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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphiegebiet und maximales Existenzgebiet einer holomorphen Funktion
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Universität/Hochschule Holomorphiegebiet und maximales Existenzgebiet einer holomorphen Funktion
Ulli93
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  Themenstart: 2018-09-08

Hallo Liebe Matheplanetarier, Ich habe eine Verständnisfrage zu Holomorphiegebieten und maximalen Existenzgebieten. In Remmerts und Schumachers Funktionentheorie 2 findet sich folgende Definition mit anschließendem Satz: Ein Gebiet \(G\) in \(\mathbb{C}\) heißt das Holomorphiegebiet einer in \(G\) holomorphen Funktion \(f\), wenn für jeden Punkt \(c \in G\) die Konvergenzkreisscheibe der Taylorreihe von \(f\) um \(c\) in \(G\) liegt. Ist \(G\) das Holomorphiegebiet von \(f\), so ist \(G\) das "maximale Existenzgebiet" von \(f\), d.h. jedes Gebiet \(G'\supset G\), in dem es eine Funktion \(\tilde{f} \in \mathcal{O}(G)\) mit (f'|G\) [\(f'\) eingeschränkt auf \(G\) ] gibt, stimmt mit \(G\) überein. So weit so gut. Die Definition von Holomorphiegebieten ist sehr gut verständlich, und wenn man Konvergenzradien von Potenzreihen bestimmen kann auch gut anzuwenden. Zu maximalen Existenzgebieten fehlt mir noch ein wenig die Vorstellung. Man kann also \(f\) nicht analytisch auf größere Gebiete fortsetzen. Dies Scheint mir ungleich schwerer zu zeigen, als ersteres. Aber Glücklicherweise haben wir ja den Satz dazu, welcher in einigen Fällen die Bestimmung direkt für uns übernimmt. Den Beweis, dass \(G\) Holomorphiegebiet \( \Rightarrow G\) maximales Existenzgebiet gilt, kann ich führen. Die Aussage scheint also richtig zu sein. Danach Schreiben Remmert und Schumacher, dass die Rückrichtung der Aussage nicht gilt und Zeigen dies mit einem Beispiel: Beispiel \( \sqrt{z}\) auf der geschlitzten Ebene \(\mathbb{C}^-:= \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}_{\leq 0} \): Die Geschlitzte Ebene ist das maximale Existenzgebiet von \(\sqrt{z} \), aber der konvergenzradius der Taylorreihe um den punkt \(c \in \mathbb{C} \) ist \( | c|\). Da \( B_{|c|}(c) \not\subset \mathbb{C}^-\) für $c $ mit $Re(c)<0$, ist die geschlitzte Ebene nicht das Holomorphiegebiet. Meine Schwierigkeiten sind nun: 1. Ich wüsste nicht, wie ich zeigen könnte, dass die Geschlitzte Ebene das maximale Existenzgebiet von $\sqrt{z}$ ist. Das behaupten Remmert und Schumacher einfach. Ist das Offensichtlich, wenn man maximale Existenzgebiete verstanden hat? 2. Das Holomorphiegebiet von $\sqrt{z}$ ist die gesamte komplexe Ebene, ohne den Nullpunkt$\mathbb{C}\backslash \lbrace 0 \rbrace$, da für jedes $c\in \mathbb{C}\backslash \lbrace 0 \rbrace$ die Kreischeibe enthalten ist $B_{|c|}(c)\subset \mathbb{C}\backslash\lbrace 0 \rbrace$. Darum folgt aus dem Satz, dass das maximale Existenzgebiet ebenfalls $\mathbb{C}\backslash\lbrace 0 \rbrace$ ist. Also doch nicht die geschlitzte Ebene 3. Der 2. Punkt lässt sich erweitern: Sei $G$ das Holomorphiegebiet von $f$ holomorph, $G'$ das maximale Existenzgebiet von $f$. Dann folgt aber aus dem Satz, dass $G$ das maximale Existenzgebiet von $f$ ist. Aber genau das behaupten Remmert und Schumacher seie nicht allgemein der Fall. Seht ihr da meinen Gedankenfehler? Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, ich verzweifle da schon seit ner geschlagenen Woche dran :-? Liebe Grüße Ulli


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darkhelmet
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-08

