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 n-te Wurzel aus n: Ungleichung lösen |
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pluto123
Neu 
Dabei seit: 15.11.2018
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2018-11-15
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Hallo zusammen,
ich hänge im Moment bei einer Aufgabe in welcher ich nicht weiter komme. Ich habe auch schon im Forum gesucht, aber obwohl die Aufgaben alle sehr ähnlich waren, war für mich nicht der entscheidende Tipp dabei.
Es geht um folgendes:
\Zeige $$root(n,n) <= 1 + 2/root(n) für n\el\ \IN
Ich habe das ganze schon umgestellt zu
n <= (1+2/root(n))^n
Nun stehe ich allerdings völlig auf dem Schlauch.
Wenn ich das ganze mittels Binomialformel auflöse komme ich irgendwie auch nicht auf einen grünen Zweig...
Die Bernoulische Ungleichung hilft mir leider auch nicht weiter.
Wäre sehr dankbar für jeden Tipp!
lg
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-15
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Huhu pluto123,
herzlich willkommen auf dem Planeten!
\quoteon(2018-11-15 18:09 - pluto123 im Themenstart)
Wenn ich das ganze mittels Binomialformel auflöse komme ich irgendwie auch nicht auf einen grünen Zweig...
\quoteoff
Doch! Mit geeigneter Abschätzung kommst du damit gut durch. Probiere es mal.
Gruß,
Küstenkind
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pluto123
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Dabei seit: 15.11.2018
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-15
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Ich probier es mal:
ich habe dann ja folgendes
\
n <= sum((n;k),k=0,n) 1^(n-k) (2/root(n))^k
den Faktor 1^(n-k) kann ich dann ja streichen und mir bleibt
n <= sum((n;k),k=0,n) (2/root(n))^k
Aber wie schätze ich das ganze nun ab?
(n;0) = 1 und (n;1) = n
Betrachte ich nur die ersten beiden Glieder kann ich ja immer noch nicht sagen, dass es größer ist, oder? Und über die gesamte Summe eine Aussage zu treffen fällt mir im Moment auch schwer
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-15
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Wie lauten denn die ersten 3 Glieder?
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pluto123
Neu
Dabei seit: 15.11.2018
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-15
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\
Das wäre dann
1 + 2n/root(n) + (n (n-1))/2 4/n
vereinfacht ist das
2n + 2n/root(n) - 1
und daraus kann ich dann ja schließen, dass es zumindest ab n=3 gilt, oder?
Aber auf die Fälle n = 1,2 komme ich leider immer noch nicht :-?
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-15
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Verstehe ich nicht. Du kannst den mittleren Teil sogar noch wegschmeißen. Dann steht da:
\(2n-1\geq n\iff n\geq 1\)
Oder:
\(\displaystyle \left(1+\frac{2}{\sqrt{n}}\right)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(\frac{2}{\sqrt{n}}\right)^k>1+\binom{n}{2} \frac{4}{n}>1+\frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{2}{n}=1+n-1=n\)
Gruß,
Küstenkind
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pluto123
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Dabei seit: 15.11.2018
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-15
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Vielen Dank auf jeden Fall, jetzt hab ichs verstanden!
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