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Mathematik » Zahlentheorie » Algorithmus findet Primzahlen als ggT eindeutiger Primsummanden
Thema eröffnet 2018-09-30 08:26 von
Zahlenkaspar
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Seite 3   [1 2 3 4]   4 Seiten
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Universität/Hochschule Algorithmus findet Primzahlen als ggT eindeutiger Primsummanden
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.80, eingetragen 2018-10-08 22:43


juergen007 schreibt:
irgedwer scheint sich dagegen heftig zu sträuben?
Wogegen?
Gegen vernünftige Mathematik?
Warum schreibst du dann Irgendwer statt Spidermoon?



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.81, eingetragen 2018-10-09 04:04


2018-10-06 12:33 - MartinN in Beitrag No. 48 schreibt:
Esoterik und Mathematik gehören nicht zusammen... kann man das den Leuten nicht mal sagen biggrin
Nun ja sogar die Entstehung des Leben und desen halbwegs fehlerfreie Fortpflanzung und sogar Evolution hat sehr viel mit Mathematik zu tun siehe DNS Code. Hat sich den ein Zelle ausgedacht?
Ist sogar das sich vergrößernde Wissen der Menscheit Irgendwo in uns oder nur auf CD-Roms oder Pergamentrollen gespeichert, nur so Fragen confused
Aber das führt hier weg vom Thema.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.82, eingetragen 2018-10-10 16:08

\(\begingroup\)
Ich möchte hier noch einen Nachtrag zu dem Thread hier machen, da ich aufgrund diverser Kommentare (inkl. der SuMo's) den Eindruck habe, dass einige hier offenbar glauben, dass er von A-Z nur Unsinn enthält, weil dies in großen Teilen davon zutrifft. Es gibt aber andererseits durchaus auch Dinge darin, welche stimmen, sowie auch erstaunliche Zusammenhänge, auf die bisher noch nicht hingewiesen wurde und derer sich sehr möglicherweise nicht einmal der TS selbst bewusst war.

Was davon korrekt ist, ist z.B. die Behauptung, dass in Bezug auf die Tabelle im Startposting gilt:

Ist $p$ eine Primzahl von der Form $p=6k\pm1$ mit einem $k>0$, so gilt $p|n_p$, wenn hierin $k$ ungerade ist, und $p|n_{p-2}$, wenn $k$ gerade ist.

Man kann nun durchaus die Frage stellen, ob die Primzahlen $p>3$, für welche es ja eine Darstellung $p=6k\pm1$ stets gibt, dadurch sogar charakterisiert werden, wovon offenbar der TS auch ausgegangen ist, bis dann DerEinfaeltige in #14 in Gestalt der zusammengesetzten Zahl $209\ (=11\cdot19=6\cdot35-1)$ ein Gegenbeispiel angegeben hat, da für sie ebenfalls $209|n_{209}$ gilt.

Ich habe nun in #13 bereits darauf hingewiesen, dass die Folge

$U_\ell:=n_{2\ell-1} \quad (\ell\in \mathbb N)$ mit $n_{-1}:=0$

eine in der Theorie der Lucasfolgen sehr bekannte Folge ist, welche der Rekursion

$U_0=0,\ U_1=1,\quad U_{\ell+2}=4U_{\ell+1}-U_{\ell}\quad (\ell \in \mathbb N)$

genügt. Nicht erwähnt wurde aber bisher, dass auch ihr "Zwillingsbruder", nämlich die entsprechende V-Folge mit der rekursiven Definition

$V_0=2,\ V_1=4,\quad V_{\ell+2}=4V_{\ell+1}-V_{\ell}\quad (\ell \in \mathbb N)$

hier vorkommt, indem nämlich gilt

$V_\ell:=2n_{2\ell}\quad (\ell \in \mathbb N)$

Diese letztere Folge spielt aber beim sog. Lucas-Lehmer-Test, welcher für Mersennesche Zahlen >3 einen deterministischen(!) Primzahltest darstellt, eine außerordentlich wichtige Rolle. Konkret heißt das hier, dass wenn $p>3$ eine ungerade Zahl ist, für welche $p+1$ eine Potenz von 2 ist, dass dann $p|n_{p+1}$ notwendig und hinreichend für die Primalität von $p$ ist!

Da dies alles sicher kein Zufall ist, vermute ich, dass der TS seine Folgen aus einem Artikel (oder einem Video?) entnommen hat, wo es genau darum ging, wie man große Primzahlen mithilfe des Lucas-Lehmer-Tests findet. Leider macht er aber genau zu diesem interessanten Punkt keine näheren Angaben.

\(\endgroup\)


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MengeX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.83, eingetragen 2018-10-11 07:40

\(\begingroup\)
2018-10-10 16:08 - weird in Beitrag No. 82 schreibt:

Man kann nun durchaus die Frage stellen, ob die Primzahlen $p>3$, für welche es ja eine Darstellung $p=6k\pm1$ stets gibt, dadurch sogar charakterisiert werden, wovon offenbar der TS auch ausgegangen ist, bis dann DerEinfaeltige in #14 in Gestalt der zusammengesetzten Zahl $209\ (=11\cdot19=6\cdot35-1)$ ein Gegenbeispiel angegeben hat, da für sie ebenfalls $209|n_{209}$ gilt.

Da dies alles sicher kein Zufall ist, vermute ich, dass der TS seine Folgen aus einem Artikel (oder einem Video?) entnommen hat, wo es genau darum ging, wie man große Primzahlen mithilfe des Lucas-Lehmer-Tests findet.

Beachte bitte Beitrag Nr. 25

Der Algorithmus erkennt auch, dass 209 keine Primzahl ist.
Das folgende Beispiel zeigt das Muster, nach dem der Algorithmus operiert:
n₄ (7) - n₂ (2) = 5
n₄ (7) - n₃ (4) = 3
n₅ (15) = 3 x 5

Die Subtraktionen von n4 ergeben die Primfaktoren von n5.
Die Subtraktionen von n6 ergeben die Primfaktoren von n9.
Die Subtraktionen von n8 ergeben die Primfaktoren von n13.
Die Subtraktionen von n10 ergeben die Primfaktoren von n17.
Die Subtraktionen von n12 ergeben die Primfaktoren von n21.
Die Subtraktionen von n14 ergeben die Primfaktoren von n25.
Die Subtraktionen von n16 ergeben die Primfaktoren von n29.
Die Subtraktionen von n18 ergeben die Primfaktoren von n33.
Die Subtraktionen von n20 ergeben die Primfaktoren von n37.

Die Subtraktionen von n106 ergeben die Primfaktoren von n209.

n₁₀₆ (1028466200469391214258703437642) - n₁₀₄ (275576687858478528454426341217)
= 752889512610912685804277096425 = 5² x 19 x 29 x 71 x 2017 x 136709 x 5352481 x 521582669
n₁₀₆ (1028466200469391214258703437642) - n₁₀₅ (593785237693434633354326844689)
= 434680962775956580904376592953 = 3 x 11 x 41 x 139 x 241 x 3361 x 66499 x 408241 x 105109201
n₂₀₉ (327266738205632229967733242628989108279711915559972956493025)
= 3 x 5² x 11 x 19 x 29 x 41 x 71 x 139 x 241 x 2017 x 3361 x 66499 x 136709 x 408241 x 5352481 x 105109201 x 521582669
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.84, eingetragen 2018-10-11 10:59

\(\begingroup\)
2018-10-11 07:40 - MengeX in Beitrag No. 83 schreibt:
Beachte bitte Beitrag Nr. 25

Der Algorithmus erkennt auch, dass 209 keine Primzahl ist.

