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| Autor |
 Bestimmung aller komplexen Zahlen Im(z+1/z)=0 |
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Crono
Neu 
Dabei seit: 29.10.2018
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2018-10-29
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Hallo,
ich sitze gerade an einer Aufgabe fest und habe wirklich keine Idee, wie ich vorgehen soll.
\
Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z != 0, für welche gilt Im(z+1/z)= 0
Mein Gedanke wäre gewesen, für die z = a + ib einzusetzen, aber dann weiß ich nicht, wie ich die Gleichung umstellen muss um die komplexen Zahlen zu bestimmen.
Würde mich über einen Lösungsansatz freuen. Danke schon mal für die Hilfe.
Liebe Grüße
Crono
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3806
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-29
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Hi,
dann mach das doch erstmal. Welchen Imaginaerteil hat $1/z$, wenn $z=a+bi$ mit $a,b\in\mathbb{R}$ und $(a,b)\neq (0,0)$ ist?
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DerEinfaeltige
Senior 
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 3291
 | Beitrag No.2, eingetragen 2018-10-29
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Der Ansatz ist möglich.
Jetzt berechne $z + z^{-1}$ und bestimme den Imaginärteil.
Dann überlege, wann dieser 0 ergibt.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
Edit sagt:
In Polarkoordinaten geht es noch schneller und mit weniger Rechnung.
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Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2023
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-29
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Hey Crono und herzlich Willkommen!
Versuch mal, den Ausdruck \(z + \frac{1}{z}\) in Real- und Imaginärteil aufzuteilen, also in die Form \(x + iy\) für \(x,y \in \mathbb{R}\) zu bringen.
Der Term \(\frac{1}{z}\) ist hier offenbar das Problem, da dort (im Allgemeinen) ein imaginärer Anteil im Nenner steht, den wir irgendwie loswerden müssen.
Mit welcher (komplexen) Zahl kann man den Ausdruck \(\frac{1}{z}\) denn erweitern, damit im Nenner eine reelle Zahl steht?
Dazu ist es nicht zwingend notwendig, \(z\) als \(z=a + ib\) für \(a,b \in \mathbb{R}\) zu schreiben, das kannst du aber natürlich durchaus machen (je nachdem, wie du besser klar kommst).
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Crono
Neu
Dabei seit: 29.10.2018
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-29
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Danke für die flotten und netten Antworten!
\quoteon(2018-10-29 12:11 - ochen in Beitrag No. 1)
Hi,
dann mach das doch erstmal. Welchen Imaginaerteil hat $1/z$, wenn $z=a+bi$ mit $a,b\in\mathbb{R}$ und $(a,b)\neq (0,0)$ ist?
\quoteoff
\quoteon(2018-10-29 12:16 - Kampfpudel in Beitrag No. 3)
Der Term \(\frac{1}{z}\) ist hier offenbar das Problem, da dort (im Allgemeinen) ein imaginärer Anteil im Nenner steht, den wir irgendwie loswerden müssen.
Mit welcher (komplexen) Zahl kann man den Ausdruck \(\frac{1}{z}\) denn erweitern, damit im Nenner eine reelle Zahl steht?
Dazu ist es nicht zwingend notwendig, \(z\) als \(z=a + ib\) für \(a,b \in \mathbb{R}\) zu schreiben, das kannst du aber natürlich durchaus machen (je nachdem, wie du besser klar kommst).
\quoteoff
Ich habe mal versucht den Imaginärteil von 1/z zu ermitteln:
1/z
= (a+ib)*(a-ib)/(a-ib)
= (a-ib)/(a+ib)*(a-ib)
= (a-ib) / (a^2 + b^2)
z+1/z
= a+ib + (a-ib) / (a^2 + b^2)
= (a+ib * (a^2+b^2)) / (a^2 + b^2) + (a-ib) / (a^2 + b^2)
= (a^3+ib^3)/(a^2+b)+(a-ib)/(a^2+b^2)
= ((a^3+ib^3)+(a-ib))/(a^2 + b^2)
Ab hier weiß ich nicht weiter. Habe ja jetzt zwei i's im Zähler und krieg eins nicht mehr weg.
Oder muss ich erstmal nur das 1/z betrachten?
Da sähen Re und Im Anteil dann folgendermaßen aus?
Re(1/z)= a/(a^2 + b^2)
Im(1/z)= -(b/(a^2 + b^2))
Ich stehe jetzt aber wieder total auf dem Schlauch. War mein Ansatz falsch oder kann ich da jetzt doch irgendwie weiter machen?
\quoteon(2018-10-29 12:13 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 2)
Edit sagt:
In Polarkoordinaten geht es noch schneller und mit weniger Rechnung.
\quoteoff
Da müsste ich aber auch den Real und Imaginärteil vorher bestimmen, richtig?
Danke noch mal für die Hilfe.
Liebe Grüße
Crono
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DerEinfaeltige
Senior
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 3291
| Beitrag No.5, eingetragen 2018-10-29
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Beim Erweitern ist etwas schief gegangen.
Außerdem machst du dir das Leben dabei unnötig schwer.
In Polarkoordinaten ist es sehr leicht den Kehrwert zu bestimmen.
