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Analysis » Topologie » Häufungspunkte
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Universität/Hochschule Häufungspunkte
Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-19


Ich soll folgende Aussage beweisen.
Für eine Menge X Teilmenge des R^n sind folgende Aussagen äquivalent
a) X ist diskret, also abgeschlossen ohne Häufungspunkte
b) Jeder Punkt von X ist ein isolierter Punkt
c) Für jede kompakte Menge Y teilmenge des R^n ist Y geschnitten X endlich.

Kann mir jemand sagen wie ich hier mit dem Beweis beginnen muss?



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supermonkey
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-19

\(\begingroup\)
Wie immer bietet sich ein Ringschluss a->b->c->a an. Das ist aber wie immer nur die Methode, mit der man am wenigsten Implikationen zeigen muss. Unter Umständen ist es leichter eine andere Methode zu wählen, wie etwa a<->b, b<->c, wenn man Probleme hat c->a zu zeigen.
Meiner Erfahrung nach gibt es aber bei jeder Methode immer eine "harte" Stelle, die einfach durch die Natur der Problemstellung gegeben ist und die man in den meisten Fällen nicht durch eine andere Methode umgehen kann.

Wir versuchen den Ringschluss.

Um von a nach b zu kommen, musst du zeigen, dass für jeden Punkt $x\in X$ die Menge $\{x\}$ offen ist.

Sei also $x\in X$. Nach a) ist $x$ kein Häufungspunkt. Was bedeutet das? Am besten einfach mal die Definition von Häufungspunkt negieren.
\(\endgroup\)


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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-19


Ok danke das habe ich verstanden. Kannst du mir sagen was die Aussage c zu bedeuten hat? Also ich verstehe leider schon nicht was damit gemeint ist



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-19


Womit genau? Was kompakte Menge bedeutet oder was es bedeutet dass der Durchschnitt mit jeder kompakten Menge endlich sein soll?



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