Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Holomorphie » Dritte Wurzel einer holomorphen Funktion
Autor
Universität/Hochschule J Dritte Wurzel einer holomorphen Funktion
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1568
  Themenstart: 2018-07-11

Ein komplexes Hallo! Es gibt eine Aufgabe, wo ich Hilfe brauche: Gibt es eine holomorphe Funktion $f$, für die $f(z)^3 = z^3-1$ für $z \in B_1(0)$ gilt? Als Hinweis ist der Hauptzweig des Logarithmus angegeben. Mir ist allerdings nicht klar, wie man den Logarithmus mit dieser Frage verbinden kann. Insbesondere hat $z^3-1$ in $z=0$ keine Nullstelle, d.h. es ist nicht klar, ob es sich in $0$ wie eine Potenz verhält - vermutlich tut sie das auch nicht. Kezer :-)


   Profil
darkhelmet
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2656
Wohnort: Bayern
  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-11

\quoteon(2018-07-11 10:57 - Kezer im Themenstart) Mir ist allerdings nicht klar, wie man den Logarithmus mit dieser Frage verbinden kann. \quoteoff Was du hier ja eigentlich machen willst, ist auf beiden Seiten die dritte Wurzel ziehen. Und dritte Wurzel heißt $w\mapsto e^{\frac{1}{3}\log w}$, wobei sich eben dann die Frage stellt, inwiefern der Logarithmus definiert ist.


   Profil
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1568
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-11

Ahh, d.h. ich definiere $f(z) = e^{\frac13 \log (z^3-1)}$, wobei ich $\log$ als Nebenzweig des Logarithmus so definiere, dass $\log : \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{C}$ holomorph ist (kann man machen, indem man den Hauptzweig ein wenig modifiziert und daran "herumbastelt"). Mit der Voraussetzung lässt sich leicht nachrechnen, dass $\operatorname{Re}(z^3-1) < 0$ gilt. Somit ist eine holomorphe Funktion $f$ gefunden. Ich finde es allerdings ein wenig verwirrend, dass der Hauptzweig als Hinweis angegeben wurde. Hast Du an die gleiche Lösungsidee gedacht? Danke für die Antwort, war hilfreich! Kezer :-)


   Profil
darkhelmet
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2656
Wohnort: Bayern
  Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-11

\quoteon(2018-07-11 22:48 - Kezer in Beitrag No. 2) Ahh, d.h. ich definiere $f(z) = \frac13 \log (z^3-1)$ \quoteoff e hoch das ganze. \quoteon(2018-07-11 22:48 - Kezer in Beitrag No. 2) Hast Du an die gleiche Lösungsidee gedacht? \quoteoff Ja, genau. \quoteon(2018-07-11 22:48 - Kezer in Beitrag No. 2) Ich finde es allerdings ein wenig verwirrend, dass der Hauptzweig als Hinweis angegeben wurde. \quoteoff Ich glaube, "Nebenzweige" gibt es gar nicht. Was du verwendest, ist ein anderer Hauptzweig als der gebräuchlichste. Nicht, dass ich die Terminologie besonders logisch finde...


   Profil
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1568
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-11

\quoteon(2018-07-11 23:14 - darkhelmet in Beitrag No. 3) e hoch das ganze. \quoteoff Oh ja, war ein Typo, ist korrigiert. \quoteon(2018-07-11 23:14 - darkhelmet in Beitrag No. 3) Ich glaube, "Nebenzweige" gibt es gar nicht. Was du verwendest, ist ein anderer Hauptzweig als der gebräuchlichste. Nicht, dass ich die Terminologie besonders logisch finde... \quoteoff Hm, ich habe in meiner Vorlesung diesen Begriff kennengelernt (schwammig definiert), es lässt sich auch in gewisser Literatur/Internet wiederfinden. Diese Aufgabe stammt aber nicht aus meiner Vorlesung, also kann es durchaus sein, dass der Aufgabensteller "einen" Hauptzweig des Logarithmus genauso wie Du kennst.


   Profil
Kezer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kezer hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]