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 Komplexe Nullstellen eines Polynoms |
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AnyKairi
Junior 
Dabei seit: 17.11.2018
Mitteilungen: 7
 |  Themenstart: 2018-11-17
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Guten Abend (eigentlich ja Nacht aber egal)
ich bin in meinem ersten Semester an der Uni und habe ein kleines Problem mir einer HM-Übung.
und zwar haben wir das Polynom X hoch 2 + aX + b gegeben (wobei a und b komplexe Zahlen sind) und sollen davon sämtliche komplexe Nullstellen berechnen.
Ich weiß einfach nicht so richtig wie ich da starten soll, da a und b nicht konkret angegeben sind.
Ich habe schon versucht den Linearfaktor (X+b) oder (X-b) abzuspalten durch Polymondivision und habe auch aus Verzweiflung die Mitternachtsformel einfach mal angewendet. Aber leider hat mich beides nicht wirklich weit gebracht.
Würde mich freuen, wenn mir jemand mit dieser Aufgabe helfen kann.
Mit freundlichen Grüßen
Kairi
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PrinzessinEinhorn
Senior 
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-17
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Hallo,
\quoteon
Ich habe schon versucht den Linearfaktor (X+b) oder (X-b) abzuspalten durch Polymondivision
\quoteoff
Das ist eigentlich nur sinnvoll, wenn b oder -b eine Nullstelle des Polynoms ist.
Das ist aber im allgemeinen nicht so.
\quoteon
aus Verzweiflung die Mitternachtsformel einfach mal angewendet
\quoteoff
Das funktioniert.
Zeig mal, wie du das machst.
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AnyKairi
Junior
Dabei seit: 17.11.2018
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-18
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wenn ich das mache habe ich ja: (-a+-sqrt(b^2-4b))/2.
kann ich das dann noch irgendwie vereinfachen oder ist das alles?
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-18
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Wenn du über a und b nicht mehr weißt, dann wüsste ich nicht, was da noch zu tun wäre.
Aber dann ist die Aufgabe irgendwie nicht so sinnvoll.
Gibt es da noch irgendwas in der Aufgabenstellung?
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AnyKairi
Junior
Dabei seit: 17.11.2018
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-18
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Die Aufgabe lautet: "Geben Sie sämtliche komplexen Nullstellen eines Polynoms x^2 + ax+b
mit a,b\el\ \IC
an und berechnen sie anschließend die Nullstellen des komplexen Polynoms 5x^3+9x^2-17x+3
"
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-18
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Vielleicht ist die eigentliche Aufgabe sich die Mitternachtsformel selber herzuleiten.
Also mit einer quadratischen Ergänzung zu arbeiten.
Interessanterweise hat das angegebene Polynom nur reelle Nullstellen.
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-18
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Hallo,
das schaffst du - erst eine Nullstelle raten, dann Polynomdivision und dann die Mitternachtsformel.
Wally
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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AnyKairi
Junior
Dabei seit: 17.11.2018
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-18
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Und wie komm ich auf die Nullstelle? weil wir haben nur gelernt dass sie ein Teiler von dem x^0 wert sein muss. Also in dem fall b,-b,1,-1 aber iwie ergibt nichts davon sinn
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-18
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Doch, die Teiler des Absolutgliedes zu prüfen ist genau richtig.
Du musst dich verrechnet haben. Ich habe das schon ausgerechnet.
Diese Methode funktioniert übrigens nicht immer.
Eine Nullstelle ist also nicht immer Teiler vom Absolutglied.
Edit: Oder bist du immer noch bei der ersten Aufgabe, weil du $b$ schreibst? Ich dachte du bist schon bei der zweiten.
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AnyKairi
Junior
Dabei seit: 17.11.2018
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-18
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ja den zweiten teil habe ich schon.
ich dachte ihr schreibt noch zu dem ersten. aber scheinbar reicht das dann als Antwort (also der Bruch der nach der mnf rauskommt)
Vielen Dank
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.10, eingetragen 2018-11-19
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Wenn man die Mitternachtsformel voraussetzt, dann schon.
Ohne Mitternachtsformel würde es so gehen.
$x^2+ax+b=0$ jetzt quadratisch ergänzen:
$\underbrace{x^2+ax+\left(\frac{a}{2}\right)^2}_{\text{binomische Formel}}-\left(\frac{a}{2}\right)^2+b=0$
$(x+\frac{a}{2})^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2+b=0$
$(x+\frac{a}{2})^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2-b$
Wurzelziehen, dabei Beträge nicht vergessen.
$|x+\frac{a}{2}|=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2-b}$
Nun den Betrag auflösen, daher die zwei Fälle unterscheiden und man erhält das gleiche Ergebnis.
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sulky
Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1964
| Beitrag No.11, eingetragen 2018-11-19
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Hallo AnyKairi,
Den Fedgeo hast du offensichtlich erkannt.
Aber kennst du auch Latex?
wenn du x^2 + ax + c zwischen zwei Dollarzeichen schreibst, dann sieht das so aus: $x^2 + ax + c$
Gewöhne dir doch besser gleich zu studienbeginn Latex an. Du musst das nicht speziell lernen. ist mehr ein gewöhnen und Zeichen um Zeichen dazu lernen.
Bezüglich deiner Frage schreibe ich deswegen nichts weil du schon so viele
gut Antworten erhalten hast.
Gruss Sulky
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AnyKairi
Junior
Dabei seit: 17.11.2018
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-19
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Ok, vielen Dank euch allen :)
(Guter tipp auch mit Latex, werd ich mir angewöhnen)
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
DerEinfaeltige
Senior 
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 3291
 | Beitrag No.13, eingetragen 2018-11-19
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Anmerkungen:
Der letzte Schritt von PrinzessinEinhorn ist ein wenig informell.
Der Betrag sollte hier auf diese Weise nicht verwendet werden.
Links stünde ja eine positive reelle und rechts eine komplexe Zahl. Die Gleichheit wäre nicht gewährleistet.
Die klassische Schreibweise mit $\pm$ oder Fallunterscheidung sollte unproblematisch sein.
Außerdem ist es im Komplexen klarer, statt der Wurzel die gebrochene Potenz $()^\frac{1}{2}$ zu benutzen, da die übliche Definition der komplexen Quadratwurzel entgegen der reellen nicht eindeutig ist.
Mögliche Schreibweise:
$x_1 = \frac{1}{2}((a^2-4b)^\frac{1}{2}-a)$
$x_2 = -\frac{1}{2}((a^2-4b)^\frac{1}{2}+a)$
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.14, eingetragen 2018-11-19
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Danke für die Richtigstellung.
Werde ich mir merken.
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