Hi Ulli, herzlich willkommen! Ein Denkfehler ist, dass du von $\sqrt{z}$ sprichst, ohne die Definitionsmenge zu fixieren. Der Satz \quoteon(2018-09-08 19:21 - Ulli93 im Themenstart) Die Geschlitzte Ebene ist das maximale Existenzgebiet von \(\sqrt{z} \) \quoteoff macht aber nur Sinn, wenn mit $\sqrt{z}$ eine ganz konkret auf der geschlitzten Ebene definierte Funktion gemeint ist. Dass die geschlitzte Ebene das maximale Existenzgebiet für diese Funktion ist, folgt einfach daraus, dass sie in keinen Punkt des Schlitzes stetig fortgesetzt werden kann. \quoteon(2018-09-08 19:21 - Ulli93 im Themenstart) 2. Das Holomorphiegebiet von $\sqrt{z}$ ist die gesamte komplexe Ebene, ohne den Nullpunkt$\mathbb{C}\backslash \lbrace 0 \rbrace$ \quoteoff Das ist einfach deshalb falsch, weil es keine holomorphe Wurzelfunktion gibt, die auf ganz $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ definiert ist. Natürlich gibt es für jeden Punkt $a$ von $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ eine holomorphe Wurzelfunktion, in deren Definitionsbereich $a$ liegt, aber das ist eine andere Frage. [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von darkhelmet]


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Ulli93
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-09

Vielen Dank Darkhelmet, du hast mir sehr weitergeholfen. Dann sehe ich das richtig, dass es kein Gebiet $G$ gibt, sodass $G$ das Holomorphiegebiet zu $f:G\to \mathbb{C}$, $z\mapsto \sqrt{z}$ ist? Dann gilt also Punkt 3 von mir, wenn man vorraussetzt, dass ein Holomorphiegebiet existiert? Gibt es denn immer ein maximales Existenzgebiet? (im Extremfall ist es ganz $\mathbb{C}$, zum beispiel für Polynome) LG Ulli


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
darkhelmet
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  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-09

\quoteon(2018-09-09 11:45 - Ulli93 in Beitrag No. 2) Dann sehe ich das richtig, dass es kein Gebiet $G$ gibt, sodass $G$ das Holomorphiegebiet zu $f:G\to \mathbb{C}$, $z\mapsto \sqrt{z}$ ist? \quoteoff Wenn ich mich nicht irre, ja. Braucht aber einen Beweis. Die korrekte Formulierung dieser Frage ist übrigens: "Gibt es ein Gebiet $G$ und eine holomorphe Funktion $f:G\rightarrow\mathbb{C}$, so dass $f(z)^2=z$ für alle $z\in G$ und $G$ maximales Holomorphiegebiet ist?" \quoteon(2018-09-09 11:45 - Ulli93 in Beitrag No. 2) Dann gilt also Punkt 3 von mir, wenn man vorraussetzt, dass ein Holomorphiegebiet existiert? \quoteoff Ich verstehe nicht genau, was du in Punkte 3 sagen willst. Ja, du hast die Aussage von Remmert und Schumacher richtig verstanden. Nein, sie ist nicht falsch. \quoteon(2018-09-09 11:45 - Ulli93 in Beitrag No. 2) Gibt es denn immer ein maximales Existenzgebiet? \quoteoff Von was? Mir fallen mindestens zwei verschiedene Möglichkeiten ein, diese Frage zu interpretieren. Beachte, dass du nicht sagen kannst "von der Wurzelfunktion", weil es die Wurzelfunktion nicht gibt.


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  Beitrag No.4, eingetragen 2018-09-09

\quoteon(2018-09-09 12:32 - darkhelmet in Beitrag No. 3) \quoteon(2018-09-09 11:45 - Ulli93 in Beitrag No. 2) Dann sehe ich das richtig, dass es kein Gebiet $G$ gibt, sodass $G$ das Holomorphiegebiet zu $f:G\to \mathbb{C}$, $z\mapsto \sqrt{z}$ ist? \quoteoff Wenn ich mich nicht irre, ja. Braucht aber einen Beweis. \quoteoff Zur Veranschaulichung kann man hier mit \(\sqrt{z}\) in einer kleine Kreisscheibe um 1 starten und dann eine analytische Fortsetzung entlang des Randes des Einheitskreises betrachten. Nach einem Umlauf gelangt man zu \(-\sqrt{z}\) und erst nach einem weiteren wieder bei der Ausgangsfunktion.


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