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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Hilberts Hotel mit reellen Zahlen?
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Kein bestimmter Bereich J Hilberts Hotel mit reellen Zahlen?
Schneepirat
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.07.2018
Mitteilungen: 17
  Themenstart: 2018-09-21

Hallo zusammen Wir diskutieren folgendes Problem: Der abgeschlossenen reellen Zahlenmenge [0,1] (z.B. einer Strecke) soll ein weiterer Punkt hinzugefügt werden. Geht das überhaupt? Ich meine: Bei Hilberts Hotel geht es ja, man kann ein weiteres "freies Zimmer" für diesen zusätzlichen Punkt konstruieren. Dort hat man unendlich viele natürliche Zahlen, man kann beliebig Punkte "nachfüllen" da diese Menge nach oben unbegrenzt ist. Hier hat man ja ebenfalls unendlich viele (reelle) Zahlen. Aber alle Zimmer sind schon besetzt, da die reellen Zahlen alles "abdecken". Zudem ist die Menge abgeschlossen, ich kann nicht "nach oben" Punkte nachfüllen. Ergo: Es hat keinen Platz mehr für weitere Punkte. Sorry für die unwissenschaftliche Schreibweise. Aber diese Frage brennt mir brutal unter den Nägeln und ich bin sehr dankbar um jede Antwort!


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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3009
  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-21

Hallo, denke z.B. mal an Kehrwerte natürlicher Zahlen. Und die mathematisch präzise Formulierung deiner Frage ist glaube ich: Gibt es eine injektive Abbildung $[0,1]\cup \{2\}\to [0,1]$.


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ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3287
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.2, eingetragen 2018-09-21

Hallo, dein Verständnis für den Fall $\IN$ ist nicht richtig. Man kann nicht ein Zimmer hinzufügen, weil das irgendwie nach oben offen ist. Es sind alle Zimmer bereits belegt. Der Trick besteht darin, dass man Zimmer 0 freimacht, indem jeder Besucher in das jeweils nächste Zimmer umzieht. Mathematisch entspricht das der Beobachtung, dass eine unendliche Menge dadurch charakterisiert ist, dass sie gleichmächtig zu einer echten Teilmenge ist (hier $\IN \cong \IN\setminus\{0\}$, wobei die Gleichmächtigkeit von der Nachfolgerfunktion bezeugt wird). Und das geht auch für reelle Intervalle, es ist nur nicht ganz so leicht eine Funktion aufzuschreiben, die bspw. $[0,1]$ bijektiv auf $(0,1]$ abbildet. Man kann irgendwie mit der Dezimaldarstellung herumtricksen, diese Funktion wird auf keinen Fall stetig sein. Aufgaben dieser Art sind ganz beliebt am Anfang von Analysis-I-Vorlesungen. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46411
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-21

Hi Schneepirat, explizite Bijektionen von (0,1] auf (0,1) sind hier angegeben. Gruß Buri [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Schneepirat
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.07.2018
Mitteilungen: 17
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-21

Vielen Dank für die schnellen Antworten! Verstehe ich richtig: Durch die Vorschrift, [0,1] auf (0,1] abzubilden wird an der Stelle 0 Platz frei für meinen zusätzlichen Punkt. Also: Ich kann einen (oder beliebig viele) weitere Punkte diesem Intervall hinzufügen? Die ursprüngliche Frage war eigentlich, ob man einer Fläche einen zusätzlichen Punkt hinzufügen kann. Ich deute eine Fläche als Punktmenge in R^2, also lässt sich analog zum eindimensionalen Fall (Strecke+Punkt) argumentieren: In jede Fläche in R^2 kann man noch weitere Punkte hinzufügen. Man definiert dazu eine Bijektion wie oben, um "Platz zu schaffen" für den neuen Punkt. Stimmt das?


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Wauzi
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Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11477
Wohnort: Bayern
  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-21

Hallo, da IRn und IR gleichmächtig sind geht das immer. Prnzipiell ist die Idee die, sich eine unendliche abzählbare Teilmenge, in der sich der Punkt, der verschwinden soll befindet, zu wählen, dann alles außerhalb mit der Identität abzubilden, und die abzählbare Menge wie bei den natürlichen Zahlen in Hilberts Hotel intern um einen Punkt zu verschieben. Schon ist man fertig Hinzufügen erfordert nur noch den Schritt, den freiwerdenden Platz zu besetzen Gruß Wauzi


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Schneepirat
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.07.2018
Mitteilungen: 17
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-21

Super, ich glaube ich hab's verstanden. Herzlichen Dank für die Antworten!


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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1305
Wohnort: Bayern
  Beitrag No.7, eingetragen 2018-09-22

Ginge auch die Abbildung \(x \to (x+1)/2\)? Dann bekommst du gleich doppelt so viele Punkte herein ^^


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