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  Ungleichung mit Betrag |
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civilengineer
Wenig Aktiv 
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 |  Themenstart: 2018-12-09
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Hi,
ich versuche gerade zu zeigen, dass $y\neq 0$ sein soll, aber irgendwie will es noch nicht ganz klappen, hier ist die Aufgabenstellung:
Seien $y,y_0 \in \mathbb{R}$ und $\epsilon > 0$:
Ist $y_0\neq 0$ und ist $|y-y_0|<\text{min}(\frac{|y_0|}{2},\frac{\epsilon|y_0|^2}{2})$, dann ist $y\neq 0$ und es gilt
$$ \left\vert \frac{1}{y}-\frac{1}{y_0} \right\vert < \epsilon.$$
Versuch:
Wegen $|y-y_0|<\text{min}(\frac{|y_0|}{2},\frac{\epsilon|y_0|^2}{2})$ ist $|y-y_0|<\frac{|y_0|}{2}\leq \frac{\epsilon|y_0|^2}{2}$ oder $|y-y_0|<\frac{\epsilon|y_0|^2}{2}<\frac{|y_0|}{2}$ möglich. Da $|y_0|\neq 0$ ist, kann durch $|y_0|^2>0$ abdividiert werden: Es ist $\frac{|y-y_0|}{|y_0|^2}<\frac{1}{2|y_0|}\leq \frac{\epsilon}{2}$ oder $\frac{|y-y_0|}{|y_0|^2}<\frac{\epsilon}{2}<\frac{1}{2|y_0|}$ möglich. Da $|y_0|^2=|y_0^2|$ ist, folgt $\frac{|y-y_0|}{|y_0|^2} = |\frac{y}{y_0^2}-\frac{1}{y_0}|\leq \frac{\epsilon}{2}$. Da $|\frac{y}{y_0^2}-\frac{1}{y_0}|=|\frac{y}{y_0^2}+(-\frac{1}{y_0})|\geq |\frac{y}{y_0^2}|-|-\frac{1}{y_0}| = |\frac{y}{y_0^2}|-|\frac{1}{y_0}|$ ist, gilt $|\frac{y}{y_0^2}|-|\frac{1}{y_0}| \leq |\frac{y}{y_0^2}-\frac{1}{y_0}|\leq \frac{\epsilon}{2}$
Aus der letzten Bedingung folgt nicht automatisch, dass $y \neq 0$ sein muss. Nur ist $y$ kleiner als ein positiver Wert...
Danke für eure Denkanstöße und Hilfe im Voraus.
Viele Grüße
CE
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xiao_shi_tou_
Senior 
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-12-09
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Aus \(y=0\) wuerde \(|y-y_0|=|y_0|
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civilengineer
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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Du bist der Beste!
Sei $y=0$, dann ist $|y-y_0|=|0-y_0|=|-y_0|=|y_0|<\text{min}(\frac{|y_0|}{2},\frac{\epsilon|y_0|^2}{2})$, also $|y_0|<\frac{|y_0|}{2}$. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $y=0$ sei. Dieser Widerspruch zeigt, dass $y\neq 0$ sein muss.
Ok, beim Zeigen der Ungleichung, wie ist das richtige Vorgehen?
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civilengineer
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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Ich glaube beim zweiten Teil muss man $|y-y_0|<\frac{\epsilon|y_0|^2}{2}$ verwenden, richtig? Eventuell durch $y^2$ und/oder durch $y_0^2$ abdividieren?
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civilengineer
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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Da $|y-y_0|<\frac{\epsilon|y_0|^2}{2}$ und $y\neq 0$ und $y_0 \neq 0$ gelten, kann diese Ungleichung einmal mit $\frac{1}{|y|^2}$ und mit $\frac{1}{|y_0|^2}$ multipliziert werden, da $\frac{1}{|y|^2}>0$ und $\frac{1}{|y_0|^2}>0$ sind. Es folgen $|\frac{1}{y}-\frac{y_0}{y^2}|<\frac{\epsilon|y_0|^2}{2|y|^2}$ und $|\frac{y}{y_0^2}-\frac{1}{y_0}|<\frac{\epsilon}{2|y_0|}$. Durch Addition dieser letzten beiden Ungleichungen folgt:
$|\frac{1}{y}-\frac{y_0}{y^2}|+|\frac{y}{y_0^2}-\frac{1}{y_0}|<\frac{\epsilon|y_0|^2}{2|y|^2}+\frac{\epsilon}{2|y_0|}$
Mit der Dreiecksungleichung folgt:
$\displaystyle\left\vert \frac{1}{y}-\frac{y_0}{y^2}+\frac{y}{y_0^2}-\frac{1}{y_0}\right\vert \leq \left\vert \frac{1}{y}-\frac{y_0}{y^2}\right\vert + \left\vert \frac{y}{y_0^2}-\frac{1}{y_0}\right\vert <\frac{\epsilon|y_0|^2}{2|y|^2}+\frac{\epsilon}{2|y_0|}=\frac{\epsilon}{2}\left(\frac{|y_0|^2}{|y|}+\frac{1}{|y_0|}\right)$
$$\vdots$$
$$\vdots$$
$$\vdots$$
$$\displaystyle \left\vert \frac{1}{y}-\frac{1}{y_0} \right\vert < \epsilon $$
Schon mal ein guter Ansatz? Der Weg ist dunkel, aber nicht weit...
