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 Multipolmoment eines inhomogenen geladenen Kreisringes |
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quarks
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Mitteilungen: 56
 |  Themenstart: 2018-07-08
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Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47886_inhomogener_kreisring.png
Teil b.) habe ich schon hier gepostet: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=236810&start=0#p1722690
Aber ich denke ein eigenes Thema zu eröffnen ist besser.
a.) Die Ladungsdichte in Kugelkoordinaten: $\varrho(\vec r')=\frac{1}{r'^2 sin \theta '}\delta(r' -a)\delta(\theta-atan(\frac{a}{b}))cos \varphi '$
c) Ich habe versucht die Multipolmomente $Q_{lm}$ zu berechnen bzw. bei welchen l und m dieses verschwindet.
Eingesetzt in den Formeln:
$${\displaystyle q_{lm}={\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}\frac{Q}{2\pi a}\int _{0}^{\infty }dr'\int _{0}^{\pi }d\theta' \int _{0}^{2\pi }d\varphi' \cdot cos \varphi' {r^{\prime }}^{l} \cdot\delta(r'-a)\cdot\delta(\theta ' - atan(\frac{a}{b})) Y_{lm}^{*}(\theta' ,\varphi' )}$$
$$Y^*_{lm}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} N_{lm}P_{lm}(cos\theta')e^{-im\varphi'}$$
mit den Normierungsfaktoren $N_{lm}$ und Legendre-Polynomen $P_{lm}$: de.wikipedia.org/wiki/Kugelfl%C3%A4chenfunktionen#Darstellung
Ich will die einzelnen Integrale nun einzeln behandeln:
$r'$-Integral: Das ergibt einfach $a^l$.
$\varphi'$-Integral: $$\int_0^{2\pi} d\varphi' cos \varphi ' \cdot e^{-im\varphi '} = \frac{i(1-e^{-i2\pi m}}{1-m^2}$$
Dieses Integral ist bei $m=\pm 1$ gleich $\pi$. Bei allen anderen m-Werten ist dieses Null, da der Zähler im erwähnten Bruch verschwindet.
$\theta'$-Integral: $$\int_0^\pi d\theta ' \cdot P_{l\pm1}(cos \theta')\delta(\theta'-atan(\frac{a}{b})) = \int_0^\pi d\theta ' \cdot \frac{(-1)^{\pm 1}}{2^l l!}(1-cos^2 \theta)^\frac{\pm 1}{2} \frac{d^{l+\pm 1}}{d(cos(\theta '))^{l+\pm 1}}(cos^2 \theta -1)^l \cdot \delta(\theta'-atan(\frac{a}{b}))$$
Da sich der atan() zwischen $\pm 1,5$ bewegt, ist dieses Integral nicht unbedingt Null. Also ich würde mal behaupten, dass das Integral eigentlich nie exakt Null werden kann, da es auch für alle l's gültig ist. Und alle Ableitungen einfach immer zu höheren Polynomen mit n-ter Ordnung werden.
Mir ist es wichtig diese Sachen zu verstehen. Könnt ihr mir bitte sagen, ob ich das so richtig "analysiert" habe?
LG
quarks
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Orangenschale
Senior 
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2282
Wohnort: Heidelberg, Deutschland
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-10
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Hallo quarks,
in deiner Ladungsdichte haben sich schon einige Fehler eingeschlichen.
1) $\lambda$ fehlt.
2) $\varrho$ und $r$ sind nicht identisch.
3) Die gestrichenen Koordinaten sind unnötig, aber wenn du sie einführst, dann solltest du alle Koordinaten mit einem Strich versehen.
Dann bei der Berechnung der Multipolmomente musst du vorsichtig sein. Zum einen verwendest du eine Gleichung, in der die Ladung $Q$ vorkommt. Des weiteren gilt deine Multipolentwicklung nur für den "Außenraum", also für alle $r$ die weiter weg vom Ursprung liegen als die am weitest entfernte Ladung.
Schau dir bitte nochmal die Herleitung der Multipolmomente an. Ich empfehle dir folgenden Weg: Bei gegebener Ladungsdichte und ohne weitere Randbedingungen findet man das Potential im gesamten Raum über die Berechnung des Integrals $$\Phi(\boldsymbol r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int d^3r' \frac{\rho(\boldsymbol r')}{| \boldsymbol r -
\boldsymbol r' |}.$$ Es gibt nun einen expliziten Ausdruck von $ \frac{1}{| \boldsymbol r -
\boldsymbol r' | }$ als Summe über Kugelflächenfunktionen, die für alle $r$ gültig ist.
Viele Grüße
OS
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