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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Normkonvergenz und punktweise Konvergenz
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Universität/Hochschule Normkonvergenz und punktweise Konvergenz
Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-12 16:48


Halli hallo,

ich suche ein möglichst einfaches Beispiel für die Aussage


"Normkonvergenz impliziert keine punktweise Konvergenz"

Hat jemand eins?


GlG



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Carmageddon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-12 16:54


Hallo!

Spontane Idee: Nehme eine Dreiecksfunktion auf einem endlichen eindimensionalen Intervall und lasse dieses immer von rechts nach links und wieder zurückwandern. Die Norm sollte immer gleich bleiben, aber es liegt keine punktweise Konvergenz (im <math>L^\infty</math>-Sinne) vor.


lg


-----------------
Zitat: "Es gibt einen Beweis aus der Physik: Er ist kurz, er ist elegant... und falsch"



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-10-12 17:49

\(\begingroup\)
Ich bin mir sicher, dass Polar_regen nicht die Konvergenz DER Normen meint, sondern Konvergenz IN der Norm.

Konstruiere dir eine Funktionenfolge \(f_n:[0,1] \to \mathbb{R}\) etwa so:
\(f_1= 1_{[0,\frac{1}{2}]}\), \(f_2= 1_{[\frac{1}{2}, 1]}\),
\(f_3= 1_{[0,\frac{1}{4}]}\), \(f_4= 1_{[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]}\)...
sobald du mit dem Vierteln des Intervalls \([0,1]\) fertig bist, beginnst du mit dem Achteln des Intervalls usw.
So erhältst du eine Funktionenfolge, die in \(L^1(0,1)\) konvergiert, aber offenbar nicht punktweise f.ü.
(Allerdings kann man auch recht leicht sehen, dass man sich eine Teilfolge auswählen kann, die f.ü. konvergiert, was ja möglich sein muss, wie wir wissen).
\(\endgroup\)


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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-12 18:04

\(\begingroup\)
okay pardon,
ich muss mich konkreter ausdrücken.

Es geht um folgendes Beispiel:

Aussage: Es gibt keine Norm auf \(C(\mathbb{R}):=\{f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{K}: f \text{stetig}\}\) für die gilt:

\( ||f_n|| \rightarrow 0 \Rightarrow \forall_{x \in \mathbb{R}} f_n(x)\rightarrow 0 \)


Den Beweis, warum das so ist habe ich.

Aber ich  wünsche mir ein Beispiel, dass die Aussage illustriert..bzw. ein Gegenbeispiel

Oder viellt einfach eine Erklärung, warum wir sowas überhaupt beweisen...bei anderen Mengen gilt wohl die Implikation, aber bei welchen?

GlG
\(\endgroup\)


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maxpower1984
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-10-12 18:07


Die Folge

fed-Code einblenden

konvergiert Punktweise. Sie kann aber nicht gleichmäßig, d.h. in der Supremumsnorm konvergieren, da die Grenzfunktion nicht stetig ist. Ist meines Erachtens ein Standardbeispiel.

LG Stephan

edit
Habe gerade gemerkt, dass du eigentlich ein Beispiel für die andere Richtung suchst. Sorry.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-12 21:13


Danke für das Beispiel maxpower1984.

Könnte man also sagen, dass es KEINE Norm für C(R) gibt, sodass aus der Normkonvergenz die punktweise Konvergenz folgt, weil viele Grenzfunktionen nicht stetig sind?


GlG



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-10-12 22:05

\(\begingroup\)
Natürlich nicht, wenn für eine Norm \( \|f_n\| \to 0\) gilt, so ist das Grenzelement das Nullelement, und die konstante Nullfunktion ist offenbar stetig.

