Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Mathematik » Notationen, Zeichen, Begriffe » Notation Komposition mit beliebiger Anzahl Glieder
Autor
Universität/Hochschule J Notation Komposition mit beliebiger Anzahl Glieder
IVmath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 602
  Themenstart: 2018-07-07

Hallo, ich möchte Folgendes formelmäßig darstellen: \(F=f_{1}\circ f_{2}\circ\ ...\ \circ f_{n-1}\circ f_{n}\). 1. Muß ich angeben, daß \(n\) eine natürliche Zahl ist? 2. Muß ich angeben, daß \(n\) größer \(0\) ist? 3. Gilt meine Formel auch für \(n\in \{1,2,3\}\)? 4. Wie kann man das so formulieren, daß es auch für \(n\in \{1,2,3\}\) eindeutig ist? (Bin kein Mathematiker und kein Student.) Vielen, vielen Dank!


   Profil
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7272
Wohnort: Milchstraße
  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-07

Hallo, nein, ja (wenn es so sein soll), ja, obsolet


   Profil
IVmath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 602
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-15

Vielen Dank. Und wenn man das tatsächlich eindeutig formulieren wollte - ohne sonstige Konventionen, dann wäre das sicher aufwendiger hinzuschreiben, oder?


   Profil
dromedar
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Wohnort: München
  Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-15

\quoteon(2018-07-15 16:44 - IVmath in Beitrag No. 2) Und wenn man das tatsächlich eindeutig formulieren wollte - ohne sonstige Konventionen, dann wäre das sicher aufwendiger hinzuschreiben, oder? \quoteoff Nein, Du könntest rekursiv für $k\in{\Bbb N}_1$ die Funktionen $\begin{align*} F_1&=f_1\\[1.5ex] F_{k+1}&=F_k\circ f_{k+1} \end{align*}$ definieren und dann für das Dich interessierende $n\in{\Bbb N}_1$ $F=F_n$ setzen.


   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46422
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-15

\quoteon(2018-07-07 21:08 - IVmath im Themenstart) 1. Muß ich angeben, daß \(n\) eine natürliche Zahl ist? 2. Muß ich angeben, daß \(n\) größer \(0\) ist? 3. Gilt meine Formel auch für \(n\in \{1,2,3\}\)? 4. Wie kann man das so formulieren, daß es auch für \(n\in \{1,2,3\}\) eindeutig ist? \quoteoff Hi IVMath, 1. nein. 2. nein. 3. ja. 4. Es ist schon so eindeutig. Zum Beispiel ist für n=1 F = f1, für n=2 F = f1°f2. Gruß Buri


   Profil
IVmath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 602
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-15

Das meine ich ja. Als Alternative bleibt wohl nur die rekursive Definition. Und wie ich bei Dir sehe, ist das doch nicht wesentlich aufwendiger hinzuschreiben als \(F=f_{1}\circ f_{2}\circ\ ...\ \circ f_{n-1}\circ f_{n}\). Danke, prima. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


   Profil
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3341
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.6, eingetragen 2018-07-16

Bei 2 gibts da bisher offensichtlich Uneinigkeiten. Dann geb ich auch mal meinen Senf dazu: Ja. Wenn nichts weiter gesagt ist, würde ich hier annehmen, dass n=0 möglich ist. F wäre dann die Identität. Wenn nicht klar ist, wovon die Identität, würde ich mich fragen, warum der Autor nicht $n\geq 1$ dazugeschrieben hat und hoffen, dass dieses Problem später keine Rolle mehr spielt.


   Profil
IVmath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 602
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16

Na, aber es geht doch ganz offensichtlich mit \(f_1\) los, und nicht mit \(f_0\). Das ist an der Stelle doch eindeutig. Also braucht man doch \(n\geq 1\) gar nicht hinschreiben, oder?


   Profil
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3341
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.8, eingetragen 2018-07-16

Es geht mir nicht um $f_0$ oder $f_1$, sondern was passiert, wenn die Komposition "leer" ist. In dem Fall sollte $F$ das Neutralelement der Komposition sein, also die identische Abbildung, so wie eine leere Summe $0$ und ein leeres Produkt $1$ ist. Wenn man diese Fälle ausschließen möchte, sollte man das meines Erachtens dazusagen.