Keine Ahnung, was du hier mit "erkennen" genau meinst. Hast du das mit

$989=6\cdot 165-1=23\cdot 43$

auch mal ausprobiert? Hier gilt tatsächlich

$989\mid n_{989}=(n_{496}-n_{494})(n_{496}-n_{495})$

aber die beiden Primfaktoren von $989$ kommen nur im ersten Faktor vor und keiner davon auch im zweiten. "Erkennst" du da auch etwas?  confused
\(\endgroup\)


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MurphyX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.85, eingetragen 2018-10-11 13:27


2018-10-11 10:59 - weird in Beitrag No. 84 schreibt:

Keine Ahnung, was du hier mit "erkennen" genau meinst.

Der Algorithmus arbeitet mit dem ggT. Wenn er versagt, wie bei 209, muss man seinen zweiten Weg beachten, den er mit dem ggT geht. Dabei splittet er die Primfaktoren, wie mit dem Beispiel n106 gezeigt. Hier ergibt sich kein ggt=209 wenn n106-n105 oder n106-n104 geprüft werden.

Die Primfaktoren 11 und 19 tauchen in den Splits auf. Deshalb kann es keinen ggT geben.

n₁₀₆ (1028466200469391214258703437642) - n₁₀₄ (275576687858478528454426341217)
= 752889512610912685804277096425 = 5² x 19 x 29 x 71 x 2017 x 136709 x 5352481 x 521582669
n₁₀₆ (1028466200469391214258703437642) - n₁₀₅ (593785237693434633354326844689)
= 434680962775956580904376592953 = 3 x 11 x 41 x 139 x 241 x 3361 x 66499 x 408241 x 105109201
n₂₀₉ (327266738205632229967733242628989108279711915559972956493025)
= 3 x 5² x 11 x 19 x 29 x 41 x 71 x 139 x 241 x 2017 x 3361 x 66499 x 136709 x 408241 x 5352481 x 105109201 x 521582669



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.86, eingetragen 2018-10-11 14:29


2018-10-11 13:27 - MurphyX in Beitrag No. 85 schreibt:
Der Algorithmus arbeitet mit dem ggT. Wenn er versagt, wie bei 209, muss man seinen zweiten Weg beachten, den er mit dem ggT geht. Dabei splittet er die Primfaktoren, wie mit dem Beispiel n106 gezeigt. Hier ergibt sich kein ggt=209 wenn n106-n105 oder n106-n104 geprüft werden.

Ja, das war mir auch alles klar, darum auch oben mein Beispiel mit 989, welches du dir offenbar nicht angesehen hast, denn da ist doch der ggT für den ersten Faktor ebenfalls 989.

Fazit: Das funktioniert so nicht, trotz des dann schon erheblichen Aufwands.



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MurphyX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.87, eingetragen 2018-10-11 15:11


2018-10-11 14:29 - weird in Beitrag No. 86 schreibt:
Fazit: Das funktioniert so nicht, trotz des dann schon erheblichen Aufwands.

Was ist n496−n494?
Was ist n496−n495?

Bitte nenne beide Ergebnisse und deren Primfaktorzerlegung.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.88, eingetragen 2018-10-11 17:38

\(\begingroup\)
2018-10-11 15:11 - MurphyX in Beitrag No. 87 schreibt:
Was ist n496−n494?
Was ist n496−n495?

Bitte nenne beide Ergebnisse und deren Primfaktorzerlegung.

Beide obige Zahlen haben je 142 Dezimalstellen, eine Primfaktorzerlegung ist da echt ein bißchen viel verlangt und damit kann ich dir leider im Moment nicht dienen.  frown

Aber wozu auch? Um meine obigen Behauptungen überprüfen, brauchst du ja nur die entsprechenden Folgenglieder mod $989$ zu berechnen. (Wenn es damit ein Problem gibt, kann ich gern noch näher darauf eingehen!)

Hier zu deiner Kontrolle die Resultate

$n_{494} \mod 989=362$
$n_{495} \mod 989=780$
$n_{496} \mod 989=362$

womit also dann tatsächlich $n_{496}-n_{494}$ durch $989$ teilbar ist, wohingegen $n_{496}-n_{495}$ zu 989 teilerfremd ist.
\(\endgroup\)


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Fornax
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.89, eingetragen 2018-10-11 20:15


Ich denke, wir können folgendes festhalten.

1. Herr Löffler hat keine fundierte mathematische Ausbildung.
2. Die Pseudonyme Zahlenkaspar, Spidermoon, MengeX und MurphyX gehören alle Herrn Löffler.
3. Herrn Löffler hat anhand endlich vieler Beispiele ein Phänomen beobachtet, dass ihn fasziniert, er aber nicht wirklich versteht.
4. Die Erklärungen von Herrn Löffler sind sehr vage und es fehlen belastbare Begründungen.

Wir können nun zwei Sachen machen.

Entweder, wir lachen ihn aus oder wir versuchen, seine Sache zu verstehen. Dabei könnte Herr Löffler helfen, wenn er versucht, die Begriffe, die er benutzt, mal zu erklären. Und wir könnten versuchen, uns auf das Niveau der Schulmathematik zu beschränken, damit er umgekehrt auch versteht, war wir meinen.

Gruß
Fornax



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.90, eingetragen 2018-10-11 21:09


2018-10-11 20:15 - Fornax in Beitrag No. 89 schreibt:
Ich denke, wir können folgendes festhalten.

1. Herr Löffler hat keine fundierte mathematische Ausbildung.
2. Die Pseudonyme Zahlenkaspar, Spidermoon, MengeX und MurphyX gehören alle Herrn Löffler.
3. Herrn Löffler hat anhand endlich vieler Beispiele ein Phänomen beobachtet, dass ihn fasziniert, er aber nicht wirklich versteht.
4. Die Erklärungen von Herrn Löffler sind sehr vage und es fehlen belastbare Begründungen.

Ich denke, alle Punkte mit Ausnahme von 2. sagen eigentlich dasselbe aus, nämlich dass es sich hier - falls 2. zutrifft - um einen Hobbymathematiker handelt, was für sich genommen jetzt noch kein Problem darstellt. Ganz im Gegenteil: Dass jemand sich von der Schönheit der Mathematik angezogen fühlt, konkret von Problemen rund um Primzahlen ist ja auch für "Profis" durchaus nachvollziehbar.  wink


Wir können nun zwei Sachen machen.

Entweder, wir lachen ihn aus oder wir versuchen, seine Sache zu verstehen. Dabei könnte Herr Löffler helfen, wenn er versucht, die Begriffe, die er benutzt, mal zu erklären. Und wir könnten versuchen, uns auf das Niveau der Schulmathematik zu beschränken, damit er umgekehrt auch versteht, war wir meinen.