Mich würde der Beweis mal interessieren. Es scheint auch gar nicht so einfach zu sein, mal eine Norm für \(\mathcal{C}(\mathbb{R})\) überhaupt hinzuschreiben, bei meiner Recherche der letzten 10 Minuten habe ich kein konkretes Beispiel gefunden, im Gegenteil, lediglich ein paar Behauptungen, man könnte nicht mal explizit eine Norm hinschreiben.
\(\endgroup\)


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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-13 00:20

\(\begingroup\)
Es ist ein Widerspruchsbeweis

Mann sagt \(|f(a)| \le k_a ||f||\) gelte nicht.

Dann ex. ein \(a_0\)  sodass es ein f' gibt aus \(C(\mathbb{R})\) gibt mit |f'(a_0)| > n ||f'||

Dann definiert man \(f_n:=  \frac{1 f'}{n ||f'||}\) bildet davon die Norm, die onvergiet gegen 0 für n gegen unendlich  aber |f(a_0)| > 1

Widerspruch
\(\endgroup\)


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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-13 00:36

\(\begingroup\)
Dann wählt man für \(f \in C(\mathbb{R})\) mit f(a) > k_a a

Dann gilt

\(+  \infty > ||f|| \ge |f(a)| \ k_a > a \rightarrow \infty\)

Widerspruch

Es kann also keine solche Norm geben
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-10-13 23:00

\(\begingroup\)
2018-10-13 00:20 - Polar_regen in Beitrag No. 7 schreibt:
Es ist ein Widerspruchsbeweis

Mann sagt \(|f(a)| \le k_a ||f||\) gelte nicht.


Für welche \(a\)? Welche \(k_a\)? Welche \(f\)?

Vermutlich meinst du die Aussage:
Für alle \(a \in \mathbb{R}\) existiert ein \(k_a>0\), sodass für alle \(f \in \mathcal{C}(\mathbb{R})\) gilt:
\(|f(a)| \le k_a ||f||\). (Die Aussage bezeichne ich von nun an mit (*) )

Also: unter der Widerspruchsannahme, es existiere eine Norm \(\| \cdot \|\) auf \(\mathcal{C}(\mathbb{R})\), sodass gilt:
\(\|f_n\| \to 0\) \(\Rightarrow\) Für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt \(f_n(x) \to 0\),
gilt tatsächlich die Aussage (*).

Okay, aber wie bekommst du dann den Widerspruch? Dein Beitrag No.8 ergibt mMn keinen Sinn. Wo kommt plötzlich die Abschätzung \(f(a) > k_a a\) her?

Im Gegenteil, aus Aussage (*) folgt doch direkt die Widerspruchsannahme, man kann also kaum erwarten, daraus einen Widerspruch konstruieren zu können.
\(\endgroup\)


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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-14 01:00


Hallo Kampfnudel,

ich bin immer noch dabei, die Aussagen zu verstehen und zu üben
Ich habe den Beweis nicht konstruiert, daher kann ich dir bei deiner Frage derzeit noch nicht weiterhelfen.
Evtl. weiß ja jemand anders ein Antwort.

GlG



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-10-14 18:14

\(\begingroup\)
Dank MeWi hab ich jetzt verstanden, was da passiert und ich nehme meine Behauptung, dein Beitrag No.8 mache keinen Sinn, zurück. Man versucht gar nicht direkt einen Widerspruch zur Widerspruchsannahme zu konstruieren, sondern man konstruiert sich ein \(f \in \mathcal{C}(\mathbb{R})\), dass \(\|f \|=+ \infty\) erfüllen müsste (was dann ja ein Widerspruch zu der Tatsache wäre, dass alle \(f \in \mathcal{C}(\mathbb{R})\) endliche Norm haben müssen).

Okay, der Beweis scheint zu stimmen. Um jetzt deinem Wunsch aus Beitrag No.3 näher zu kommen, brauchen wir eine konkrete Norm von \(\mathcal{C}(\mathbb{R})\). Kennst du eine?
\(\endgroup\)


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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-14 19:23

\(\begingroup\)
Hallo Kampfnudel,

das freut mich, dass MeWi dir da geholfen hat und mir erklärt sein/ihr Hinweis auch ein wenig mehr.