   Profil
IVmath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 602
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16

Ich lese \(1,2,...,n-1,n\) als Folge aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, als Folge \((a_i)\) mit \(1\leq a_i\leq n\). Wie kann denn hier \(n=0\) sein?


   Profil
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3341
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.10, eingetragen 2018-07-16

Wenn n=0 ist, ist die Folge leer.


   Profil
viertel
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27784
Wohnort: Hessen
  Beitrag No.11, eingetragen 2018-07-16

Hi IVmath Wie viele Summanden hat diese Summe: S=sum(i^2,i=1,0) Und welchen Wert hat S? Nebenbei bemerkt ist deine Form \(F=f_{1}\circ f_{2}\circ\ ...\ \circ f_{n-1}\circ f_{n}\) ungeschickt. Denn die Verkettung von Funktionen wird von rechts nach links ausgewertet. Sinnvoll ist da eher \(F=f_{n}\circ f_{n-1}\circ\ ...\ \circ f_{2}\circ f_{1}\) Wenn dann eine neue äußere Funktion $f_{n+1}$ dazu kommt, wird sie einfach links angehängt. Aber natürlich ist auch denkbar, daß durch Substitution eine neue innerste Funktion dazu kommt: \(F=f_{1}\circ f_{2}\circ\ ...\ \circ f_{n-1}\circ f_{n}\circ f_{n+1}\) Gruß vom ¼


   Profil
IVmath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 602
  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16

\quoteon(2018-07-16 15:02 - ligning in Beitrag No. 10) Wenn n=0 ist, ist die Folge leer. \quoteoff n kann nicht 0 sein, denn die Folge beginnt mit 1, nicht mit 0, oder? Ich denke mal, bei korrekter Verwendung des Summenzeichens muß der obere Laufindex größer gleich dem unteren sein, oder?


   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46422
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.13, eingetragen 2018-07-16

\quoteon(2018-07-16 16:13 - IVmath in Beitrag No. 12) ... muß der obere Laufindex größer gleich dem unteren sein, ...? \quoteoff Hi IVMath, nein, das muss nicht sein. Der obere Index kann um 1 kleiner sein als der untere, das ist eine korrekte Verwendung des Summenzeichens, und die Summe ist in diesem Fall gleich 0. Gruß Buri


   Profil
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3341
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.14, eingetragen 2018-07-16

Die Folge besteht aus allen natürlichen Zahlen n mit $1\leq n\leq 0$. Also aus keiner. Das kann einem gefallen oder nicht, aber so wird es gehandhabt. Auch beim Summenzeichen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]


   Profil
IVmath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 602
  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-16

Also, ich stelle fest, bei der Angabe von Laufindizes wo der untere Index eine Konstante und der obere eine Variable (hier: n) ist, kann der obere Laufindex auch kleiner als der untere sein. Wenn ich aber explizit angebe \(f_1,f_2,...,f_{n-1},f_n\), kann dann n wirklich auch 0 sein?


   Profil
viertel
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27784
Wohnort: Hessen
  Beitrag No.16, eingetragen 2018-07-16

\quoteon(2018-07-16 16:57 - IVmath in Beitrag No. 15) Wenn ich aber explizit angebe \(f_1,f_2,...,f_{n-1},f_n\), kann dann n wirklich auch 0 sein? \quoteoff Ja warum denn nicht? Es sei denn, die Problemstellung schließt das von der Sache her aus. Es ist völlig egal, ob untere und/oder obere Grenze konstant oder variabel sind. Wenn die Obergrenze kleiner ist als die Untergrenze, dann ist die betreffende Indexmenge eben leer. Denn es gibt nun mal kein $i$ in der Summe $\sum_{i=1}^0 i^2$, für das gleichzeitig $1 \le i$ und $i \le 0$ gilt. Auch wenn ich die Summe so schreibe: $1+2+ \dots +n$ ist die Summe im Fall $n=0$ leer, d.h. ihr Wert ist $0$. Und hier sieht man auch einen Nachteil der Pünktchenschreibweise: damit kann man keine leere Summe direkt notieren, wie z.B. mit dem Summenzeichen.


   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46422
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.17, eingetragen 2018-07-16

\quoteon(2018-07-16 16:57 - IVmath in Beitrag No. 15) ... kann dann n wirklich auch 0 sein? \quoteoff Hi IVMath, ja, das kann sein. Gruß Buri


   Profil
IVmath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
IVmath hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]