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Universität/Hochschule J Domain des Ableitungsoperators
auron321
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  Themenstart: 2018-09-20

Lieber Matheplanet, Sei \(T: L^2[0,1] \supset D(T) \rightarrow L^2[0,1], \hspace{0.5cm} T= i\partial_x\) Der Ableitungsoperator. Es wird nun behauptet, dass \( D(T)=\{f \in H^1[0,1] \hspace{0.1cm}: f(0)=\lambda \cdot f(1), \hspace{0.25cm} |\lambda| = 1\} \) die Domain ist auf welcher der Ableitungsoperator selbstadjungiert ist. \(\underline{\text{Mein Versuch}}:\) Aufgrund der Randbedingungen und partieller Integration gilt für \( f,g \in D(T) \hspace{0.5cm} _{L^2} = _{L^2}.\) Daher muss schonmal \(Dom(T) \subset Dom(T^*) \) sein. Sei nun \(g\in dom(T^*) \), dh die Abbildung \(f \mapsto \) sei stetig. Wir finden eine Folge von \((\psi_n)_n \subset C^\infty_{c}(0,1) \) mit \(\psi_n \rightarrow g\). Dann behaupte ich, dass \(g'\) existiert mit \(g' =- \lim \psi'_n\). Als erstes existiert \(\lim \psi'_n\), denn die Ableitungsfolge ist Cauchy. \[<\psi_n'-\psi_m'| \phi > = - <\psi_n-\psi_m| \phi'> \rightarrow 0 \hspace{0.7cm} \forall \phi \in C^\infty_{c}(0,1) \] Nun gilt aber weiterhin, \[ = \lim = -\lim = - \] Da \(C^\infty_{c}(0,1)\subset H^1\) ist die schwache Ableitung von g damit \( g = -\lim \psi'_n\). Also ist \(g \in H^1\). \(\underline{\text{Fragen}}:\) a) Ich bekomme leider nicht heraus, dass für \(g \in dom(T^*)\) gilt \(g(0) = \lambda g(1)\). b) Gibt es einen einfacheren Ansatz zu zeigen, dass T selbstadjungiert ist? Ich bedanke mich schonmal für eure Hilfe. Liebe Grüße auron


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Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-20

Hey auron321, \quoteon(2018-09-20 19:53 - auron321 im Themenstart) Sei nun \(g\in dom(T^*) \), dh die Abbildung \(f \mapsto \) sei stetig. Wir finden eine Folge von \((\psi_n)_n \subset C^\infty_{c}(0,1) \) mit \(\psi_n \rightarrow g\). Dann behaupte ich, dass \(g'\) existiert mit \(g' =- \lim \psi'_n\). Als erstes existiert \(\lim \psi'_n\), denn die Ableitungsfolge ist Cauchy. \[<\psi_n'-\psi_m'| \phi > = - <\psi_n-\psi_m| \phi'> \rightarrow 0 \hspace{0.7cm} \forall \phi \in C^\infty_{c}(0,1) \] Nun gilt aber weiterhin, \[ = \lim = -\lim = - \] Da \(C^\infty_{c}(0,1)\subset H^1\) ist die schwache Ableitung von g damit \( g = -\lim \psi'_n\). Also ist \(g \in H^1\). \quoteoff Das ist so leider nicht in Ordnung. Damit zeigst du bloß, dass \(\psi_n'\) schwach in \(H^{-1}(0,1)\) konvergiert, das bringt dir aber nichts. Demnach ist die Argumentation danach auch nicht korrekt. An sich ist der Ansatz viel einfacher um zu zeigen, dass \(g \in H^1(0,1)\) ist. Wir wissen doch schon, dass \(T=T^*\) auf \(D(T)\) gilt. Stelle doch mal eine Vermutung auf, wie die schwache Ableitung von \(g\) aussehen muss (unter Verwendung der Abbildung \(T^*\)) und beweise deine Vermutung direkt mit der Definition der schwachen Ableitung. Danach ist es gar nicht mehr so schwer zu zeigen, dass die Randterme die gewünschte Bedingung erfüllen, schreibe den Ausdruck \(\langle Tf,g \rangle_2\) hin und forme diesen mit partieller Integration um.


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auron321
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-20

Hallo Kampfpudel, Erstmal vielen Dank für die Hilfe und das Aufzeigen meines Fehlers. Ok es gilt nach Riesz \( = \) \(\forall f\in H[0,1]\), und ein \(z \in L^2[0,1]\). Durch deinen Tipp vermute ich dann \(g'= -iz\). \[<\phi'|g> = -i = -i<\phi|z> = -<\phi|-i \cdot z> \]. Nun kann ich aber auch partiell integrieren, da ich weiß, dass \(g\) eine schwache Ableitung besitzt. Daher \[ = i\cdot f\cdot g^*|^1_0 + \overset{!}{=} \], Also muss \(i\cdot f\cdot g^*|^1_0 =0 \) sein. Dies impliziert \(g(0)=\lambda g(1)\). Wäre das so in Ordnung? Liebe Grüße Auron


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Kampfpudel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-21

Jap, genau so sollte es aussehen.


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auron321
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-21

Hallo Kampfpuddel, Vielen dank für die Hilfe.


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auron321 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
auron321 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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