Ich denke, ich gehöre jetzt schon zu jenen, die versuchen "seine Sache zu verstehen", die Notwendigkeit sich auf das Niveau der Schulmathematik zu beschränken sehe ich allerdings nicht, da hier auch andere mitlesen, welche vielleicht wissen wollen, ob an der Sache jetzt "was dran ist" und ev. durchaus auch das entsprechende Hintergrundwissen mitbringen. Bei Nachfrage bzw. Bedarf bin ich aber durchaus bereit Dinge im Detail und "down to earth" auszuführen, soweit sie mir überhaupt selbst klar sind. Leider gab es diese Nachfragen - #87 ist da eine Ausnahme- bisher aber kaum, was insgesamt dann doch etwas unbefriedigend ist, weil man nicht genau weiß, was nun "angekommen" ist und was nicht.



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MurphyX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.91, eingetragen 2018-10-11 21:15


2018-10-11 20:15 - Fornax in Beitrag No. 89 schreibt:

Wir können nun zwei Sachen machen. Entweder, wir lachen ihn aus oder wir versuchen, seine Sache zu verstehen.
Gruß
Fornax

Aller guten Dinge sind drei.
Wir können nun drittens feststellen, dass Fornax nicht in der Lage ist, die Primfaktoren von n496−n494 und n496−n495 bekannt zu geben.

Ihn deshalb auszulachen, wäre unfreundlich.
Also warten wir auf Godot. Vielleicht wird der uns eine Antwort geben.



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Fornax
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.92, eingetragen 2018-10-11 21:32


Gerhard,

ich kann in der Tat die Primfaktoren von n496−n494 und n496−n495 nicht nennen. Ich frage mich, warum du das überhaupt willst. Was soll ein weiteres Beispiel an der Sache ändern? Es gibt immer noch abzählbar unendlich viele, die wir nicht betrachtet haben werden.

Deine Bemerkungen sind unnötig provokativ und helfen nicht weiter. Wir leben nicht im 17. Jahrhundert und du bist nicht Fermat.

Ich habe mich bislang nur sehr oberflächlich mit der Sache befasst, weil ich deine Homepage wirklich schwer verständlich finde. Ich schlage mal folgendes vor. Ich fange nochmal neu an, lese deine Homepage und diesen Thread. Und wenn ich Fragen habe, wäre ich dankbar, wenn du wenigstens versuchst, sie zu erklären. Wärst du dazu bereit?

Gruß
Fornax



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Fornax
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.93, eingetragen 2018-10-12 00:44

\(\begingroup\)
Also, ich versuche mal, die Löffler-Homepage ganz vorurteilsfrei zu lesen.

Löffler gibt eine Folge an, die er als Algorithmus für Primsummanden bezeichnet. Diese Folge ist rekursiv definiert:
\[
n_{0}=n_{1}=1
\] und
\[
n_{k+1}=\begin{cases}
2\cdot n_{k-1}+n_{k} & \text{für gerade }k\\
\sqrt{3\cdot n_{k}^{2}+1} & \text{für ungerade }k.
\end{cases}
\] Die Folgenglieder bezeichnet Löffler als Primsummanden und das Argument $k$ bezeichnet Löffler als Position des jeweiligen Folgenglieds. Dabei betont er, dass für die Mengen
\[
L=\left\{ n_{1},n_{3},n_{5},\dots\right\} \qquad\text{und}\qquad R=\left\{ n_{0},n_{2},n_{4},\dots\right\}
\] der Durchschnitt $L\cap R=\left\{ 1\right\} $ ist. Löffler hat die ersten $52$ Glieder der Folge mit einer Tabellenkalkulationssoftware berechnet und behauptet nun, dass jede natürliche Zahl als Summe von Primsummanden dargestellt werden kann. Einfaches Probieren liefert etwa
\[
1234=n_{11}+n_{10}+n_{7}+n_{6}+n_{4}+n_{2}+n_{1}
\] oder
\[
65847=n_{17}+n_{16}+n_{14}+n_{12}+n_{7}+n_{6}+n_{4}+n_{2}+n_{1}
\] oder größere Zahlen wie
\[
\begin{aligned}218668521 & =n_{30}+n_{26}+n_{25}+n_{24}+n_{23}+n_{22}\\
 & \phantom{=}+n_{21}+n_{18}+n_{17}+n_{15}+n_{14}+n_{11}\\
 & \phantom{=}+n_{10}+n_{9}+n_{7}+n_{3}+n_{2}.
\end{aligned}
\] Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese Beobachtung erstaunlich finden soll. Mit der Folge $1,2,4,8,16,32,64,\dots$ geht das ja auch. Einen Beweis, dass jede Zahl auf diese Weise dargestellt werden kann, liefert Löffler nicht. Ich hätte jetzt auch keine Ahnung, wie ich das beweisen sollte. Ich gehe davon aus, dass Löffler auch keinen Beweis hat. Aber vielleicht kann hier jemand einen Beweis oder ein Gegenbeispiel finden.

Eine andere Frage ist die Eindeutigkeit der Primsummandendarstellung. Hier sagt er nur: "Ein Primsummand kann als Vertreter einer Klasse nur einfach auftreten. Erst dadurch entsteht die Eindeutigkeit, die an die Erstrangigkeit der Primsummanden in absteigender Reihenfolge gebunden ist."

Mit den Klassen meint er die Mengen $L$ und $R$, die ich oben definiert habe. Sein Argument für die Eindeutigkeit verstehe ich allerdings nicht. Nur weil beide Klassen nur ein gemeinsames Element haben, muss noch lange keine Eindeutigkeit der Summendarstellung vorliegen, es gilt etwa
\[
22=n_{5}+n_{4}=n_{5}+n_{3}+n_{2}+n_{1}.
\] Die in beiden Klassen auftretende Eins ist nicht Schuld an dieser Mehrdeutigkeit der Primsummandenzerlegung. Ich kann aber trotzdem nachvollziehen, was Löffler meint. Es hat mit der Art zu tun, wie ich auch die obigen drei Beispiele für die Primsummandenzerlegung gefunden habe: Zu einer gegebenen Zahl $x\in\mathbb{N}$ suche ich den größten Primsummanden, der nicht größer als $x$ ist. Zu diesem Primsummanden addiere ich dann den größten Primsummanden, bei dem die Summe nicht größer als $x$ wird. Und so fahre ich fort, bis die Summe mit $x$ überein stimmt. Sei $\pi(x)$ der größte Primsummand mit $\pi\left(x\right)\leq x$, dann ist
\[
x=\pi(x)+\pi(x-\pi(x))+\pi(x-\pi(x)-\pi(x-\pi(x)))+\cdots
\] und im konkreten Beispiel
\[
1234=\underbrace{\overbrace{\pi(1234)}}_{=n_{11}}^{780}+\underbrace{\pi(\overbrace{1234-\pi(1234)}^{=454})}_{n_{10}}+\underbrace{\pi(1234-\overbrace{\pi(1234)}^{780}-\overbrace{\pi(1234-\pi(1234))}^{362})}_{n_{7}}+\cdots
\]
Ich habe keine Ahnung, warum das funktioniert. Ich habe aber kein Beispiel gefunden, bei dem es nicht geklappt hat. Da hier aber ein Algorithmus zur Bestimmung der Primsummandenzerlegung vorliegt, ist zumindest eine Zerlegung ausgezeichnet, die man als eindeutige Primsummandenzerlegung bezeichnen kann, obwohl sie ja nicht wirklich eindeutig ist. Ich glaube, das ist es, was Löffler mit der Erstrangigkeit meint. Der Existenzbeweis fehlt aber immer noch. Mit seiner "experimentellen Mathematik" wird er aber auch nicht mehr haben, als eine Hand voll Beispiele.

