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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Garbe der stetigen Funktionen auf S^1 modulo Garbe der lokalkonstanten Funktion
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Universität/Hochschule J Garbe der stetigen Funktionen auf S^1 modulo Garbe der lokalkonstanten Funktion
Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-07


Hallo,

ich hätte gern einige Denkanstöße für die folgende Aufgabe.

Sei $X:=S^1:=\{z\in\IC;|z|=1\}$ (versehen mit der üblichen Topologie); Sei $\mathcal{C}_X$ die Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf $X$, $\IR_X$ die Garbe der lokalkonstanten reellwertigen Funktionen auf $X$; Sei $\mathcal{F}:=\mathcal{C}_X/\IR_X$ die zugehörige Quotienten-Prägarbe.

Die Behauptung ist nun, dass $\mathcal{F}$ keine Garbe ist.

Meine (triviale) Überlegung bisher: Bekannterweise erfüllt Quotienten-Prägarbe das Identitätsaxiom (=separable Prägarbe), also soll $\mathcal{F}$ am Verklebungsaxiom scheitern. Ferner ist $\IR_X$ tatsächlich die Garbe, die jeder offenen Menge von $X$ eine Menge (bzw. abelsche Gruppe) konstanter Funktionen auf $X$ zuordnet, weil $X$ zusammenhängend ist.

Das Ziel wäre nun, eine offene Überdeckung von $X$ (oder irgendeiner offenen Menge) so zu finden, dass $\mathcal{F}(X)$ keinen globalen Schnitt annehmen kann. Was wäre eine solche?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-07


Im wesentlichen kommt es auf den Unterschied konstant vs. lokalkonstant an. Daher sind nicht zusammenhängende Menge relevant.



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-07


Magst du es ein bisschen ausführlicher sein?

Sollte ich zuerst eine nicht-zusammenhängende offene Menge mit einer offenen Überdeckung wählen, dann (Repräsentante von) Funktionen konstruieren, die zum Widerspruch führt, wenn ein/der globale Schnitt von den eben genannten Funktionen existiert?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-07


Nagut. Zerlege den Kreis in 4 Teile. 2 gegenüberliegende Teile bilden jeweils eine offene Menge. Also \(S=U\cup V\), wobei dann U,V nicht zusammenhängend sind. Nun betrachte eine stetige Funktion auf S, die auf U lokalkonstant aber nicht konstant ist.

Nachtrag. Es auch einfacher. Wähle zwei Intervalle \(S=U\cup V\) und jeweils stetige Funktionen, deren Differenz auf \(U\cap V\) lokalkonstant ist.



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-08


Vielen Dank!

Ich habe die Idee verstanden. Es gibt bestimmt tausende Beispiele von Funktionen $f, g$, sodass $f-g|_{U\cap V}$ lokalkonstant ist aber keine globale Funktion $h:X\to \IR$ so, dass $h-f|_{U}$ lokalkonstant und $h-g|_V$ auch lokalkonstant. Momentan fällt mir aber keine ein... Funktioniert das bereits mit Polynomen?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-08


Für Polynome kann es nicht funktionieren, da die Einschränksabbildung eine Bijektion (für Polynome) ist. Für stetige Funktionen kannst Du etwas zusammensetzen (->Teilung der Eins). Ansonsten denke etwas über den komplexen Logarithmus nach.



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-08


Hier wäre ein Beispiel: math.stackexchange.com/a/1466802/325930



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-25


Jetzt sehe ich besser was zu tun ist.

Um zu zeigen, dass die Prägarbe $\mathcal{C}_X/\IR_X$ keine Garbe ist, reicht zu zeigen, dass die lokal-konstante Garbe $\IR_X$ keine (global) konstante Garbe ist. (Die frage war ja, ob aus $s|_U=0$ und $s|_V=0$ bereits global $s=0$ folgt; hier $s=0$ bedeutet dass $s$ ein (lokal) konstante Funktion ist.)

Man kann etwa eine Überdeckung mit $U=S^1\setminus\{1\}$ und $V=S^1\setminus\{-1\}$ wählen. Dann sieht man dass eine konstante Funktion auf $U$ nicht mit einer auf $V$ sich zusammenkleben lassen: es gibt Freiheiten an den Stellen 1 und -1.



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