$Im(z+1/z)=Im(re^{i \phi} + r^{-1}e^{-i\phi})=Im(re^{i \phi})+Im(r^{-1}e^{-i \phi})=r \sin(\phi) + \dots$
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Ex_Senior
| Beitrag No.6, eingetragen 2018-10-29
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Wenn man $a+ib$ für $z$ oder ähnliches einsetzt wird die Rechnung meistens unelegant; und die Egebnisse mitunter nichtssagend bzw. schwer interpretierbar.
Stattdessen sollte man, soweit irgend möglich, mit allgemeinen Beziehungen arbeiten.
\
Im(z + 1/z) = 0 => z !=0
\stress UND \normal 0 = Im(z + 1/z) = Im(z) + Im(1/z)
=Im(z) + Im(z^\*/abs(z)^2)
=Im(z) - Im(z)/abs(z)^2 = Im(z)*(1 - 1/abs(z)^2)
= Im(z)*((abs(z)^2 - 1 )/(abs(z)^2)) = 0
=>
\stress (1)\normal Im(z) = 0 \and Re(z) !=0 (s.o.) \stress -> reele Achse mit Ursprung als Lücke
\stress ODER \normal
\stress (2)\normal |(abs(z)^2 - 1 )/(abs(z)^2) = 0
<=> abs(z)^2 = 1
<=> abs(z) = 1 \stress -> Kreis um Ursprung vom Radius 1
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
richard-os
Junior 
Dabei seit: 12.10.2018
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.7, eingetragen 2018-10-29
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Hallo,
ich würde so argumentieren:
Es gilt 1/z = z^-/(abs(z))^2 .
Im(z+1/z) verschwindet, wenn beide Summanden den entgegengesetzt gleichen Imaginärteil haben. Das geht dann und nur dann, wenn abs(z) = 1 ist.
mit freundlichen Grüßen
Richard
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Ex_Senior
| Beitrag No.8, eingetragen 2018-10-29
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Und das, erst jetzt angeschaut,
\quoteon(2018-10-29 18:52 - Crono in Beitrag No. 4)
= (a+ib * (a^2+b^2)) / (a^2 + b^2) + (a-ib) / (a^2 + b^2)
= (a^3+ib^3)/(a^2+b)+(a-ib)/(a^2+b^2)
\quoteoff
ist natürlich falsch, der Rest entsprechend auch.
Und einmal abgesehen vom o.g. fehlerhaften Schritt, zeigt #4, dass der Anfänger (wie fast immer...) alles was nur irgendwie ausmultiplizierbar ist, sofort zwanghaft ausmulitplizieren muss; was -meistens!- zusätzlich ungünstig ist...
Ich möchte eigentlich auf diesen Ansatz gar nicht eigehen, aus den in #6 genannten Gründen; aber wenn man richtig rechnet:
\
\stress \(Und typischerweise gibt es in der komplexen Ebene eine reelle x- und eine imaginäre y-Achse, also verwende ich auch diese Symbole!\)
(x+iy) + 1/(x+iy) = (x+iy) + (x-iy)/((x+iy)(x-iy)) = (x+iy) + (x-iy)/(x^2+y^2)
= ((x+iy)[x^2+y^2] + (x-iy))/(x^2 + y^2)
= ((x[x^2+y^2]+x) + i(y[x^2+y^2]-y))/([x^2 + y^2])
= (x + x/(x^2 + y^2)) + i (y - y/(x^2 + y^2))
Also: 0 = Im((x+iy) + 1/(x+iy)) = y(1-1/(x^2 + y^2)) => ...
Wenngleich richtig: War das jetzt wenig Rechenaufand? Nein...
War das jetzt elegant? Nein...
Nochmal: Nur weil diese Methode des 'x+iy'-Einsetzens überall vorgebetet wird (von Profis wie von Laien...), heißt das nicht, dass sie ein Optimum ist!
Ganz pauschal gesagt als Faustregel:
Man kennt die Lösungsmenge anfangs normalerweise nicht, aber wenn sich die Lösungmenge aus Kreisen, Strecken und Geraden zusammensetzt, dann kann man fast immer solche Gleichungen mit Hilfe allgemeiner Beziehungen für Realteil / Imaginärteil / Konjugate / Beträge lösen.
Erst wenn die Lösungsmenge aus komplizierteren Kurven wie z.B. Spiralen, Lemniskaten, Konchoiden usw. besteht (das kommt z.B. in der Übertragungstechnik vor), dann wird man üblicherweise x+iy ("gottseidank...") einsetzen müssen. Diese o.g. allgemeinen Beziehungen muss man dann dennoch wissen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.9, eingetragen 2018-10-29
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Eine Variante von cis Lösung aus No.6:
Für $z\not= 0$ gilt $\operatorname{Im}(z+\frac 1z) = 0$ genau dann, wenn $z+\frac 1z$ reell ist, was wiederum genau dann der Fall ist, wenn $z+\frac 1z$ gleich seinem komplex Konjugiertem ist, also genau dann wenn $z+\frac 1z = \overline{z+\frac 1z}$.
Durch ein bisschen Umstellen (beachte, dass $|z|^2= z\overline z$ und dass komplexe Konjugation ein Körperautomorphismus ist) kommt man zu $(1-|z|^2)(z-\overline z)= 0$, woran man die Lösungsmenge ablesen kann.
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