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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Eine Eigenschaft der Matrixexponentialfunktion
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Beruf J Eine Eigenschaft der Matrixexponentialfunktion
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-09 23:57

\(\begingroup\)
Hallo Zusammen,

In einer Beweisführung wird eine Eigenschaft aus der Linearen Algebra verwendet die mir gerade unklar ist. Sehr wahrscheinlich werde ich bereits morgen selber über mich lachen.

Dabei bezeichnen $\sigma_s, \sigma_c$ diejenigen Teilmengen des Spektrums
mit $Re \lambda<0$ und $Re \lambda=0$

Sein nun $B\in \mathbb{C}_{n\times n}$ sodass $\sigma(B)=\sigma_s(B)\cup \sigma_c(B)$ und so dass für alle Egenwerte gilt $m_a=m_g$. Dann exisitiert M>0 sd.

$\|e^{Bt}\|\le M\;\; \forall t\in \mathbb{R}$


Folgende überlegung: sei $[-1]$ die $1\times 1$ Matrix deren einziges Element -1 ist. Dann ist $\sigma(-1)=\sigma_s(-1)$ und $m_a=m_g=1$

aber dann ist ja $\|e^{-t}\|=|e^{-t}|$ gar nicht beschränkt sondern geht gegen ganz grosse Werte wenn $t$ gegen $-\infty$ geht.

Wo liege ich da falsch?
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-10 08:31

\(\begingroup\) \(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

zu 99% ist das ein Fehler in deiner Vorlage.

Gemeint ist die Beschränktheit auf jedem Intervall \([a, \infty)\)

Wally
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-10 18:57


Hallo Wally,
Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Kann man also sagen, dass so ich es geschrieben habe, der Ausdruch wirklich nicht beschränkt ist. Somit ist entweder ein Fehler im Buch oder ich habe es falsch abgeschrieben? Kann man das so sagen?

Mal unabhängig davon wo der Fehler liegt, was will uns der Prof beibringen?
Irgendwie hat das Verhalten im Unendlichen der matrixepontentialfunktion
mit den vielfachheiten der Eigenwerte der matrix zu tun.

Aber wie genau?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-10 20:09


Na genau so:

Haben alle Eigenwerte einen negativen Realteil, geht <math>\exp(tA)</math> gegen Null für <math>t\to \infty</math>.

Gibt es Eigenwerte mit Realteil Null, wobei die geometrische und algebraische Vielfachheit gleich sind, ist die Matrixexponentialfunktion immer noch beschränkt.

Wally



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-10 21:29

\(\begingroup\)
Ja genau darum geht es. Aber mal der Reihe nach.
Damit wir die drei Matrizen $A,e^A$ und $e^{At}$ nicht verwechseln:
Wenn bei A die Vielfachheiten aller Eigenwerte gleich sind, dann ist
$\|e^{At}\|$ beschränkt. Stimmt das so?

Kannst du mir einen Tipp geben wie man das beweisen kann?





\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12 01:09

\(\begingroup\)
Ich habe ein Lemma gefunden wonach
$\|e^{At}P_c\|,\|e^{At}P_s\|,\|e^{At}P_u\|$ abgeschätzt werden können.
Aber ich finde niergendswo einen Zusammenhang zu den Vielfachheiten der
Eigenwerte.

$P_c,P_u,P_s$ bezeichnen hier die Projektoren auf die jeweiligen Teilmegen des Spektrums von $A$.


Bei einer ganz anderen Aufgabe bin ich schon wieder über dasselbe Problem gestolpert. Ich finde einfach nicht heraus weshalb die Gleicheit der Vielfachheiten
der Eigenwerte entscheidend ist ob $\|e^{At}\|$ auf $\mathbb{R}$ beschränkt ist oder nicht.



\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-12 01:34

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Wenn algebraische und geometrische Vielfachheiten der Eigenwerte jeweils übereinstimmen, dann ist die Matrix $A$ diagonalisierbar. Dadurch lässt sich $\exp(A)$ einfach berechnen.

Notwendig ist die Bedingung aber nicht, siehe hier.
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-01-12 01:48

\(\begingroup\)
2019-01-12 01:34 - Nuramon in Beitrag No. 6 schreibt:
Notwendig ist die Bedingung aber nicht

Das stimmt allerdings nur für $\operatorname{Re}\lambda<0$. Für $\operatorname{Re}\lambda=0$ (und das war im Startbeitrag ausdrücklich zugelassen) ist $m_a=m_g$ notwendig.
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12 02:36

\(\begingroup\)
hallo nuramon und zippy,

also erst mal folgendes: Um nicht vom thema abzuweichen und nicht über Normen zu sprechen, kann man sich darauf einigen dass jede Norm einer Matrix dann beschränkt ist wenn alle Einträge beschränkt sind?

Kann man sogar soweit gehen, dass die Norm nicht beschränkt ist wenn ein Eintrag nicht beschränkt ist?


