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Strukturen und Algebra » Ringe » Beweis der Idealgesetze
Thema eröffnet 2018-08-26 08:12 von Ehemaliges_Mitglied
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Autor
Universität/Hochschule Beweis der Idealgesetze
Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.80, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-02

Ich muss wohl damit leben dass ich nicht so schlau bin wie andere. aber Bemerkungen wie von Anfang an weise ich scharf zurück. Trotzdem danke viel gelernt, weiss eben nicht was noch fehlte? Grade mal "Bosch" rausgekramt, ab Seite 32 vieles zm Thema Ideale.


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ligning
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  Beitrag No.81, eingetragen 2018-10-02

\quoteon(2018-10-02 18:52 - juergen007 in Beitrag No. 80) Ich muss wohl damit leben dass ich nicht so schlau bin wie andere. \quoteoff Müssen wir alle. \quoteon aber Bemerkungen wie von Anfang an weise ich scharf zurück. \quoteoff Warum? Vielleicht ist das der Fehler. \quoteon Trotzdem danke viel gelernt, weiss eben nicht was noch fehlte? \quoteoff Normalerweise merkt man das selber. \quoteon Grade mal "Bosch" rausgekramt, ab Seite 32 vieles zm Thema Ideale. \quoteoff Jo, da steht z.B. "kann man die folgenden Ideale bilden ... $\mathfrak a + \mathfrak b$". Es wird nichtmal leicht angedeutet, dass das etwas ist, was man beweisen muss, weil man vom Zielpublikum dieses Buches annimmt, dass sie das erstens selbst sehen und zweitens den Beweis in ein paar Sekunden im Kopf, wenn nötig jederzeit in 2 Zeilen korrekt auf Papier machen können. Mindestens die Hälfte dieses Threads, der seit 2 Monaten läuft, geht nur über diese eine Aussage, und ich bin mir nicht so sicher, ob wir überhaupt ein befriedigendes Ergebnis erreicht haben. Aber lies ruhig den Bosch. Dann machst du wieder einen Thread über Galoistheorie auf, und wir sind genau da, wo das ganze Theater mal angefangen hat.


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  Beitrag No.82, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-02

\quoteon(2018-10-02 19:21 - ligning in Beitrag No. 81) \quoteon Grade mal "Bosch" rausgekramt, ab Seite 32 vieles zm Thema Ideale. \quoteoff Aber lies ruhig den Bosch. Dann machst du wieder einen Thread über Galoistheorie auf, und wir sind genau da, wo das ganze Theater mal angefangen hat. \quoteoff Ich war bei diesem Post https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=234607&start=32 und deswegen kam ich zu Idalen und dem Einsetzungshomomorphismus $\varphi$ und dessen Kern, was eine sehr interessante Aussage war. Dazu kuckt man sich Ideale und Faktorringe und epimorphismen in Polynomringen an. Galois´Thema ist ja u.a. Invarianz und Symmetrie beides sehr spannende Themen. schaumer mal. PS am besten ist es vielleicht Bosch weiterzulesen und wo es hakt "selbstkritisch" genauer hinzuschauen.


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  Beitrag No.83, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-03

\quoteon(2018-10-01 18:47 - juergen007 in Beitrag No. 70) \quoteon(2018-10-01 16:16 - juergen007 in Beitrag No. 68) \quoteon(2018-08-16 21:07 - TomTom314 in Beitrag No. 80) $\mathfrak{a\cup b}$ ist eine Ideal, falls \(\mathfrak{a\subseteq b}\) oder \(\mathfrak{b\subseteq a}\) gilt. Es gelten die Inklusionen $\mathfrak{a\cdot b \subseteq a\cap b\subseteq a,b \subseteq a\cup b\subseteq a+ b}$ mit dem Zusatz: \(\mathfrak{a\cdot b = a\cap b \iff a+b}=R\). \quoteoff \quoteoff \quoteoff Es fehlt noch Beweis des Zusatz (*)\(\mathfrak{a\cdot b = a\cap b \iff a+b}=R\). Dass der Schnitt die Summe und das Produkt 2 er (und auch mehrerer) Ideale wieder ein Ideal ist, wurde gezeigt. Es fehlt noch, dass das Produkt 2er Ideale eine Teilmenge des Schnttes 2er Ideale ist und der Spezialfall "Zusatz".(*) Auf deutsch: Wenn der Schnitt 2 er Ideale genau gleich ihrem Produkt ist, dann ist die Summe der 2 Ideale der ganze Ring. Beispielhaft gilt bei Hauptidealen in Z: wenn $(3)\cap(5)= (3)\cdot(5)$, dann ist $(3)+(5)=Z$, und umgekehrt. Es gilt hier zumindest die Richtung "<=",da ggt(3,5)=1 ist. (Das ist noch nicht fertig formuliert ist klar) Den allgeneinen Fall überleg ich noch. Es mag sicher Leute geben die das mit links aus der Feder schleudern;) aber ich vergleiche nicht mit anderen. Sollte man nicht tun.


