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Funktionentheorie » Holomorphie » Existenz einer konvergenten Folge in einem Gebiet
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Universität/Hochschule Existenz einer konvergenten Folge in einem Gebiet
Arjihad
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Dabei seit: 09.06.2018
Mitteilungen: 3
  Themenstart: 2018-10-13

Hey ! Ich gucke mir gerade einen Beweis an, in dem es zwei Funktionen analytische Funktionen \(f,g : A \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) gibt, die das Gebiet \(A\) jeweils wieder in ein Gebiet abbilden. Dabei bildet \(g\) injektiv auf den Einheitskreis ab und \(f\) auf ein Gebiet \(G\) mit \(\mathbb{D} \subset G\) wobei \(\mathbb{D}\) der Einheitskreis sein soll. Es wird nun benutzt, dass man eine Folge \(d_n\) in \(g(A) = \mathbb{D}\) wählen kann mit \(\lim d_n = d \in \partial\mathbb{D}\) und \(\lim f(g^{-1}(d_n)) = g \in \partial G\). Wie kann man begründen, dass es eine solche Folge gibt?

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targon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-15

hi Arjihad, also nur daraus, dass \(g\) injektiv auf \(\mathbb{D}\) abbildet, folgt schonmal nicht, dass \(g(A) = \mathbb{D}\) gilt. Daher braucht man wohl weitere Voraussetzungen an die Funktionen. So wie es da steht, muss es so eine Folge nicht geben, betrachte z.B. \[A := \mathbb{D} , g \colon x \longmapsto \frac{1}{2} x\]Damit bildet \(g\) injektiv auf den Einheitskreis ab, ist analytisch und so weiter, aber du findest schon mal keine Folge in \(g(A)\) mit Limes \(d \in \partial \mathbb{D}\). Gruß Targon

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