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civilengineer
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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civilengineer
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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Ok, ich komme mit der Voraussetzung, dass $|y-y_0|<\frac{\epsilon |y_0|^2}{2}$ gilt, zur Ungleichung $\frac{2}{|y_0|^2}|y-y_0|<\epsilon$ und dann zur Ungleichung $2|\frac{1}{y} \cdot \frac{y^2}{y_0^2}-\frac{1}{y_0}|<\epsilon$ also zur Ungleichung $|\frac{1}{y} \cdot \frac{y^2}{y_0^2}-\frac{1}{y_0}|<\frac{\epsilon}{2}$...
Fehlt noch einen magischen Trick zum Zeigen, dass $|\frac{1}{y} -\frac{1}{y_0}|<\epsilon$ gilt...
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civilengineer
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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Und mit der Ungleichung $|y-y_0|<\frac{|y_0|}{2}$ komme ich zur Ungleichung $|\frac{y}{y_0}-1|<\frac{1}{2}$... Diese besagt, dass $-\frac{1}{2}<\frac{y}{y_0}-1<\frac{1}{2}$ bzw. $\frac{1}{2}<\frac{y}{y_0}<\frac{3}{2}$ oder $\frac{1}{4}<\frac{y^2}{y_0^2}<\frac{9}{4}$...
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civilengineer
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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Den ultimativen Denk-Tritt gesucht...
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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Die Ungleichung $|y-y_0|<\frac{\epsilon|y_0|^2}{2}$ kann mit $\frac{1}{|y y_0|}$ multipliziert werden, da $\frac{1}{|yy_0|}>0$ ist. Es Folgt $|\frac{1}{y_0}-\frac{1}{y}|<\frac{\epsilon|y_0|}{2|y|}$. Da $|\frac{1}{y_0}-\frac{1}{y}|=|\frac{1}{y}-\frac{1}{y_0}|$ ist, gilt also $|\frac{1}{y}-\frac{1}{y_0}|<\frac{\epsilon|y_0|}{2|y|}$... Sieht schon mal besser aus...
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civilengineer
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09
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Ok, ich habs jetzt irgendwieso gemacht
Sei $y=0$, dann ist $|y-y_0|=|0-y_0|=|-y_0|=|y_0|<\text{min}(\frac{|y_0|}{2},\frac{\epsilon|y_0|^2}{2})$, also $|y_0|<\frac{|y_0|}{2}$. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $y=0$ sei. Dieser Widerspruch zeigt, dass $y\neq 0$ sein muss.
Die Ungleichung $|y-y_0|<\frac{\epsilon|y_0|^2}{2}$ kann mit $\frac{1}{|y y_0|}$ multipliziert werden, da $\frac{1}{|yy_0|}>0$ ist. Es folgt $|\frac{1}{y_0}-\frac{1}{y}|<\frac{\epsilon|y_0|}{2|y|}$. Da $|\frac{1}{y_0}-\frac{1}{y}|=|\frac{1}{y}-\frac{1}{y_0}|$ ist, gilt also $|\frac{1}{y}-\frac{1}{y_0}|<\frac{\epsilon|y_0|}{2|y|}$.
Die Ungleichung $|y-y_0|<\frac{|y_0|}{2}$ kann mithilfe der Dreiecksungleichung so erweitert werden: $||y|-|y_0||\leq |y-y_0|<\frac{|y_0|}{2}$.
Aus der Ungleichung $||y|-|y_0||<\frac{|y_0|}{2}$ folgt $|\frac{|y|}{|y_0|}-1|<\frac{1}{2}$. Das bedeutet $-\frac{1}{2}<\frac{|y|}{|y_0|}-1<\frac{1}{2}$ oder $\frac{1}{2}<\frac{|y|}{|y_0|}<\frac{3}{2}$ oder $2>\frac{|y_0|}{|y|}>\frac{2}{3}$. Somit ist $|\frac{1}{y}-\frac{1}{y_0}|<\frac{\epsilon|y_0|}{2|y|}<\epsilon$, da $2>\frac{|y_0|}{|y|}. \ \square$
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