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| Autor |
 Bruch komplexer Zahlen mit Potenzen |
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X3nion
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
 |  Themenstart: 2018-11-16
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Hallo zusammen!
Folgender Term soll vereinfacht werden:
$\frac{(1+i)^{36}}{(1-i)^{19}}$
Wie könnte man dies machen, habt ihr einen zielführenden Ansatz?
Polarkoordinaten sowie Euler'sche Formel dürfen nicht verwendet werden.
Für jede Antwort wäre ich wie immer sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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PrinzessinEinhorn
Senior 
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-16
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Hallo,
hast du schon mal ein paar Potenzen von $(i+1)$ und $(1-i)$ ausgerechnet?
Vielleicht gibt es ein Muster.
Denn die Potenzen von $i$ wiederholen sich.
$i^1=i$
$i^2=-1$
$i^3=-i$
$i^4=1$
$i^5=i$
usw.
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Physics
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 398
 | Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-16
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Eventuell indem du es mit dem Komplex-konjugierten des Nenners also \((1+i)^{19}\) erweiterst. Dann kommt zumindest im Nenner schon mal was relles bei raus. Dann hast nur noch den Zähler zu bearbeiten. Hier würde dann evtl. eine Vereinfachung wie \(((1+i)^x)^y\)weiterhelfen, wobei x,y eben eine sinnvolle Faktorisierung des Exponenten darstellt.
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X3nion
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-16
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$(1+i)^{2} = 2i$
$(1+i)^{3} = -2-2i$
$(1+i)^{4} = -4$
$(1+i)^{5} = -4-4i$
$(1+i)^{6} = -8i$
$(1+i)^{7} = 8-8i$
$(1+i)^{8} = 16$
$(1+i)^{9} = 16+16i$
$(1+i)^{10} = 32i$
.....
$(1-i)^{2} = -2i$
$(1-i)^{3} = -2 -2i$
$(1-i)^{4} = -4$
$(1-i)^{5} = -4+4i$
$(1-i)^{6} = 8i$
$(1-i)^{7} = 8+8i$
$(1-i)^{8} = 16$
$(1-i)^{9} = 16-16i$
Die Vermutung ist, dass $(1+i)^{4k}, k \in \IN = (1-i)^{4k}, k \in \IN$.
Damit könnte man ja den Bruch reduzieren oder?
Aber die Aussage müsste man ja erst einmal beweisen oder?
Viele Grüße,
X3nion
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-16
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Du hättest jeweils nach der vierten Potenz stoppen können.
Da dies Konstant ist. Daher leicht zu potenzieren.
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Ex_Senior
| Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-16
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\quoteon(2018-11-16 15:40 - X3nion im Themenstart)
Folgender Term soll vereinfacht werden:
$\displaystyle \frac{(1+i)^{36}}{(1-i)^{19}}$
Wie könnte man dies machen, habt ihr einen zielführenden Ansatz?
Polarkoordinaten sowie Euler'sche Formel dürfen nicht verwendet werden.
\quoteoff
Ich vermute, dass man das irgendwie so machen soll, wie in #3 geschildert und davon auf eine allgemeine Regel schließen soll. Die Frage ist nur, wie man die Potenzen einfach ausrechnet (in #3), d.h. ohne Rückgriff auf Polarkoordinaten. Ausmultiplizieren ist evtl. ähnlich mühseelig wie das Folgende.
Ich kann mal schildern, was da dahintersteckt; weil ich das für einen Artikel schonmal ausgerechnet habe.
Wenn die einfachen Wege nicht erlaubt sind, dann geht es prinzipiell darum, den binomischen Lehrsatz $\displaystyle
\big(x + y\big)^n
= \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k $ auf komplexe Binome zu verallgemeinern, und zwar nicht einfach nur $y$ durch eine imaginäre Zahl ersetzen und hinschreiben, sondern tatsächlich ein Ergebnis zu erhalten, das wieder die Gestalt $
\Re[*]+i\Im[*]$ hat.
Das wird selten gemacht, weil das Ergebnis nicht intuitiv ist und die entstehenden Ausdrücke aufwendig sind.