Soweit finde ich alles, was Herr Löffler geschrieben hat, nachvollziehbar. Morgen gucke ich mir mal diese andauernden Differenzbildungen und das ggT-Zeug an. Davon habe ich bislang nichts kapiert.

@Gerhard

Hier hättest du dir mehr Mühe geben können, genauer zu erklären, was gemeint ist.

Gruß
Fornax
\(\endgroup\)


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MurphyX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.94, eingetragen 2018-10-12 06:21

\(\begingroup\)
2018-10-11 17:38 - weird in Beitrag No. 88 schreibt:
2018-10-11 15:11 - MurphyX in Beitrag No. 87 schreibt:
Was ist n496−n494?
Was ist n496−n495?

Bitte nenne beide Ergebnisse und deren Primfaktorzerlegung.

Beide obige Zahlen haben je 142 Dezimalstellen, eine Primfaktorzerlegung ist da echt ein bißchen viel verlangt und damit kann ich dir leider im Moment nicht dienen.  frown

Aber wozu auch? Um meine obigen Behauptungen überprüfen, brauchst du ja nur die entsprechenden Folgenglieder mod $989$ zu berechnen. (Wenn es damit ein Problem gibt, kann ich gern noch näher darauf eingehen!)

Hier zu deiner Kontrolle die Resultate

$n_{494} \mod 989=362$
$n_{495} \mod 989=780$
$n_{496} \mod 989=362$

womit also dann tatsächlich $n_{496}-n_{494}$ durch $989$ teilbar ist, wohingegen $n_{496}-n_{495}$ zu 989 teilerfremd ist.

mod 989 muss immer 0 ergeben.
Die Sache scheint also zu funktionieren.
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.95, eingetragen 2018-10-12 09:58


@Fornax

Wie ich in #34 schon moniert habe, haben Wurzeln bei der ganzen Sache absolut nichts verloren, man kommt hier mit Additionen, Subtraktionen und einfachen Multiplikationen (und da maximal Vervierfachungen!) vollkommen aus. Um z.B. die Tabelle aus dem Startposting in Excel zu erstellen, müsste man nur zuerst das Zahlenformat auf "Zahl" mit 0 Nachkommenstellen und mit 1000-er Trennzeichen umstellen und dann die ersten 6 Zellen A1-C2 in der linken oberen Ecke wie folgt ausfüllen:

text
-1     0     1
 1     1     2

Danach sollte man in Zellen A3,B3,C3 der Reihe nach folgende Formeln eintragen und die Zellenbreite der B- und C-Spalte auf mind. 20 vergrößern:

(In A3:)  =A2+2
(In B3:)  =4*B2-B1
(In C3:)  =4*C2-C1

Abschließend braucht man dann nur diese 3 Zellen A3-C3 einrahmen und durch Ziehen an der rechten unteren Ecke "hinunterkopieren" bis in die Zellen A27-C27 und fertig! Jemand, der sich ein bißchen mit Excel auskennt, schafft das alles in weniger als 1 min! Und es mussten dabei insbesondere auch keine Wurzeln gezogen werden, d.h., es hat gar nicht wehgetan!  biggrin

Was Excel betrifft, ist man damit allerdings am Limit angelangt, da die Zahlen, welche sich durch weitere Vergrößerung der Tabelle ergeben, durch die begrenzte Genauigkeit von Excel nicht mehr stimmen. Für darüber hinausgehenden Rechnungen sollte man also dann jedenfalls ein CAS verwenden.

Was nun die Sache mit der Darstellung von natürlichen Zahlen als Summe von verschiedenen Primsummanden angeht, wobei diese nach diversen Zusatzforderungen auch noch eindeutig sein soll, so halte ich das jetzt nicht für besonders interessant. Selbst wenn es stimmt, was durchaus möglich ist, so wäre nur ein isoliertes Resultat für sich, mit dem man sonst meiner Meinung nach nichts anfangen könnte. Von daher habe ich also nicht wirklich große Lust mich damit auch noch zu beschäftigen!



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Fornax
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.96, eingetragen 2018-10-12 12:02


@weird

Wie kommst du auf deine wurzelfreie Rekursion? Ich komme mir gerade voll deppert vor, aber ich sehe es einfach nicht.

Gruß
Fornax



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MurphyX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.97, eingetragen 2018-10-12 14:38


2018-10-12 09:58 - weird in Beitrag No. 95 schreibt:

Wie ich in #34 schon moniert habe, haben Wurzeln bei der ganzen Sache absolut nichts verloren, man kommt hier mit Additionen, Subtraktionen und einfachen Multiplikationen (und da maximal Vervierfachungen!) vollkommen aus.

Was nun die Sache mit der Darstellung von natürlichen Zahlen als Summe von verschiedenen Primsummanden angeht, so halte ich das jetzt nicht für besonders interessant. Selbst wenn es stimmt, was durchaus möglich ist, so wäre nur ein isoliertes Resultat für sich, mit dem man sonst meiner Meinung nach nichts anfangen könnte. Von daher habe ich also nicht wirklich große Lust mich damit auch noch zu beschäftigen!

Deine qualifizierten Beiträge haben mich immer sehr beeindruckt. Umso mehr wundere ich mich nun über Deinen "eleganten" Abschied. Dass Du die Wurzeln so "herabwürdigst", wundert mich ebenfalls. Allein zu wissen, dass die Wurzeln im Spiel sind, macht die Sache umso interessanter. Oft ist das reine Wissen ohne weiteren Nutzen ein großer Gewinn einfach nur um des Wissens willen. Das scheint bei Dir nicht so zu sein.

". . . so halte ich das jetzt nicht für besonders interessant."

Das  bleibt Dir überlassen. Ich finde es irrsinnig spannend, welche Rolle die Primzahlen in dieser Sache spielen. Immer wenn Primzahlen ins Spiel kommen, kann es nur noch interessant werden.

Überhaupt bin ich sehr befremdet davon, wie in diesem Forum mit neuen Ideen umgegangen wird. Man spürt selten die Liebe zur Sache, sondern nur das Ausleben des "überheblichen Eigenwissens".



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MurphyX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.98, eingetragen 2018-10-12 14:47


2018-10-11 21:32 - Fornax in Beitrag No. 92 schreibt:
Gerhard,

ich kann in der Tat die Primfaktoren von n496−n494 und n496−n495 nicht nennen. Ich frage mich, warum du das überhaupt willst. Was soll ein weiteres Beispiel an der Sache ändern? Es gibt immer noch abzählbar unendlich viele, die wir nicht betrachtet haben werden.

Natürlich ändert ein weiteres Beispiel nichts an der Sache. Und trotzdem wäre es interessant, dieses zu kennen.

Aber egal. Es geht nicht um unendlich viele Beispiele, die keinen Beweis ergeben, sondern um die Theorien, die sich aus den bekannten Beispielen ergeben!

