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Universität/Hochschule Spektralsatz - > Konvergenz in Operatornorm?
user_alpha1
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  Themenstart: 2018-09-22

Hallo, ich habe eine Frage zum Spektralsatz. Hier die (knappe) Formulierung, die wir verwenden. Sei T ein kompakter und selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum H. Dann gibt es eine absteigende Folge \((\lambda_n)\) reelller Zahlen, die gegen Null konvergiert und ein ONS in H so dass gilt: \(Tx= \sum_n \lambda_n e_n\) wobei die Konvergenz nur punktweise gilt. Später merken wir an, dass man den Satz mithilfe von Projektionen so formulieren kann, dass die Konvergenz auch in Operatornorm gilt. Ich bin aber der Meinung, dass aus der Gültigkeit des Satzes auch die Konvergenz in Operatornorm folgt. Sei \(T_n=\sum_{k=1}^n \lambda_k <\cdot, e_k>e_k\), dann folgt: \[ ||T(x)- T_n(x)|| = ||\sum_{k=n+1}^\infty \lambda_k e_k|| \leq \sum_{k=n+1}^\infty ||\lambda_k || \leq \lambda_n ||x|| \] Die letzte Ungleichung gilt, da die Folge der Lambda monoton fallend ist. Mit Bildung des Supremums über alle ||x||=1 gilt: \(||T- T_n|| \leq \lambda_n \) Da die Lambda gegen Null konvergieren ist alles gezeigt. Gilt die Konvergenz nun auch in der Operatornorm, oder habe ich einen Fehler in meinen Überlegungen? Vielen Dank für eure Hilfe!


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-22

Hallo, ich denke, der Beweis wäre richtig(er), wenn du immer die Quadrate der Normen betrachtest - dann kann das auch erste $\le$ zu $=$ werden. Was du machst, ist ja im Wesentlichen die Projektion auf den von $e_{n+1},e_{n+2},\ldots$ aufgespannten Teilraum zu betrachten, also auch eine Art Projektionsmethode. Wally


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user_alpha1
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-22

Hallo, ja du hast recht, mit den Quadraten würde sogar Gleichheit gelten. Wenn mein Beweis nun aber stimmt, wieso wird dann behauptet die Konvergenz gilt hier nur punktweise? Siehe z.B. auch Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Spektralsatz Wäre es nicht sinnvoll den Satz dann gleich so zu formulieren, dass die Konvergenz in der (stärkeren) Operatornorm gilt?


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dromedar
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  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-22

\quoteon(2018-09-22 14:36 - user_alpha1 in Beitrag No. 2) [...] wieso wird dann behauptet die Konvergenz gilt hier nur punktweise? Siehe z.B. auch Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Spektralsatz \quoteoff Wo wird das denn in diesem Wikipedia-Artikel behauptet? Kann es sein, dass Du das mit der Aussage verwechselst, dass die folgende Summe für das Spektralmaß nur punktweise und nicht in der Operatornorm konvergiert? $\displaystyle E_{A}=\sum _{{\{i:\mu _{i}\in A\}}}E_{{\{\mu _{i}\}}}$ Grüße, dromedar


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user_alpha1
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-23

\quoteon(2018-09-22 15:16 - dromedar in Beitrag No. 3) \quoteon(2018-09-22 14:36 - user_alpha1 in Beitrag No. 2) [...] wieso wird dann behauptet die Konvergenz gilt hier nur punktweise? Siehe z.B. auch Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Spektralsatz \quoteoff Wo wird das denn in diesem Wikipedia-Artikel behauptet? Kann es sein, dass Du das mit der Aussage verwechselst, dass die folgende Summe für das Spektralmaß nur punktweise und nicht in der Operatornorm konvergiert? $\displaystyle E_{A}=\sum _{{\{i:\mu _{i}\in A\}}}E_{{\{\mu _{i}\}}}$ Grüße, dromedar \quoteoff Es wird nicht explizit behauptet, dass kein Konvergenz in Operatornorm vorliegt, aber meiner Meinung nach implizit. Unter "Projektionsversion des Spektralsatzes" findet sich folgender Satz \quoteon Diese Reihe konvergiert nicht nur punktweise, sondern auch bezüglich der Operatornorm. \quoteoff Für mich heißt dass, das quasi nur diese "Umordnung" in der Operatornorm konvergiert .. :-?


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dromedar
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  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-23

\quoteon(2018-09-23 10:41 - user_alpha1 in Beitrag No. 4) Für mich heißt dass, das quasi nur diese "Umordnung" in der Operatornorm konvergiert .. :-? \quoteoff Nur für diese Reihe kann man überhaupt die Frage stellen, ob sie in der Operatornorm konvergiert oder nicht, da die Reihe in dem Abschnitt davor, also $\displaystyle Tx=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}\langle e_{k},x\rangle e_{k}$ , keine Reihe von Operatoren, sondern eine Reihe von Vektoren ist. Wie man die entsprechende Reihe von Operatoren hinschreibt, also als $\displaystyle T=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}\langle e_{k},\,\cdot\,\rangle e_{k}$ wie Du im Startbeitrag oder als $\displaystyle T=\sum _{\lambda}\lambda\,E_\lambda$ mit $\displaystyle E_\lambda=\sum_{k:\lambda_k=\lambda}\langle e_{k},\,\cdot\,\rangle e_{k}$ wie im Wikipedia-Artikel, spielt keine Rolle.


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