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 Zeige mit Ungleichung von Bernoulli |
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DerLernende
Junior 
Dabei seit: 26.10.2018
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2018-11-11
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Hallöchen!
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Für beliebige b,r\el\ \IR mit b>1 existiert n\el\ \IN mit b^n>r.
Darunter der Hinweis: Benutzen sie die Ungleichung von Bernoulli.
Wenn man die Graphen für b^n für verschiedene n zeichnet sieht, sieht man sofort, dass das so stimmen muss. Die Sache ist nur die, dass wir zur Zeit noch keine Grenzwerte, Stetigkeit, Differenzierbarkeit usw. verwenden dürfen. Also bin ich fast dazu gezwungen die Aufgabe anders zu lösen, wie auch der Hinweis andeutet. Naja, (1+x)^n ist für x>0 eigentlich unser b^n. Jedoch weis ich nicht so recht wie ich die Ungleichung nun für die Aufgabe verwenden soll.
Das einzige, was mir in den Sinn kommen würde, wäre:
Man hat ja (1+x)^n>=1+nx für x>0. Wenn ich jetzt 1+nx>r für x>0 zeige, dann hab ich auch (1+x)^n>r und damit b^n>r gezeigt.
Aber wie genau zeigt man mathematisch, dass für (1+x)^n immer eine natürliche Zahl existiert, sodass (1+x)^n größer als eine reelle Zahl ist?
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DerLernende
Junior 
Dabei seit: 26.10.2018
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-11
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Wenn ich das ganze nun nach n umstelle, bekomme ich
n>(r-1)/x
Kann ich dann einfach behaupten, dass es immer ein größeres n gibt welches größer als der Bruch rechts ist und die Sache damit abschließen? Oder ist dass unzureichend?
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
hari01071983
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 16.10.2006
Mitteilungen: 611
Wohnort: Österreich
 | Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-11
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Die Aufgabe lautet in meinen Augen, finde ein passendes n für gegebenes b und r.
Da ihr die Ungleichung von Bernoulli benutzen sollt, würde ich folgenden Ansatz vorschlagen:
Beginne mit der Ungleichung von Bernoulli:
\[(1+x)^n \geq 1+nx \text{ für } x>0 \]
dadurch gilt auch die schwächere Bedingung:
\[ (1+x)^n> nx \text{ für } x>0 \]
wählt man nun:
\[b = 1+x , \ r = n\cdot x \quad \text{ für } b>1\] dann erhält man die gesuchte Ungleichung:
\[b^n>r \]
Nun berechnet man ein n indem man nach n umformt.
D.h. man erhält \(x = b-1\) (da \(b > 1\) ist, ist \(x > 0\) noch immer erfüllt, diese Bedingung ist wichtig weil sonst würde die Bernoulli Ungleichung nicht mehr gelten) dann setzt man \(x\)in die zweite Gleichung (\(r = n\cdot x\)) ein und erhält \[ r = (b-1) \cdot n \ \Rightarrow \ n = \frac{r}{b-1} \quad \text{ (da b > 1, ist b-1 sicher nicht 0, die Division ist daher erlaubt )}\]
Da einen natürliche Zahl gesucht ist, sollten wir den Quotienten noch zusätzlich aufrunden.
\[ n = \lceil \frac{r}{b-1} \rceil \]
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2023-09-30 16:09 U <
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