Mhm also die bekannteste Norm für \(\mathbb{R}\) ist doch mit Betragsnorm:

\(|| \cdot||_{\infty}:= sup |f(x)|\)

oder? Können wir die nehmen?
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-10-15 13:07

\(\begingroup\)
Das ist ja der Witz, dass wir die Supremumsnorm nicht nehmen können. Betrachte etwa \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x)=x\). Dann ist
\(\sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)|= + \infty\).
Auf \(\mathbb{R}\) müssen stetige Funktionen nämlich nicht beschränkt sein, im Gegensatz zu stetigen Funktionen auf kompakten Intervallen. (Übrigens würde ja aus Konvergenz in der Supremumsnorm sofort die punktweise Konvergenz überall folgen, was ja dem von dir Gezeigten widersprechen würde)
Auch \(L^p\)-"Normen" gehen nicht, da dann die Norm von z.B. konstanten, von der Null verschiedenen Funktionen \(+ \infty\) sein müsste.

In welchem Zusammenhang bist du überhaupt auf diese Fragestellung gestoßen?
\(\endgroup\)


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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-15 20:54

\(\begingroup\)
Okay, dann nehmen wir doch
 \((C\mathbb{R})\) mit folgender Norm

Für \(K=[-k,k]\)

\(||f||_k:= sup_{x \in K} |f(x)| = sup_{-k \le x \le k} |f(x)|\)


dies besagt ja, \(f_n \rightarrow f\) lokal gleichmäßig genau dann, wenn \(f_n \rightarrow f\) gleichmäßig auf allen kompakten Teilmengen von \(\mathbb{R}\)

Dann ist \(||\cdot||_1 < ||\cdot||_2<...\) eine wachsende Folge von Halbnormen


Und dann heißt es ja \((C\mathbb{R})\) ist metrisierbar....

was genau heißt denn metrisierbar?

Bzw habe ich die nicht \((C\mathbb{R})\) durch hinzufügen von \(||f||_k:= sup_{x \in K} |f(x)| = sup_{-k \le x \le k} |f(x)|\) metrisiert?
Weil es gilt ja dass \(d(x,y):=||x-y||\)...

Wie du/ihr merkt habe ich Probleme damit, die ganzen Definitionen iwie zusammen zubringen....

Es wäre schön, wenn ich mal ein konkretes Beispiel mit einer Funktion hätte, die ich plotten kann, wo ich die Konvergenz sehe, und wo ich die Norm sehe und das Supremum und evtl das wachsende System von Halbnormen



PS: kampfnudel was meinst du mit: In welchem Zusammenhang bin ich auf diese Fragestllung gestoßen?

Das steht als Anmerkung unter der Definition von Topologie. Viellt weil es darum geht, wie man aus einem metrischen Raum eine Topologie herstellt?

GlG
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-10-16 14:04

\(\begingroup\)
2018-10-15 20:54 - Polar_regen in Beitrag No. 14 schreibt:
Okay, dann nehmen wir doch
 \((C\mathbb{R})\) mit folgender Norm

Für \(K=[-k,k]\)

\(||f||_k:= sup_{x \in K} |f(x)| = sup_{-k \le x \le k} |f(x)|\)


dies besagt ja, \(f_n \rightarrow f\) lokal gleichmäßig genau dann, wenn \(f_n \rightarrow f\) gleichmäßig auf allen kompakten Teilmengen von \(\mathbb{R}\)


Zunächst mal: \(\| \cdot \|_k\) ist für festes \(k \in \mathbb{N}\) keine Norm, sondern wie du später richtig sagst "nur" eine Halbnorm.
Die Definition solcher Halbnormen besagt erstmal nichts. Was du meinst ist sicher:
\(f_n \rightarrow f\) lokal gleichmäßig genau dann, wenn \(\|f_n - f\|_k \to 0\) für alle \(k \in \mathbb{N}\).
Man kann also lokal gleichmäßige Konvergenz durch Konvergenz in all diesen Halbnormen ausdrücken.