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Wally
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  Beitrag No.84, eingetragen 2018-10-03

Ich bin Analytiker mit herzlich wenig Ahnung von Algebra. Wenn ich was über Ideale sehe, versuche ich das an einfachen Fällen konkret zu verstehen, ehe ich den allgemeinen Fall angehe. Meine "einfachen Fälle" sind (ähnlich wie bei dir) die Vielfachen von 4 und die von 6 in $\mathbb{Z}$. Und im Ring der reellen Polynome diejenigen, die in $x=0$ eine Nullstelle haben, die in $x=0$ eine doppelte Nullstelle haben, die in $x=0$ und $x=1$ Nullstellen haben, die in $x=1$ eine Nullstelle haben oder ähnliches, vielleicht Funktionen, die mindestens eine vorgegebene Anzahl von ganzzahligen Nullstellen haben. Wenn die Überlegungen damit klappen, kann man es mal allgemein versuchen. Wenn es weitere sehr sinnvolle Spezialfälle gibt, wäre ich daran interessiert. Wally


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.85, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-03

\quoteon(2018-10-03 20:19 - Wally in Beitrag No. 84) Ich bin Analytiker mit herzlich wenig Ahnung von Algebra. Wenn ich was über Ideale sehe, versuche ich das an einfachen Fällen konkret zu verstehen, ehe ich den allgemeinen Fall angehe. Meine "einfachen Fälle" sind (ähnlich wie bei dir) die Vielfachen von 4 Wenn die Überlegungen damit klappen, kann man es mal allgemein versuchen. \quoteoff Genau ich nehme dann $\mathfrak{a}=(4)=\{..-4,0,4,8,12..\}$ und $\mathfrak{b}=(6)=\{..-6,0,6,12..\}$, und der Schnitt ist offenbar $\mathfrak{a\cap b}=\{..-12,0,12..\}=\mathfrak{c}=(12)$. 12 ist der kgV{4,6). Das ist erstmal nur die Anschauung, kein richtiger Beweis. Sind nun die Produkte $\sum_{i \geq 0}a_i\cdot b_i$ z. Bsp. $\{-24,0,24..\}$ alle enthalten in $\mathfrak{a\cdot b}$? Offenbar ja auch nur von der Anschauung, denn $\sum_{i \geq 0} a_ib_i=\mathfrak{d=(24)}$, was enthalten ist in $(12)$, weil 12 teilt 24. Und der Quotient 24/12 ist genau der ggt(4,6). So verifiziere ich erstmal $\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}$ was kein Beweis ist, aber erstmal ein Zahlenbeispiel, in dem Fall $\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}$ und Gleichheit gilt nicht. Und daher ist die Summe $\mathfrak{a}+\mathfrak{b} \neq R$. \quoteon Und im Ring der reellen Polynome diejenigen, die in $x=0$ eine Nullstelle haben, die in $x=0$ eine doppelte Nullstelle haben, die in $x=0$ und $x=1$ Nullstellen haben, die in $x=1$ eine Nullstelle haben oder ähnliches, vielleicht Funktionen, die mindestens eine vorgegebene Anzahl von ganzzahligen Nullstellen haben. Wally \quoteoff Du meinst hier 5 verschiedenartige Polynome? 1)die in $x=0$ eine Nullstelle haben, 2)die in $x=0$ eine doppelte Nullstelle haben, 3)die in $x=0$ und $x=1$ Nullstellen haben, 4)die in $x=1$ eine Nullstelle haben 5)die mindestens eine vorgegebene Anzahl von ganzzahligen Nullstellen haben. Sei f(x) ein beliebiges Polynom aus $\mathbb R(x)$. 1. $g(x)= x \cdot f(x)$. 2. $h(x)= x^2 \cdot f(x)$. 3. $i(x)= x(x-1) \cdot f(x)$. 4. $j(x)= (x-1) \cdot f(x)$. 5. $k(x)= (x-x_0)(x-x_1)..(x-x_n) \cdot f(x)$. wobei 1. dem Ideal (x) in $\mathbb R(x)$, 2. dem Ideal (x^2) in $\mathbb R(x)$, 3. dem Ideal (x(x-1)) in $\mathbb R(x)$, 4. dem Ideal (x-1) in $\mathbb R(x)$, 5 dem Ideal $(x-x_0)(x-x_1)..(x-x_n \in \mathbb R(x)$ entspricht? wobei zB in 3. und 5. ein Produkt von Idealen auftaucht. \quoteon Wenn es weitere sehr sinnvolle Spezialfälle gibt, wäre ich daran interessiert. \quoteoff Meinst du das mit Spezialfällen?


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