Es ist mir ein Rätsel, warum noch niemand, der diese Beiträge gelesen hat, eine  Bemerkung dazu verloren hat, welch' interessante Rolle die Primzahlen in den Beispielen einnehmen. Diese Art von Ignoranz zeigt wenig Liebe zur Sache. Den Rest kann man sich denken.



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.99, eingetragen 2018-10-12 14:50


2018-10-11 15:11 - MurphyX in Beitrag No. 87 schreibt:
(2018-10-11 14:29 - weird in <a href=viewtopic.php?topic=237845&Was ist n496−n494?
Was ist n496−n495?

Bitte nenne beide Ergebnisse und deren Primfaktorzerlegung.

n496-n494=
2549781798903699247407642756711811116196653128763665115442090409877732963590084100074990261859852220537379089546761634775131456842768278454575
=5*5*19*23*29*43*53*197*294029*391249*7160401*18032453*39762361*201415397041*101000579880169470346561*
471192943005543445783469*3166284868996513030696623492204244601401

n496-n495=
1472117207971858988534526723917270774132656546420418067586936418001992294801773317556698533034379841129587511698342086349170272161646869267953
=3*3*11*11*17*89*241*571*83609*652081*31627178771*146790818637606001*60768045872564623369921*
816953436929076624378412424729*516696993409941698207972185543009211369


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.97 begonnen.]



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.100, eingetragen 2018-10-12 18:15

\(\begingroup\)
2018-10-12 12:02 - Fornax in Beitrag No. 96 schreibt:
@weird

Wie kommst du auf deine wurzelfreie Rekursion? Ich komme mir gerade voll deppert vor, aber ich sehe es einfach nicht.

Ja, so auf einen Blick sieht man das auch nicht. Eigentlich wurde deine Frage aber schon in den 3 Postings #7,#22,#23 beantwortet. Zusammengefasst ist nämlich die Folge

$a_k:=n_{2k-1} \quad (k\in \mathbb N)$ mit $n_{-1}:=0$

laut dem Startposting nach leichter Umformung definiert durch

$a_0:=0,\quad a_{k+1}=2a_k+\sqrt{3a_k^2+1} \quad (k\in \mathbb N)$

Nun gilt aber (s. #22), wie man durch Einsetzen direkt nachrechnet

$3a_{k+1}^2+1=(3a_k+2\sqrt{3a_k^2+1})^2=(2a_{k+1}-a_k)^2\quad (k \in \mathbb N)$

Ich weiß, das ist jetzt etwas unbefriedigend, da die erste dieser Gleichungen gewissermaßen "vom Himmel herunterfällt", ohne dass man so richtig weiß, wie man darauf kommen soll, aber Tatsache ist, dass sie gilt.

Damit gilt dann aber auch die 2-stellige Rekursion

$a_{k+2}=2a_{k+1}+\sqrt{3a_{k+1}^2+1}=2a_{k+1}+\sqrt{(2a_{k+1}-a_k)^2}=4a_{k+1}-a_k\quad (k\in \mathbb N)$

zusammen mit $a_0:=0,\ a_1:=1$, wie behauptet.
\(\endgroup\)


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weird
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2018-10-12 14:38 - MurphyX in Beitrag No. 97 schreibt:
Deine qualifizierten Beiträge haben mich immer sehr beeindruckt. Umso mehr wundere ich mich nun über Deinen "eleganten" Abschied.

Ich habe mich nur aus dem Unterthema mit der additiven Zerlegung von natürlichen Zahlen in Primsummanden "verabschiedet", wie du es nennst, weil ich erstens nicht sehe, wie ich dazu etwas beitragen kann und es mich zweitens auch nicht wirklich brennnend interessiert. Ich denke, das ist mein gutes Recht, oder nicht?

Dass Du die Wurzeln so "herabwürdigst", wundert mich ebenfalls. Allein zu wissen, dass die Wurzeln im Spiel sind, macht die Sache umso interessanter. Oft ist das reine Wissen ohne weiteren Nutzen ein großer Gewinn einfach nur um des Wissens willen. Das scheint bei Dir nicht so zu sein.

Ja, da scheiden sich offenbar die Geister: Wurzeln deshalb ins Spiel zu bringen, weil sie "interessanter" sind als die Grundoperationen, diesem Standpunkt kann ich absolut nichts abgewinnen. Was immerhin hier interessant ist, dass sich die Wurzel immer ganzzahlig ziehen lässt, das ist wirklich nicht so ganz trivial, wurde aber hier auch geklärt.

Überhaupt bin ich sehr befremdet davon, wie in diesem Forum mit neuen Ideen umgegangen wird. Man spürt selten die Liebe zur Sache, sondern nur das Ausleben des "überheblichen Eigenwissens".

Erstens sind diese Ideen nicht wirklich neu, soweit sie Primzahltests basierend auf Lucasfolgen betreffen. Die meisten CAS, ganz sicher aber Mathematica und Maple, verwenden eine leichte Modifikation davon als zusätzliche Absicherung in Kombination mit Miller-Rabin-Tests, weshalb mir diese Thematik auch sehr vertraut ist. Zweitens braucht man tatsächlich wohl sehr viel "Liebe zur Sache", und wohl auch eine Menge "Eigenwissen" - ob "überheblich" oder nicht - um aus den spärlichen "Andeutungen" im Startposting etwas mathematisch Sinnvolles herauslesen zu wollen, zumal es sich gerade im Zusammenhang mit der additiven Zerlegung in Primsummanden im Nachhinein herausgestellt hat, dass da noch riesige Lücken in der Darstellung vorhanden waren.   frown  

@querin

Super! Da die zweitgrößten Primfaktoren mit 24 bzw. 30 Stellen noch nicht allzugroß sind, sollten hier Faktorisierungsmethoden basierend auf Elliptischen Kurven optimal geeignet sein. Welches Programm hast du da verwendet, wenn man fragen darf?




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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.102, eingetragen 2018-10-12 20:00


Hallo weird,

yafu faktorisiert diese Zahlen in weniger als 1 Minute, allerdings sind die großen Faktoren nur "probable prime". In wolframalpha wurden dann aber alle als "prime" klassifiziert.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.103, eingetragen 2018-10-12 20:18


2018-10-12 20:00 - querin in Beitrag No. 102 schreibt:
yafu faktorisiert diese Zahlen in weniger als 1 Minute, allerdings sind die großen Faktoren nur "probable prime". In wolframalpha wurden dann aber alle als "prime" klassifiziert.

Danke, sehr interessant! Leider ist meine Lizenz von Maple gerade abgelaufen, sodass ich im Moment keinen Vergleich habe, aber das scheint mir trotzdem beeindruckend schnell zu sein.  wink



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MurphyX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.104, eingetragen 2018-10-12 20:50


2018-10-12 14:50 - querin in Beitrag No. 99 schreibt:
2018-10-11 15:11 - MurphyX in Beitrag No. 87 schreibt:
(2018-10-11 14:29 - weird in <a href=viewtopic.php?topic=237845&Was ist n496−n494?
Was ist n496−n495?