$\displaystyle
\big(a + i b\big)^n
= \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k i^k
$
$i^k$ ist genau dann rein-reell, wenn $k$ gerade ist, also
$
i^{4k} = 1,~ i^{4k+1} = i,~ i^{4k+2} = -1,~ i^{4k+3} = -i
$ bzw. $
i^{2k} =(-1)^k,~ i^{2k+1} =(-1)^k i$.
$\Rightarrow$ Aufteilung der Summe in gerade und ungerade Indizes, d.h. Substitution $k = 2p$ bzw. $k = 2q+1$:
$\displaystyle
\begin{align*}
\big(a + i b\big)^n
&=
\sum\limits_{p=0}^P i^{2p} \binom{n}{2p} a^{n-2p} b^{2p}
~+~
\sum\limits_{q=0}^Q i^{2q+1} \binom{n}{2q+1} a^{n-2q-1} b^{2q+1} \\
&=
\sum\limits_{p=0}^P (-1)^p \binom{n}{2p} a^{n-2p} b^{2p}
~+~
i \cdot \sum\limits_{q=0}^Q (-1)^{q} \binom{n}{2q+1} a^{n-2q-1} b^{2q+1}
\end{align*}
$
- Größter Index $P$ von $p$
· Falls $n$ gerade $\Rightarrow$ $
2p = n ~\Rightarrow~
p = \frac{n}{2}
= \left\lfloor \frac{n}{2}} \right\rfloor
$
· Falls $n$ ungerade $\Rightarrow$ $
2p = n-1 ~\Rightarrow~
p = \frac{n-1}{2}
= \left\lfloor \frac{n}{2}} \right\rfloor
$
$\displaystyle \Rightarrow~ P = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor
$
- Größter Index $Q$ von $q$
· Falls $n$ gerade $\Rightarrow$ $
2q+1 = n-1 ~\Rightarrow~
q = \frac{n-2}{2}
= \left\lfloor \frac{n-1}{2}} \right\rfloor
$
· Falls $n$ ungerade $\Rightarrow$ $
2q+1 = n ~\Rightarrow~
q = \frac{n-1}{2}
= \left\lfloor \frac{n-1}{2}} \right\rfloor
$
$\displaystyle \Rightarrow~ Q = \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor
$
Da $\left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor
=
\begin{cases}
\frac{m}{2}, & \text{falls }m\text{ gerade}\\
\frac{m-1}{2}, & \text{falls }m\text{ ungerade}
\end{cases}
$ gilt.
$\displaystyle \Rightarrow~
\big(a + i b\big)^n
=
\sum\limits_{p=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
(-1)^p \binom{n}{2p} a^{n-2p} b^{2p}
~+~
i \cdot \sum\limits_{q=0}^\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
(-1)^{q} \binom{n}{2q+1} a^{n-2q-1} b^{2q+1}
$
Hier sind $a$ und $b$ bis auf das Vorzeichen gleich $1$. Aber für die verbleibenden Summen habe ich gerade keine Vereinfachung parat.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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X3nion
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-16
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Edit: Antwort im nächsten Post
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-16
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\quoteon(2018-11-16 17:40 - cis in Beitrag No. 5)
Die Frage ist nur, wie man die Potenzen einfach ausrechnet, d.h. ohne Rückgriff auf Polarkoordinaten.
\quoteoff
Mit dem Potenzgesetz? \((1+i)^{36}=(1+i)^{2\cdot 2\cdot 9}=\left(\left(\left(1+i\right)^2\right)^2\right)^9\)
Wenn man den Bruch noch einmal erweitert ist das ein Einzeiler.
Den Rest von deinem Beitrag habe ich nicht mehr gelesen.
Küstenkind
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Ex_Senior
| Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-16
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\quoteon(2018-11-16 17:53 - Kuestenkind in Beitrag No. 7)
a. Mit dem Potenzgesetz?
b. Wenn man den Bruch noch einmal erweitert ist das ein Einzeiler.
c. Den Rest von deinem Beitrag habe ich nicht mehr gelesen.
\quoteoff
a. Trotzdem (zu)viel zu rechnen, wenig zu überlegen.
(Also ich meinte diesen Weg #3).
b. Mich interessiert eben bei solchen Aufgaben wie man das im Allgemeinen macht.
c. Wenn Dich das nicht interessiert (nur die einmalige Lösung für irgendeinen einmaligen Futzel), brauchst du auch nicht weiterlesen.
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| X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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