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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Integration im IR^n » Gradient von Volumen
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Universität/Hochschule Gradient von Volumen
digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-19

\(\begingroup\)
Sei $f(x,y,z)$ eine integrierbare Funktion die auf ganz $\IR^3$ definiert ist. Ich betrachte
$$
F(x,y,z)=\int_V {\rm d}^3x' \, f(x',y',z')
$$
wobei $V$ ein Volumen ist das von einer parametrisierbaren Fläche begrenzt wird. Ist es möglich von $F$ den Gradienten zu bilden bzw. wenn ja wie?

Was ich eigentlich möchte ist wissen wir sich $F$ bei Deformation des Integrationsgebiet ändert.
\(\endgroup\)


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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-19


Hi, wahrscheinlich verstehe ich die Aufgabe falsch, aber für mich hängt die rechte Seite nicht von <math>x,y,z</math> ab, sondern ist einfach nur ein Skalar.



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19


Ja bei festem Volumen ist das der Fall. Ich möchte quasi mein Integrationsvolumen als variable Größe auffassen.
Man stelle sich beispielsweise eine Kugel als Integrationsgebiet vor und jetzt werden Störgrößen eingeführt die die Kugeloberfläche leicht deformieren, so dass man das Integral als Funktion dieser Störgrößen ausdrücken kann.



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-19

\(\begingroup\)
Definiere "deformieren". Eine Möglichkeit, dir ich vom Induktionsgesetz her kenne, ist die Deformation eines Gebietes als Fluss eines Vektorfeldes \(\vec v\) (im mathematischen Sinne von Flow, nicht Flux) zu beschrieben, d.h. wenn \(V_t=\phi_t(V_0)\subset\mathbb{R}^3\) das parameterabhängige Gebiet und \(\phi_t:\mathbb R\times\mathbb R^3\to\mathbb R^3\) ein Fluss mit den Eigenschaften \(\phi_0=\mathrm{id}\) und \(\phi_{s+t}=\phi_s\circ\phi_t\) ist, bzw. es gilt \(\phi_t'(x(0))=\vec v(x(0), t)\), v ist also das Vektorfeld, was Richtung und Stärke der Deformation des Volumens zur Zeit t am Ort p beschreibt.
Jetzt kann man im Prinzip das Reynolds-Transporttheorem bemühen:  \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{\phi_t(V_0)}\omega(t) = \int\limits_{V_0}\left(\dot\omega(t)+\mathcal L_{\vec v}\omega\right)\). Hierbei ist \(\omega\) eine parametrisierte 3-Form (Volumenform) und die \(\mathcal L_{\vec v}\omega\) die Lie-Ableitung der Volumenform in Richtung des Vektorfeldes, welches zum Fluss \(\phi_t\) gehört. Den letzten Term kannst du dann noch etwas umformen, indem du die berühmte Identität \(\mathcal L_{\vec v}=\mathrm d\circ\iota_{\vec v}+\iota_{\vec v}\circ\mathrm d\) einsetzt (mit Cartan-Ableitung \(\mathrm d\) und innerem Produkt \(\iota_{\vec v}\) und ggf. mit dem Satz von Stokes spielst. Beachte, dass der letzte Term derjenige ist, der durch die Parameterabhängigkeit des Volumens zustande kommt, während der erste Term durch die Parameterabhängigkeit der 3-Form gegeben ist. Dieses Transporttheorem zu beweisen ist recht instruktiv, um diesen Zusammenhang zu erkennen.

Sorry für die Differentialform-Schreibweise, aber in jedem anderen Formalismus wäre sowas aufzuschreiben vermutlich ein Krampf. Beachte außerdem, dass du hier nur einen einzigen Parameter zur Beschreibung der Deformation hast. Die Gestalt der Deformation legst du aber beliebig über die 1-Parametergruppe der \(\vec v\) bzw. \(\phi_t\) fest.
\(\endgroup\)


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digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1308
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-20

\(\begingroup\)
Hallo,
Gibt es denn Methoden um z.B. das Volumen zu finden bei dem $F$ unter einer Nebenbedingung minimal wird?