Bitte nenne beide Ergebnisse und deren Primfaktorzerlegung.

n496-n494=
2549781798903699247407642756711811116196653128763665115442090409877732963590084100074990261859852220537379089546761634775131456842768278454575
=5*5*19*23*29*43*53*197*294029*391249*7160401*18032453*39762361*201415397041*101000579880169470346561*
471192943005543445783469*3166284868996513030696623492204244601401

n496-n495=
1472117207971858988534526723917270774132656546420418067586936418001992294801773317556698533034379841129587511698342086349170272161646869267953
=3*3*11*11*17*89*241*571*83609*652081*31627178771*146790818637606001*60768045872564623369921*
816953436929076624378412424729*516696993409941698207972185543009211369


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.97 begonnen.]

Hoppla, das sieht nach WolframAlphaPro aus. Besten Dank, querin!

Also: Jetzt scheint es Zeit zu sein, die Theorie der ggT in die Tonne zu klopfen. Jedoch scheint es noch mehr Zeit zu sein, den augenblicklichen Stand der Dinge akribisch zu untersuchen. Und dieser ist die Tatsache, dass in 0,1% der Fälle die ggT-Methode versagt. Was also geht ab in diesen 0,1%? Macht es Sinn, diese zum Anlass zu nehmen, die ganze Sache zu begraben? Ich fühle mich nicht wohl bei diesem Gedanken. 0,1% verlangt doch geradezu danach, untersucht zu werden.

n209 tanzt aus der Reihe. Und n989 auch!

Fragt man den Algorithmus, was er dazu meint, erhält man eine durchaus interessante Antwort: 989 ist die Summe von n9=209 und n11=780.

Es sieht also so aus, als ob der Algorithmus sich bei Summen von ungeraden Primsummanden selbst austrickst bei der ggT-Methode.

Aber warum austricksen? Die Sache scheint Methode zu haben. Ich verliere den Eindruck nicht, das der Algorithmus sich immer mehr Geheimnisse entlocken lässt.

Somit kann die bisherige Theorie erweitert werden auf
"Der Algorithmus für Primsummanden bestätigt die Positionen der ungeraden Primsummanden als Primzahlen als ggT, wenn eine Position keine Summe ungerader Primsummanden ist."

Ich danke Euch! Das war wahre Team-Arbeit!

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.102 begonnen.]



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.105, eingetragen 2018-10-12 21:19


Ich bitte euch xD xD xD



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querin
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2018-10-12 20:50 - MurphyX in Beitrag No. 104 schreibt:
Somit kann die bisherige Theorie erweitert werden auf
"Der Algorithmus für Primsummanden bestätigt die Positionen der ungeraden Primsummanden als Primzahlen als ggT, wenn eine Position keine Summe ungerader Primsummanden ist."

Nein.

n22577=(n11290-n11289)*(n11290-n11288)
22577=107*211
n11290-n11289 ist durch 107 und durch 211 teilbar
22577 kann nicht als Summe n(a)+n(b) dargestellt werden.



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Fornax
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.107, eingetragen 2018-10-13 02:08

\(\begingroup\)
Ich habe ja nie eine Zahlentheorievorlesung gehört und ich bin schon lange aus der Uni raus. Aber mich stört es, dass ich einfach nicht begreife, worum es hier geht.

Herr Löffler schreibt: "Die Position eines ungeraden Primsummanden ist in einer Summe der vorausgehenden Primsummanden enthalten. Ist es eine Primzahl, ist diese als ggT in der Primfaktorzerlegung eines Primsummanden enthalten. Die dahinter stehende Struktur ergibt sich aus den Differenzen der Positionen."

Ich vermute, mit einem ungeraden Primsummanden meint er ein $n_{k}$ mit ungeradem Index $k$. Es geht also um die Elemente in der linken Spalte seiner Tabelle. Und wenn $k$ eine Primzahl ist, handelt es sich um den ggT von irgendwelchen Zahlen, die Herr Löffler nicht nennt, und dieser ggT taucht in der Primfaktorzerlegung eines Primsummanden auf. Er sagt aber nicht welcher. Oder soll $n_{k}$ die Primzahl sein?

Die Beispiele darunter legen nahe, dass er die Formel
\[
\left(n_{4+2\ell}-n_{4+2\ell-2}\right)\cdot\left(n_{4+2\ell}-n_{4+2\ell-1}\right)=n_{5+4\ell}
\] meint. Für $\ell=0$ liefert das
\[
\left(n_{4}-n_{2}\right)\cdot\left(n_{4}-n_{3}\right)=\left(7-2\right)\cdot\left(7-4\right)=5\cdot3=15=n_{5},
\] für $\ell=1$
\[
\left(n_{6}-n_{4}\right)\cdot\left(n_{6}-n_{5}\right)=\left(26-7\right)\cdot\left(26-15\right)=19\cdot11=209=n_{9}
\] und für $\ell=2$
\[
\left(n_{8}-n_{6}\right)\cdot\left(n_{8}-n_{7}\right)=\left(97-26\right)\cdot\left(97-56\right)=71\cdot41=n_{13}.
\] Die Klammern haben immer Primfaktoren ergeben. Aber für $\ell=3$ hat man mit
\[
\left(n_{10}-n_{8}\right)\cdot\left(n_{10}-n_{9}\right)=\left(362-97\right)\cdot\left(362-209\right)=265\cdot153=40545=n_{17}
\] keine Primfaktoren. Wenigstens scheint die Formel zu stimmen. Aber was hat das mit Primfaktoren und dem ggT zu tun. Der ggT von welchen Zahlen überhaupt? Durch die Produktdarstellung
\[
\left(n_{4+2\ell}-n_{4+2\ell-2}\right)\cdot\left(n_{4+2\ell}-n_{4+2\ell-1}\right)=n_{5+4\ell}
\] verteilen sich die Primfaktoren von $n_{5+4\ell}$ ja auf die beiden Faktoren $\left(n_{4+2\ell}-n_{4+2\ell-2}\right)$ und $\left(n_{4+2\ell}-n_{4+2\ell-1}\right)$. Und wenn ein Folgenglied wie $n_{9}=209=11\cdot19$ nur zwei Primfaktoren hat, ist es nicht verwunderlich, dass $n_{6}-n_{4}=19$ und $n_{6}-n_{5}=11$ ist.

Das einzige, was ich hierzu sehe, ist des Einfältigen Bemerkung, dass für eine Primzahl $k$ immer
\[
\text{ggT}\left(k,n_{k}\right)=k\quad\text{oder}\quad\text{ggT}\left(k,n_{k-2}\right)=k
\] ist. Das ist mir im Nachhinein plausibel, konnte ich aber beim besten Willen nicht aus Löfflers Erklärungen herauslesen. Mich wundert, wie ihr das enträtselt habt.

Gruß
Fornax
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.108, eingetragen 2018-10-13 07:33


2018-10-12 22:22 - querin in Beitrag No. 106 schreibt:
2018-10-12 20:50 - MurphyX in Beitrag No. 104 schreibt:
Somit kann die bisherige Theorie erweitert werden auf
"Der Algorithmus für Primsummanden bestätigt die Positionen der ungeraden Primsummanden als Primzahlen als ggT, wenn eine Position keine Summe ungerader Primsummanden ist."

Nein.

n22577=(n11290-n11289)*(n11290-n11288)
22577=107*211
n11290-n11289 ist durch 107 und durch 211 teilbar
22577 kann nicht als Summe n(a)+n(b) dargestellt werden.


