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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz von ∑ k^k/(3k)!
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Universität/Hochschule Konvergenz von ∑ k^k/(3k)!
Coops
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-18


Hallo,

ich soll folgende Aufgabe nach Konvergenz untersuchen:

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qwertzusername
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-18

\(\begingroup\)
Hallo,

Ich gehe davon aus, es geht darum zu Untersuchen, ob die Reihe(!) $\sum_{k=1}^\infty \frac{k^k}{(3k)!}$ konvergiert.
Dass $\lim_{k\to \infty } \frac{k^k}{(3k)!} =0$ ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe.
D.h. wäre dieser Grenzwert nicht Null so wäre die Reihe divergent, aus der Tatsache, dass der Grenzwert Null ist lässt sich aber weder Divergenz noch Konvergenz folgern.
Dieses auch manchmal Nullfolgenkriterium genannte Kriterium ist nicht geeignet um Konvergenz nachzuweisen.
Ferner ist $(3k)!=(3k) \cdot (3k-1) \cdot (3k-2)\cdot \ldots$ und was $\cong$ hier bedeuten soll ist mir schleierhaft.
\(\endgroup\)


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Coops
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-18


Ungefähr gleich.

Und warum (3k)!=3k(3k-1)(3k-2)?



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-18


Und was heißt das "ungefähr gleich" hier konkret?


Und warum (3k)!=3k(3k-1)(3k-2)?
ff
Das hab ich nicht geschrieben, sondern (3k)⋅(3k−1)⋅(3k−2)⋅…
Das ist ein massiver Unterschied.
Und der Grund ist schlicht die Defintion der Fakultätsfunktion.



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Martin0521
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Dabei seit: 23.11.2016
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-08-18


2018-08-18 14:47 - Coops in Beitrag No. 2 schreibt:

Und warum (3k)!=3k(3k-1)(3k-2)?


Weil das die Definition von n! ist.

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Martin0521
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.11.2016
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-08-18


Habe mal das Quotientenkriterium versucht:

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Komme da aber nicht weiter.
Kann man da noch kürzen oder geht das QTK hier nicht.

mfg



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Wirkungsquantum
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Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 556
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-08-18

\(\begingroup\)
Hallo,
doch kann man kürzen, benutze  $$(n+1)!=(n+1)n!$$ entsprechend noch an die Aufgabe anpassen natürlich wink
Habs jetzt nicht explizit ausgerechnet aber aus der Erfahrung heraus würde ich sagen das hier QK klappt.

Grüße,
h


-----------------
$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$
\(\endgroup\)


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Martin0521
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Dabei seit: 23.11.2016
Mitteilungen: 387
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-08-18


@Wirkungsquantum

Danke für den Hinweiß.

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mfg



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PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1501
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-08-18

\(\begingroup\)
@Martin0521:

Den Limes kann man so sehen.

Es ist:

$\lim_{k\to\infty} \frac{(k+1)^k}{3k^k}=\frac13\lim_{k\to\infty} \frac{(k+1)^k}{k^k}=\frac13\lim_{k\to\infty} \left(\frac{k+1}{k}\right)^k$

$=\frac13\lim_{k\to\infty} \left(1+\frac1k\right)^k=\frac{1}{3}e<1$

Wobei man erst durch $k$ teilt und dann die Definition von $e$ ausnutzt, die ja gerade:

$\lim_{k\to\infty} \left(1+\frac1k\right)^k$ ist.
\(\endgroup\)


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qwertzusername
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.06.2015
Mitteilungen: 1204
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-08-18

\(\begingroup\)
Hallo Martin,

bei deinem Aufschrieb solltest du etwas besser aufpassen. Das Ergebnis ist zwar richtig, du schmeißt aber n und k zusammen und vergisst auch mal Klammern.
Zum letzten Limes:
$\frac{(k+1)^k}{k^k}=( \frac{k+1}{k})^k =(1+\frac{1}{k})^k$
und der Grenzwert vom letzerem sollte bekannt sein.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Rathalos
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Dabei seit: 11.08.2018
Mitteilungen: 23
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-08-18

\(\begingroup\)
Hallo Martin,

1) Es gilt \(\frac{ (3k)!}{(3k+3)!} =\frac{ 1}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)} \). Wie kommst du da nur auf \(\frac{ 1}{3k+1}\)

2) \(\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{ (k+1)^k}{k^k} = \lim_{k \rightarrow \infty} (1+1/k)^k = e\)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Martin0521
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.11.2016
Mitteilungen: 387
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-08-19


@PrinzessinEinhorn

@qwertzusername

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mfg



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Martin0521
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 387
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-08-19

\(\begingroup\)
2018-08-18 22:50 - Rathalos in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo Martin,

1) Es gilt \(\frac{ (3k)!}{(3k+3)!} =\frac{ 1}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)} \). Wie kommst du da nur auf \(\frac{ 1}{3k+1}\)

Rechnen mit Faktorielle, deswegen geht das.


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mfg
\(\endgroup\)


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Martin0521
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Dabei seit: 23.11.2016
Mitteilungen: 387
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-08-19

\(\begingroup\)
2018-08-19 12:46 - Martin0521 in Beitrag No. 12 schreibt:
2018-08-18 22:50 - Rathalos in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo Martin,

1) Es gilt \(\frac{ (3k)!}{(3k+3)!} =\frac{ 1}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)} \). Wie kommst du da nur auf \(\frac{ 1}{3k+1}\)

@Rathalos

Rechnen mit Faktorielle, deswegen geht das.


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mfg
\(\endgroup\)


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Martin0521
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-08-19

\(\begingroup\)
2018-08-19 12:47 - Martin0521 in Beitrag No. 13 schreibt:
2018-08-19 12:46 - Martin0521 in Beitrag No. 12 schreibt:
2018-08-18 22:50 - Rathalos in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo Martin,

1) Es gilt \(\frac{ (3k)!}{(3k+3)!} =\frac{ 1}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)} \). Wie kommst du da nur auf \(\frac{ 1}{3k+1}\)




@Rathalos

Rechnen mit Faktorielle, deswegen geht das.

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mfg

\(\endgroup\)


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LeBtz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.04.2015
Mitteilungen: 1117
Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-08-22


Hallo,

kleine Bemerkung: Hinweis schreibt man mit s, nicht mit ß.



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Martin0521
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.11.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-08-22


@LeBtz

Danke  biggrin

mfg



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