2018-10-15 20:54 - Polar_regen in Beitrag No. 14 schreibt:

Dann ist \(||\cdot||_1 < ||\cdot||_2<...\) eine wachsende Folge von Halbnormen


Jap.

2018-10-15 20:54 - Polar_regen in Beitrag No. 14 schreibt:
Und dann heißt es ja \((C\mathbb{R})\) ist metrisierbar....

was genau heißt denn metrisierbar?

Bzw habe ich die nicht \((C\mathbb{R})\) durch hinzufügen von \(||f||_k:= sup_{x \in K} |f(x)| = sup_{-k \le x \le k} |f(x)|\) metrisiert?
Weil es gilt ja dass \(d(x,y):=||x-y||\)...


Ein topologischer Raum heißt metrisierbar, falls eine Metrik auf diesem Raum existiert, die die Topologie induziert.
In diesem Fall könnte man eine solche Metrik erzeugen, indem man
\(d(f,g)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} \cdot \frac{ \| f-g \|_k}{1+ \|f-g\|_k}\)
setzt. Beachte, dass diese Metrik keine Norm ist. Schau auch mal hier de.wikipedia.org/wiki/Metrisierbarer_lokalkonvexer_Raum

2018-10-15 20:54 - Polar_regen in Beitrag No. 14 schreibt:

Es wäre schön, wenn ich mal ein konkretes Beispiel mit einer Funktion hätte, die ich plotten kann, wo ich die Konvergenz sehe, und wo ich die Norm sehe und das Supremum und evtl das wachsende System von Halbnormen


Versuch dich doch mal an der Funktionenfolge \((f_n)_n\) definiert durch \(f_n(x)=(x+\frac{1}{n})^2\) und überprüfe von Hand, ob
- \(f_n\) lokal gleichmäßig konvergiert
- \(f_n\) gleichmäßig konvergiert.
- \(f_n\) bezüglich der obigen Metrik \(d\) konvergiert

2018-10-15 20:54 - Polar_regen in Beitrag No. 14 schreibt:

PS: kampfnudel was meinst du mit: In welchem Zusammenhang bin ich auf diese Fragestllung gestoßen?

Das steht als Anmerkung unter der Definition von Topologie. Viellt weil es darum geht, wie man aus einem metrischen Raum eine Topologie herstellt?

GlG

Damit habe ich gemeint, ob diese Fragestellung Teil einer Vorlesung oder Übung war, ob diese Fragestellung in einem Buch vorkommt oder ob du durch irgendwas selbst auf diese Fragestellung gekommen bist.
Ich würde jetzt man vermuten, dass sie in einem Buch vorkam?
\(\endgroup\)


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LeBtz
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Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-10-16 14:48


Hallo,

man siehe math.stackexchange.com/questions/198575/explicit-norm-on-mathcalc0-mathbbr-mathbbr

die Antwort ganz oben.

In den weiterführenden Links findet man eine nicht explizite Darstellung einer möglichen Norm:

Man nehme eine Hamelbasis <math>(b_i)_{i\in I}</math> des Vektorraums.
Ist dann <math>x = \sum_{i\in I}\lambda_i b_i</math>, so setzt man <math>\|x\| := \max_{i\in I}|\lambda_i|</math>.



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-16 16:32


Hallo Kampfnudel,

okay dann wende ich das gleich mal an deinem Beispiel an und poste dann meine Ergebnisse.


Die Fragestellung ist aus einem Skript

GlG



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-20 02:50


Hallo Kampfnudel,

sagt mir der Ausdruck

"fn→f lokal gleichmäßig genau dann, wenn ∥fn−f∥k→0 für alle k∈N."

dann, dass der Raum C(K), K kompakt vollständig ist?

GlG




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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kampfpudel
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Nein. Was hat das eine mit dem anderen zu tun?



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