Ok. Somit kann die bisherige Theorie abermals in die Tonne geklopft werden und abgeändert werden auf

"Der Algorithmus für Primsummanden bestätigt die Positionen der ungeraden Primsummanden als Primzahlen als ggT in schätzungsweise 99,9% aller Fälle."

Warum "versagt" er in 0,01% aller Fälle?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.109, eingetragen 2018-10-13 09:39

\(\begingroup\)
2018-10-13 02:08 - Fornax in Beitrag No. 107 schreibt:
Die Beispiele darunter legen nahe, dass er die Formel
\[
\left(n_{4+2\ell}-n_{4+2\ell-2}\right)\cdot\left(n_{4+2\ell}-n_{4+2\ell-1}\right)=n_{5+4\ell}
\] meint.

Ja, diese Zerlegung, die man etwas "schöner" auch so

$n_{4\ell+1}=(n_{2\ell+2}-n_{2\ell})(n_{2\ell+2}-n_{2\ell+1})\quad (\ell \in \mathbb N)$ (*)

schreiben kann, scheint tatsächlich zu stimmen, obwohl sie eigentlich dann nur für ungerade Indices der Form $4\ell+1$ eine Aussage macht.

Das einzige, was ich hierzu sehe, ist des Einfältigen Bemerkung, dass für eine Primzahl $k$ immer
\[
\text{ggT}\left(k,n_{k}\right)=k\quad\text{oder}\quad\text{ggT}\left(k,n_{k-2}\right)=k
\] ist. Das ist mir im Nachhinein plausibel, konnte ich aber beim besten Willen nicht aus Löfflers Erklärungen herauslesen. Mich wundert, wie ihr das enträtselt habt.

Auch das stimmt natürlich, aber wichtig ist hier auch noch, wann für ein $k$, das zu $6$ teilerfremd ist, der erste Fall und wann der zweite Fall eintritt.  Dazu habe ich in #45 Folgendes bewiesen:

Gilt $p=6\ell\pm1\in \mathbb P$ mit einem ungeraden $\ell$, so tritt der Fall $p\mid n_p$ ein, ist hierin aber $\ell$ gerade, so der Fall $p\mid n_{p-2}$.

Wie aber DerEinfaeltige mit dem Beispiel $k=209$ gezeigt hat, kann umgekehrt aus dem Erfülltsein dieser Bedingungen für ein $k$, das zu $6$ teilerfremd ist, nicht geschlossen werden, dass $k$ prim ist. Der TS hat dazu zunächst gemeint - so verstehe ich ihn jedenfalls -, dass sich dann die Primfaktoren für ein solches zusammengesetztes $k$ in (*) auf die beiden Faktoren aufteilen müssten, ohne dass einer der beiden Faktoren gewissermaßen "leer" ausgeht. Wie ich mit $k=989$ dann gezeigt habe, stimmt auch das nicht. Dann wurde von MurphyX (in #104) eine weitere Bedingung genannt, die lt. querin (in #106) aber ebenfalls unzureichend ist. Und ich weiß nicht, ob das nun schon das Ende der Fahnenstange ist, oder ob es mit anderen Zusatzbedingungen hier noch weitergeht. Warten wir mal ab!  biggrin
\(\endgroup\)


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MurphyX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.110, eingetragen 2018-10-13 10:39

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2018-10-13 09:39 - weird in Beitrag No. 109 schreibt:

Wie aber DerEinfaeltige mit dem Beispiel $k=209$ gezeigt hat, kann umgekehrt aus dem Erfülltsein dieser Bedingungen für ein $k$, das zu $6$ teilerfremd ist, nicht geschlossen werden, dass $k$ prim ist. Der TS hat dazu zunächst gemeint, dass sich dann die Primfaktoren für ein solches zusammengesetztes $k$ in (*) auf die beiden Faktoren aufteilen müssten, ohne dass einer der beiden Faktoren gewissermaßen "leer" ausgeht. Wie ich mit $n=989$ dann gezeigt habe, stimmt auch das nicht. Dann wurde von MurphyX (in #104) eine weitere Bedingung genannt, die lt. querin (in #106) aber ebenfalls unzureichend ist. Und ich weiß nicht, ob das nun schon das Ende der Fahnenstange ist, oder ob es mit anderen Zusatzbedingungen hier noch weitergeht. Warten wir mal ab!  biggrin

Außer Spesen nichts gewesen? Ob und wie es weitergeht, weiß ich im Augenblick auch nicht.

So sei festgehalten, dass der Algorithmus auf jeden Fall, also immer!, mit dem ggT eine Primzahl identifiziert. Dass in seltenen Fällen mit dieser Methode auch Pseudo-Primzahlen ausfindig gemacht werden, macht nachdenklich, soll aber nicht von den zu 100% erkannten Primzahlen ablenken.

Es ist erstaunlich, dass der Algorithmus sich auf diese Art und Weise mit den ungeraden Positionen der Primsummanden sich "analog" zu den in den Primsummanden enthaltenen Primfaktoren verhält.

Somit ist ein neues Kapitel der Zahlentheorie eröffnet. Deshalb hat sich die Sache schon gelohnt.
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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.111, eingetragen 2018-10-13 13:27

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2018-10-13 10:39 - MurphyX in Beitrag No. 110 schreibt:
Dass in seltenen Fällen mit dieser Methode auch Pseudo-Primzahlen ausfindig gemacht werden, macht nachdenklich, soll aber nicht von den zu 100% erkannten Primzahlen ablenken.

Eine Bemerkung zur Seltenheit der "Pseudo-Primzahlen" dieser Folge:

Es gibt 75 zusammengetzte Zahlen $z<100000$, die $n_z$ oder $n_{z-2}$ teilen.

Bei der vor 120 Jahren mit der selben Absicht definierten Perrin-Folge $p_n$ werden alle Primzahlen $z\le271429$ durch die Eigenschaft "z teilt $p_z$" charakterisiert. Die kleinste zusammengesetzte Zahl n, die $p_n$ teilt, ist $n=271441=521^2$ (Die Zahl $p_{271441}$ hat immerhin 33150 Dezimalstellen).

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MurphyX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.112, eingetragen 2018-10-13 19:02

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2018-10-13 13:27 - querin in Beitrag No. 111 schreibt:
2018-10-13 10:39 - MurphyX in Beitrag No. 110 schreibt:
Dass in seltenen Fällen mit dieser Methode auch Pseudo-Primzahlen ausfindig gemacht werden, macht nachdenklich, soll aber nicht von den zu 100% erkannten Primzahlen ablenken.

Eine Bemerkung zur Seltenheit der "Pseudo-Primzahlen" dieser Folge:

Es gibt 75 zusammengetzte Zahlen $z<100000$, die $n_z$ oder $n_{z-2}$ teilen.

Bei der vor 120 Jahren mit der selben Absicht definierten Perrin-Folge $p_n$ werden alle Primzahlen $z\le271429$ durch die Eigenschaft "z teilt $p_z$" charakterisiert. Die kleinste zusammengesetzte Zahl n, die $p_n$ teilt, ist $n=271441=521^2$ (Die Zahl $p_{271441}$ hat immerhin 33150 Dezimalstellen).

Geil! Danke!
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MurphyX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.113, eingetragen 2018-10-13 20:46


Erhalten von einem Forum-User!

