec r ') von so einer homogen geladenen Kugelschale gegeben habe und ich dann über das Volumen einer Kugel in Strichkoordinaten über die Ladungsdichte integriere, bekomme ich exakt meine Gesamtladung, die sich genau auf der Kugeloberfläche(unendlich dünn) befindet. Und das habe ich eben mit Hilfe der Delta-Distribution und Strichkoordinaten eingegrenzt.
Habe ich das im Prinzip richtig verstanden? Ist irgendetwas falsch bzw. gibt es etwas relevantes hinzzufügen?
LG
quarks
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-07
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Hi quarks,
mit der Strich-Variablen wird die Integrationsvariable bezeichnet.
r selbst ist die Koordinate des Punktes, in dem wir das Potential betrachten.
Es handelt sich also nicht um ein anderes Koordinatensystem, sondern um eine Bezeichnung, die zum Integrieren eingeführt wird.
Gruß Buri
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quarks
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2017
Mitteilungen: 56
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-07
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Hallo Buri, danke.
Ja genau jetzt ist es klarer, beides r und r' ist im selben Koordinatensystem.
D.h. r' ist deswegen auch eben die Integrationsvariable (bei den Integralen mit der Ladungsdichte), da genau r' die Form des geladenes Objektes definiert.
Bzw. impliziert ja auch meine Ladungsdichte $\varrho(\vec r')$ die Form des geladenen Objektes mit Hilfe der Heavisidefunktion und Delta-Distributionen, die genau in r' angegeben werden.
Denn das Integral $\int d^3 r' \varrho(\vec r ')$ ist genau meine Gesamtladung am geladenen Objekt.
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Ich möchte gerne noch ein kurzes Beispiel zu dem Thema besprechen bitte. Es geht um einen inhomogen geladenen Kreisring in der z=b Ebene.
Das Potential:
$\Phi(\vec r) = \int d^3 r' \frac{\varrho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|}$
Vorgegebene Ladungsdichte des Kreisrings in Zylinderkoordinaten::
$\varrho(\vec r')=\lambda \delta(\rho '-a)\delta(z'-b)cos(\phi ')$
Betrag des Abstandes ($\rho = 0$):
$|\vec r - \vec r'| = \sqrt{\rho'^2 + (z-z')^2}$
Und weiter mit dem Potential und alles darin eingesetzt:
$\Phi(z) = \lambda \int_0^a d \rho ' \int_0^b dz' \int_0^{2\pi} d\phi ' \frac{\rho'}{\sqrt{\rho'^2 + (z-z')^2}}\delta(\rho '-a)\delta(z'-b)cos(\phi ')$
Und weiter ausgerechnet:
$\Phi(z) = \lambda\frac{a}{\sqrt{a^2 + (z-b)^2}} \int_0^{2\pi} cos(\phi ' ) d\phi '$
Hier sieht man, dass das Potential entlang der z-Achse sich Aufgrund des Kosinuses in der Ladungsdichte weghebt. Hätte man nun eine homogene Ladungsdichte aufgrund Azimutaler Symmetrie, wäre das Potential entlang der z-Achse nicht Null. Also hängt das Potential stark von den Ladungsdichten ab.
Auch bei diesem Beispiel war mir immer Unklar, ob ich jetzt nach $d\phi '$ oder doch $d\phi$ integrieren muss, was ja erhebliche Unterschiede macht wie man sieht.
Stimmt das Beispiel aber so, wie ich es gerechnet habe?
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darkhelmet
Senior
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2684
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-07
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\quoteon(2018-07-07 14:54 - quarks in Beitrag No. 2)
D.h. r' ist deswegen auch eben die Integrationsvariable (bei den Integralen mit der Ladungsdichte), da genau r' die Form des geladenes Objektes definiert.
\quoteoff
Nein. r' ist die Integrationsvariable, weil r schon vergeben war. Der Strich hat keine tiefere Bedeutung.
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quarks
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2017
Mitteilungen: 56
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-07
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Danke dir, da habe ich wohl zu viel reinintepretiert.
Stimmt das Ergebnis von mir bei dem inhomogenen Kreisring?
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| quarks hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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