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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz von ∑ k^k/(3k)!
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Universität/Hochschule Konvergenz von ∑ k^k/(3k)!
Coops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-18


Hallo,

ich soll folgende Aufgabe nach Konvergenz untersuchen:

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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-18

\(\begingroup\)
Hallo,

Ich gehe davon aus, es geht darum zu Untersuchen, ob die Reihe(!) $\sum_{k=1}^\infty \frac{k^k}{(3k)!}$ konvergiert.
Dass $\lim_{k\to \infty } \frac{k^k}{(3k)!} =0$ ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe.
D.h. wäre dieser Grenzwert nicht Null so wäre die Reihe divergent, aus der Tatsache, dass der Grenzwert Null ist lässt sich aber weder Divergenz noch Konvergenz folgern.
Dieses auch manchmal Nullfolgenkriterium genannte Kriterium ist nicht geeignet um Konvergenz nachzuweisen.
Ferner ist $(3k)!=(3k) \cdot (3k-1) \cdot (3k-2)\cdot \ldots$ und was $\cong$ hier bedeuten soll ist mir schleierhaft.
\(\endgroup\)


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Coops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-18


Ungefähr gleich.

Und warum (3k)!=3k(3k-1)(3k-2)?



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-18


Und was heißt das "ungefähr gleich" hier konkret?


Und warum (3k)!=3k(3k-1)(3k-2)?
ff
Das hab ich nicht geschrieben, sondern (3k)⋅(3k−1)⋅(3k−2)⋅…
Das ist ein massiver Unterschied.
Und der Grund ist schlicht die Defintion der Fakultätsfunktion.



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Martin0521
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-08-18


2018-08-18 14:47 - Coops in Beitrag No. 2 schreibt:

Und warum (3k)!=3k(3k-1)(3k-2)?


Weil das die Definition von n! ist.

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Martin0521
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-08-18


Habe mal das Quotientenkriterium versucht:

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Komme da aber nicht weiter.
Kann man da noch kürzen oder geht das QTK hier nicht.

mfg



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Wirkungsquantum
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-08-18

\(\begingroup\)
Hallo,
doch kann man kürzen, benutze  $$(n+1)!=(n+1)n!$$ entsprechend noch an die Aufgabe anpassen natürlich wink
Habs jetzt nicht explizit ausgerechnet aber aus der Erfahrung heraus würde ich sagen das hier QK klappt.

Grüße,
h


-----------------
$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$
\(\endgroup\)


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Martin0521
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-08-18


@Wirkungsquantum

Danke für den Hinweiß.

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mfg



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-08-18

\(\begingroup\)
@Martin0521:

Den Limes kann man so sehen.

Es ist:

$\lim_{k\to\infty} \frac{(k+1)^k}{3k^k}=\frac13\lim_{k\to\infty} \frac{(k+1)^k}{k^k}=\frac13\lim_{k\to\infty} \left(\frac{k+1}{k}\right)^k$

$=\frac13\lim_{k\to\infty} \left(1+\frac1k\right)^k=\frac{1}{3}e<1$

Wobei man erst durch $k$ teilt und dann die Definition von $e$ ausnutzt, die ja gerade:

$\lim_{k\to\infty} \left(1+\frac1k\right)^k$ ist.
\(\endgroup\)


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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-08-18

\(\begingroup\)
Hallo Martin,

bei deinem Aufschrieb solltest du etwas besser aufpassen. Das Ergebnis ist zwar richtig, du schmeißt aber n und k zusammen und vergisst auch mal Klammern.
Zum letzten Limes:
$\frac{(k+1)^k}{k^k}=( \frac{k+1}{k})^k =(1+\frac{1}{k})^k$
und der Grenzwert vom letzerem sollte bekannt sein.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-08-18

\(\begingroup\)
Hallo Martin,

1) Es gilt \(\frac{ (3k)!}{(3k+3)!} =\frac{ 1}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)} \). Wie kommst du da nur auf \(\frac{ 1}{3k+1}\)

2) \(\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{ (k+1)^k}{k^k} = \lim_{k \rightarrow \infty} (1+1/k)^k = e\)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Martin0521
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-08-19


@PrinzessinEinhorn

@qwertzusername

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mfg



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Martin0521
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-08-19

\(\begingroup\)
2018-08-18 22:50 - Rathalos in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo Martin,

1) Es gilt \(\frac{ (3k)!}{(3k+3)!} =\frac{ 1}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)} \). Wie kommst du da nur auf \(\frac{ 1}{3k+1}\)

Rechnen mit Faktorielle, deswegen geht das.


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mfg
\(\endgroup\)


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Martin0521
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-08-19

\(\begingroup\)
2018-08-19 12:46 - Martin0521 in Beitrag No. 12 schreibt:
2018-08-18 22:50 - Rathalos in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo Martin,

1) Es gilt \(\frac{ (3k)!}{(3k+3)!} =\frac{ 1}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)} \). Wie kommst du da nur auf \(\frac{ 1}{3k+1}\)

@Rathalos

Rechnen mit Faktorielle, deswegen geht das.


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mfg
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Martin0521
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-08-19

\(\begingroup\)
2018-08-19 12:47 - Martin0521 in Beitrag No. 13 schreibt:
2018-08-19 12:46 - Martin0521 in Beitrag No. 12 schreibt:
2018-08-18 22:50 - Rathalos in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo Martin,

1) Es gilt \(\frac{ (3k)!}{(3k+3)!} =\frac{ 1}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)} \). Wie kommst du da nur auf \(\frac{ 1}{3k+1}\)




@Rathalos

Rechnen mit Faktorielle, deswegen geht das.

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mfg

\(\endgroup\)


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LeBtz
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Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-08-22


Hallo,

kleine Bemerkung: Hinweis schreibt man mit s, nicht mit ß.



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Martin0521
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-08-22


@LeBtz

Danke  biggrin

mfg



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