"Ich gebe dir mal den Tipp, dich nicht noch weiter zum Idioten zu machen. Korrigiere deinen Größenwahn, mache richtige Mathematik, und lerne aus Fehlern. Der Patzer mit den Primsummanden sollte dir eine Lehre gewesen sein. Mach nun nicht noch ein weiteres Fass auf. Ansonsten bist du hier auf dieser Plattform auch nicht richtig aufgehoben, sondern solltest ärztliche Hilfe an Anspruch nehmen, da du ansonsten offensichtlich geistig nicht gesund bist. Viel Erfolg!"

Man darf sich fragen, wer ärztliche Hilfe in Anspruch nehmen sollte.




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Fornax
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.114, eingetragen 2018-10-13 21:13


Niemand braucht ärztliche Hilfe! Jeder hier hat verstanden, wer hier wem was vorwirft. Herr Löffler ist kein Idiot. Er hat nur keine mathematische Ausbildung und neigt zum Ausdruck übermäßiger Begeisterung und Provokationen. Ich fand es auch sehr anstrengend, aus seinen Texten irgendetwas sinnvolles herauszulesen. Ich frage mich gerade auch, warum ich mir die Zeit genommen habe. Aber letzten Endes hat er wahrscheinlich bekommen, was er wollte: Experten haben sich mit seiner Sache befasst. Dass sie zum Schluss gekommen, dass seine Entdeckungen unwichtig sind, passt ihm sicher nicht. Mir ist auch rätselhaft, wie er von einem neuen Kapitel der Zahlentheorie sprechen kann. Wenn das ein neues Kapitel ist, was sind dann richtige Entdeckungen, Revolutionen, neue Zeitalter ein neuer Urknall. Aber irgendwie bewundere ich seine Hartnäckigkeit.

Also, lasst den Mann doch in Frieden. Wer sich gestört fühlt, kann ihn ja ignorieren.

@Gerhard

Behalte mal deinen Usernamen!!!

Gruß
Fornax



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np_complete
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Nachricht der Fairness halber gelöscht.




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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.116, eingetragen 2018-10-13 22:02


Herzlichen Glückwunsch querin, du hast es namentlich auf die Löfflerpage geschafft. cool

Warnung: Löffler hat einen Link zum Urheberrecht auf seiner Page, also klaut ihm bloß keine geistigen Eigentümer!  mad  Er allein ist der (Er)Finder der Primsummanden, die "...vermutlich das Geheimnis der Primzahlen und die Regel ihrer Abfolge enthalten*." eek


Nachtrag: Es wurden bereits einzelne Primsummanden in Buchstabensuppen gefunden. Das Auslöffeln und zur Schau stellen dieser Zahlen ist den Konsumenten strengstens untersagt.



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Fornax
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.117, eingetragen 2018-10-13 23:14


Ich habe eine Literaturempfehlung für Herrn Löffler.

Elementare Zahlentheorie: Ein sanfter Einstieg in die höhere Mathematik

Ich habe den Autor in seinem ersten Jahr als Professor kennen gelernt und fand seine Skripte immer sehr gut. Eigentlich wollte ich hier sein Skript verlinken, aber er hat nun ein Buch daraus gemacht und das Copyright für sein Skript liegt vermutlich auch bei Springer.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.118, eingetragen 2018-10-14 00:45

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2018-10-13 13:27 - querin in Beitrag No. 111 schreibt:

Eine Bemerkung zur Seltenheit der "Pseudo-Primzahlen" dieser Folge:

Es gibt 75 zusammengetzte Zahlen $z<100000$, die $n_z$ oder $n_{z-2}$ teilen.

Ich habe da 77 gezählt, nämlich folgende

209, 455, 901, 923, 989, 1295, 2015, 2639, 2701, 2911, 3007, 3439, 4823, 5719, 6061, 6767, 6989, 7421, 9503, 9869, 10439, 10609, 11041, 13133, 13529, 14701, 14839, 15505, 15841, 18721, 18817, 19981, 20705, 22577, 22967, 23579, 24553, 25201, 27599, 29051, 29341, 29681, 30739, 31535, 33337, 34103, 37259, 39455, 40321, 43621, 44743, 46657, 49141, 50369, 50959, 51409, 54119, 55277, 55981, 57239, 58879, 63545, 64285, 64297, 65773, 66901, 67199, 72389, 73555, 80189, 82697, 84419, 87815, 88561, 90133, 94393, 94535

Allerdings sollte man die Bedingung für "pseudoprim" etwas enger fassen, indem man zusätzlich die folgende Fallunterscheidung betrachtet (s. #109):

Gilt $p=6\ell\pm1\in\mathbb P$ mit einem ungeraden $\ell$, so tritt der Fall $p\mid n_p$ ein, ist hierin aber $\ell$ gerade, so der Fall $p\mid n_{p-2}$.

Wenn man das macht, dann bleiben nur mehr die folgenden 55 Pseudoprimzahlen unter 100000 übrig:

209, 901, 989, 2701, 2911, 3007, 3439, 5719, 6061, 6767, 6989, 9869, 10609, 11041, 13133, 13529, 14701, 14839, 15505, 15841, 18721, 18817, 19981, 20705, 22577, 24553, 25201, 29051, 29341, 29681, 30739, 33337, 34103, 40321, 43621, 44743, 46657, 49141, 50369, 50959, 51409, 55277, 55981, 58879, 63545, 64285, 64297, 65773, 66901, 72389, 80189, 82697, 88561, 90133, 94393

PS: Was einige andere und teilweise doch seltsam aggressive Wortmeldungen in diesem Thread betrifft, so betrachte ich diese eigentlich mit großem Unbehagen und auch Verständnislosigkeit, da - neben sagen wir einigem "Unausgegorenem" - ja durchaus auch einige zahlentheoretische und für einen Hobbymathematiker bemerkenswerte Beobachtungen dabei sind - als Beispiel jetzt nur den oben offenbar empirisch gefundenen zitierte Satz - die nicht so ganz trivial sind und auch durchaus Sinn machen.
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MurphyX
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2018-10-13 21:13 - Fornax in Beitrag No. 114 schreibt:
Ich frage mich gerade auch, warum ich mir die Zeit genommen habe.
Behalte mal deinen Usernamen!!!

Danke für Deine positiven Worte, Fornax! Leider verlierst auch Du Dich in Spekulationen bezüglich meiner Absichten. "Mein" Algorithmus ist genauso interessant wie die Perrin-Folge: Sie steht im Zusammenhang mit Primzahlen. Deshalb rede ich von einem neuen Kapitel in der Zahlentheorie.

Warum Du Dir Zeit genommen hast für meinen "Blödsinn"?
Ganz einfach: Du hast intuitiv gespürt, dass an der Sache etwas dran ist, auch wenn ich mich "idiotisch" aufgeführt habe.

Dass ich meinen Usernamen mehrmals geändert habe, hat nichts damit zu tun, dass ich Euch täuschen wollte. Ich bin mehrmals ausgestiegen, weil mir der Ton hier zu ruppig war. Jedes Mal habe ich dann meine Zugangsdaten gelöscht. Es war mir zu blöd, diese zu reaktivieren. Deshalb habe ich mich einfach jedes Mal wieder neu registriert.



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