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| Autor |
  Möbiusabbildung - Einheitskreis auf obere Halbebene |
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leroxxx
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 02.06.2016
Mitteilungen: 120
 |  Themenstart: 2018-11-08
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Hallo liebe Community,
wir haben bei uns in der Uni das Thema Möbiustransformationen und Abbildungen und ich überlege gerade, wie man eine Möbiusabbildung findet, die den Einheitskreis auf die obere Halbebene abbildet. Wie geht man da vor?
Zudem hätte ich noch eine Verständnisfrage: Wieso benutzt man zum finden einer Abbildung des Einheitskreises auf die rechte Halbebene die Punkte:
\
i) -1 -> 0
ii) i -> i
iii) 1 -> \inf
Dabei ist mir folgendes klar:
i) -1 -> 0, da -1 außerhalb der Halbebene ist
ii) i -> i, da i bereits in der Halbebene ist
iii) Wieso wird aber 1 zu \inf?
Müsste ich für die Möbiusabbildung in die obere Halbebene folgende Punkte benutzen?
i) -i -> 1
ii) 1 -> \inf
iii) -1 -> 0?
Kann mir da jemand helfen? Vielen Dank vorab!
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9727
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-08
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Hallo,
vielleicht guckst du doch mal in ein Buch, wo das ausführlich erklärt ist.
man nimmt immer Punkte, mit denen man bequem rechnen kann, und es gibt unendlich viele Möglichkeiten, Punkte zu wählen.
Wally
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leroxxx
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 02.06.2016
Mitteilungen: 120
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08
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vielen Dank für die Rückmeldung. :)
Ich habe mich nochmal ein wenig damit beschäftigt und mir folgende Punkte gesucht:
f(-i)=0
f(1)=1
f(0)=i
Damit komme ich wenn ich alles einsetze und umstelle auf dei Möbiustransformation
\
f(z)=(z+i)/(i*z+1)
Kann man irgendwie leicht sehen, ob die Transformation wirklich den Einheitskreis in die obere Halbebene abbildet?
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-08
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Hi,
nein, es gibt leider keine Möglichkeit, so etwas schnell zu überprüfen. Generell benutzt man einfach das Vorgehen, mit dem solche Transformationen überhaupt erst konstruiert werden:
1. Möbiustransformationen bilden verallgemeinerte Kreislinien wieder auf solche ab. Insbesondere werden Ränder von Halbebenen wieder auf Geraden oder Kreise abgebildet.
2. Die Zusammenhangskomponenten, die durch die verallgemeinerte Kreislinie entstehen, werden auch wieder auf die Zusammenhangskomponenten des Bildes dieser Kreislinie abgebildet.
Ich würde also bei einer solchen Aufgabe immer wiefolgt vorgehen:
Suche dir 3 Punkte auf den Rändern der beiden Gebiete, sodass die Möbiustransformationen mit ihnen leicht zu konstruieren ist. Dann bilde die Punkte in gleicher Orientierung aufeinander ab (sonst bildest du nicht $G_1\to G_2$ ab, sondern unter Umständen $G_1\to \mathbb C\backslash G_2$). Fertig.
PS: Schaue dir mal die Cayley-Transformation an. Die ist in diesem Zusammenhang von unschätzbarem Wert. (Sie ist die inverse zu der hier gesuchten Transformation)
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9727
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-08
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Es gibt doch eine Möglichkeit.
Wenn man sicher ist, dass die Transformation die Kreislinie auf die reelle Achse abbildet, wird das Innere genau dann auf die obere Halbebene abgebildet, wenn das Bild der Null dort liegt, d.h. wenn der Imaginärteil des Bildes der Null positiv ist.
Wally
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
| Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-08
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\quoteon(2018-11-08 18:28 - Wally in Beitrag No. 4)
Es gibt doch eine Möglichkeit.
Wenn man sicher ist, dass die Transformation die Kreislinie auf die reelle Achse abbildet, wird das Innere genau dann auf die obere Halbebene abgebildet, wenn das Bild der Null dort liegt, d.h. wenn der Imaginärteil des Bildes der Null positiv ist.
Wally
\quoteoff
Ist das nicht absolut dasselbe wie das, das ich beschrieben habe? Wird Rand auf Rand schon mal passend abgebildet, gibt es für die Zusammenhangskomponenten ja nur zwei Möglichkeiten. Wenn die 0 (also ein Innerer Punkt) auf einen Punkt in der oberen Halbebene abgebildet wird, hat man die gewünschte Abbildung. Das ist doch aber äquivalent dazu, dass man die Randpunkte in derselben Orientierung ausgewählt hat.
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9727
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-08
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Hallo Bai,
natürlich ist das im Wesentlichen dasselbe. Was ich geschrieben habe, ist einfach eine schnelle Probe, ob man sich bei der Orientierung auch nicht vertan hat.
Wally
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Ex_Senior
| Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-08
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Hallo,
\quoteon(2018-11-08 16:55 - leroxxx in Beitrag No. 2)
Kann man irgendwie leicht sehen, ob die Transformation wirklich den Einheitskreis in die obere Halbebene abbildet?
\quoteoff
Ich kann zwar keinen mathematisch korrekten Nachweis liefern, aber mit einer Abbildung erkennt man zumindest, wenn es falsch ist; und deine Lösung erscheint richtig:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39392_konform.png
Das kleine Programm findet man unter https://mathematikalpha.de/konforme-abbildungen . Profiprogramme werden es natürlich schöner darstellen.
LG Steffen
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leroxxx
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 02.06.2016
Mitteilungen: 120
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09
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Das ist ein super Tipp! Vielen Dank dafür und für eure zahlreiche Unterstützung. :-)
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