Die Transformation des Volumens auf ein Referenzvolumen unter Einbeziehung der Jacobiante eines noch gesuchten Diffeomorphismus $\vec{x}\left(\vec{X}\right)$ (unter welchen Voraussetzungen existiert der?) hat mich auf die Idee gebracht erstmal zu schreiben
$$
\delta F=\delta \int_V {\rm d^3}x \, f\left(\vec{x}\right) \\
= \delta \int_{V_0} {\rm d}^3X \, {\rm det} \left( \frac{\partial \vec{x}}{\partial \vec{X}} \right) \, f\left(\vec{x}\left(\vec{X}\right)\right) \\
=\delta \int_{V_0} {\rm d}^3X \, \sum_{(ijk)\in \, \left\{{\cal S}_3\right\}} \left(-1\right)^p \frac{\partial x_1}{\partial X_i}\frac{\partial x_2}{\partial X_j}\frac{\partial x_3}{\partial X_k} \, f\left(\vec{x}\left(\vec{X}\right)\right)
$$
wobei $\left\{{\cal S}_3\right\}$ die Elementmenge der symmetrischen Gruppe ist (Permutationsgruppe der Elemente $(123)$) und $p$ die Anzahl der Permuationen zählt um auf eine bestimmte Konfiguration zu kommen ($3!=6$ Terme). Dann führt man die Variation aus
$$
= \int_{V_0} {\rm d}^3X \, \sum_{(ijk)\in \, \left\{{\cal S}_3\right\}} \left(-1\right)^p \left\{ \frac{\partial x_1}{\partial X_i}\frac{\partial x_2}{\partial X_j}\frac{\partial x_3}{\partial X_k} \frac{\partial  f\left(\vec{x}\right)}{\partial x_l} \, \delta x_l + f\left(\vec{x}\right) \left[ \delta\left( \frac{\partial x_1}{\partial X_i} \right) \frac{\partial x_2}{\partial X_j} \frac{\partial x_3}{\partial X_k} + \frac{\partial x_1}{\partial X_i} \delta\left( \frac{\partial x_2}{\partial X_j} \right) \frac{\partial x_3}{\partial X_k} + \frac{\partial x_1}{\partial X_i} \frac{\partial x_2}{\partial X_j} \delta\left( \frac{\partial x_3}{\partial X_k} \right) \right] \right\}
$$
und dann nach partieller Integration und der Annahme die Variationen verschwinden auf dem Rand des Integrationsgebietes
$$
= \int_{V_0} {\rm d}^3X \, \sum_{(ijk)\in \, \left\{{\cal S}_3\right\}} \left(-1\right)^p \left\{ \frac{\partial x_1}{\partial X_i}\frac{\partial x_2}{\partial X_j}\frac{\partial x_3}{\partial X_k} \frac{\partial  f\left(\vec{x}\right)}{\partial x_l} \, \delta x_l - \left[ \delta x_1 \,  \frac{\partial}{\partial X_i} \left( f\left(\vec{x}\right) \frac{\partial x_2}{\partial X_j} \frac{\partial x_3}{\partial X_k} \right) + \delta x_2 \,  \frac{\partial}{\partial X_j} \left(f\left(\vec{x}\right) \frac{\partial x_1}{\partial X_i} \frac{\partial x_3}{\partial X_k} \right) + \delta x_3 \, \frac{\partial}{\partial X_k} \left(f\left(\vec{x}\right)\frac{\partial x_1}{\partial X_i} \frac{\partial x_2}{\partial X_j} \right) \right] \right\}
$$
Eine denkbare Nebenbedingung könnte sein, dass das Volumen konstant ist, also
$$
\int_V {\rm d}^3x = \int_{V_0} {\rm d}^3X \, \, {\rm det} \left( \frac{\partial \vec{x}}{\partial \vec{X}} \right) = V = {\rm konstant} \, .
$$
Da die Variationen $\delta x_1, \delta x_2, \delta x_3$ unabhängig sind führt $\delta F = \lambda \delta V$ (gilt die Gleichung auch für Funktionale?) auf $3$ gekoppelte Differential-Gleichungen für die $3$ unbekannten Funktionen $x_1, x_2, x_3$ als Funktion von $X_1,X_2,X_3$.

Alles in allem hab ich noch nicht weitergedacht, aber das erscheint mir doch sehr kompliziert...
\(\endgroup\)


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digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1308
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-21

\(\begingroup\)
Hey nochmal,
Ich glaube was ich oben geschrieben habe funktioniert nicht so ganz.
Jedoch würde ich gerne verstehen was hier nicht so ganz klappt und zwar anhand eines einfachen 1-dimensionalen Beispiels.
Betrachte
$$
F(a)=\int_{a}^{a+T} f(t) \, {\rm d}t
$$
Hierbei parametrisiert $a$ den Bereich des konstanten Volumens $T$.
Ableiten nach $a$ ergibt
$$
\partial_a F(a) = 0 = f(a+T)-f(a) \, .
$$
Wenn also $f$ ein Extremum hat, dann ergibt die Bedingung für $a$
$$
f(a)=f(a+T)
$$
einen extremalen Wert für $F$.


Jetzt wollte ich probieren, das Integral zu transfomieren (analog zum vorigen Beitrag), also
$$
F(a)=\int_{0}^{1} f\left(t(\tau)\right) \, \frac{\partial t}{\partial \tau} \, {\rm d}\tau
$$
Hierbei hab ich angenommen, dass die Integrationsgrenzen auf $0$ und $1$ abbilden, wobei ich mir nicht ganz sicher bin, ob das gerechtfertigt ist.

Die Variation ergibt
$$
\delta F(a) = \int_0^1 \left\{ \frac{\partial t}{\partial \tau} \, \partial_t f(t) - \partial_\tau f\left(t(\tau)\right) \right\} \delta t \, {\rm d}\tau
$$
und damit
$$
\partial_\tau f(t) - \partial_\tau f(t) = 0
$$
d.h. die Variation verschwindet automatisch?

Mir ist zwar klar, dass ich im 2. Ansatz nicht nach $a$ variiert habe sondern irgendwie nach der Funktion $t$, aber welche Bedeutung hat das hier? Was würde es bedeuten hier nach der Funktion $t(\tau)$ zu variieren?

PS: Ach natürlich, die Variation verschwindet deshalb weil der Wert des Integrals ja unabhängig davon ist welche Substitution ich verwende.
\(\endgroup\)


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