Ok. es gilt Ja $e^{At}=S\cdot e^{Jt}S^{-1}$ Dass die Transformationsmatrizen Beschränkt sind dürfte klar sein.

Also konzentriert man sich mal auf den ausdruck $e^{Jt}$. Falls $m_a=m_g$ dann ist die Matrix diagonal und die Einträge sind $e^{\lambda t}$

Für $t\in\mathbb{R}$ kann doch der Ausdruch $e^{\lambda t}$ jeden wert auf $]0,\infty[$ annehmen falls $\lambda$ nicht gerade null ist


Was immer $\|e^{At}\|$ für eine Norm sein mag, der Ausdruck ist doch 0-Symmmetrisch bezüglich t und daher sollte die Beschränktheit nicht vom Vorzeichen von $Re(\lambda)$ abhängig sein.
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12 02:46

\(\begingroup\)
Aber können wir die Problemstellung zuerst mal genau formulieren?
Am einfachsten am Eindimensionalen Fall. Ich denke, da darf ich die Norm dem Absolutbetrag gleichsetzen.


$|e^{\lambda t}|$ ist doch nicht beschränkt auf $\mathbb{R}$.
Ausser wenn $\lambda=0$. Was genau ist denn eigentlich beschränkt oder eben nicht beschränkt je nach dem ob sich die $m_a$ und die $m_g$ entsprechen?

Vielleicht bin ich einfach zu müde und verwechsle etwas ganz einfaches
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-01-12 03:04

\(\begingroup\)
2019-01-12 02:46 - sulky in Beitrag No. 9 schreibt:
$|e^{\lambda t}|$ ist doch nicht beschränkt auf $\mathbb{R}$.

Wally hat dir doch schon vor 8 Beiträgen erklärt, dass es nicht um die Beschränktheit für $t\in\mathbb R$ gehen kann, sondern nur um die für $t\in[0,\infty)$.

2019-01-12 02:46 - sulky in Beitrag No. 9 schreibt:
Was genau ist denn eigentlich beschränkt oder eben nicht beschränkt je nach dem ob sich die $m_a$ und die $m_g$ entsprechen?

Betrachte die beiden Matrizen $B_1=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ und $B_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. Für beide ist $\sigma(B_i)=\sigma_c(B_i)$, aber nur für die erste ist $\|\exp(B_it)\|$ für $t\in[0,\infty)$ beschränkt.
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12 12:02

\(\begingroup\)
Guten Morgen,

Also die Formulierung geht so:  $\|e^{At}\|$ ist dann und nur dann beschränkt auf $[0,\infty[$ wenn für alle $\lambda\in \sigma(A)$ gilt
$m_a(\lambda)=m_g(\lambda)$ und $\exists \lambda \in \sigma(A)$ mit $Re(\lambda)=0$ und kein $\lambda \in \sigma(A)$ mit $Re(\lambda)>0$

Is das soweit richtig?

Dann hätten wir also schon zwei gute Beispiele gefunden.
Im Falle der Nullmatrix ist die Beschränktheit offensichtlich.

Die  Matrix $B_2$ besteht aus einem einzigen Jordanblock der Grösse zwei
.  Für die $e^B_2 t$ können wir also unsere Formel anwenden.


fed-Code einblenden


hier im Falle $\lambda=0$ ist die unbeschränktheit offensichtlich, aber hast du nicht ein anderes Beispiel?

Also hier sieht man schon mal dass der Jordanblock, dessen diagonalelemente 0 sind nicht beschränkt ist.


Konstruieren wir also eine Jordamatrix $J\in \mathbb{C}_{n\times n}$, die den genannten Hypothesen entspricht so dass der Jordanblock, deren Eigenwerte 0 sind an erster e steht. Dann gilt: $[e^{Jt}]_{1,2}=t$
 
Somit ist die Aussage bewiesen. Stimmt das soweit?





\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12 12:13

\(\begingroup\)
Ist denn die ganz einfach ein Fehler und müsste heissen $\forall t\in[0,\infty[$ anstatt $ \forall t\in\mathbb{R}$?



\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-01-12 12:52

\(\begingroup\)
2019-01-12 12:13 - sulky in Beitrag No. 12 schreibt:
Ist denn die ganz einfach ein Fehler und müsste heissen $\forall t\in[0,\infty[$ anstatt $ \forall t\in\mathbb{R}$?

Ja, es müsste genau wie ein paar Zeilen darüber "$\forall t\ge0$" statt "$\forall t\in\mathbb R$" heissen.

Übrigens sehen wir jetzt auch, dass $m_a(\lambda)=m_g(\lambda)$ nur für $\lambda\in\sigma_c(B)$ und nicht für alle $\lambda$ gefordert wird (wie du es im Startbeitrag schlampigerweise hingeschrieben hast), was zu meiner Aussage von oben passt:

2019-01-12 01:48 - zippy in Beitrag No. 7 schreibt:
Das stimmt allerdings nur für $\operatorname{Re}\lambda<0$. Für $\operatorname{Re}\lambda=0$ (...) ist $m_a=m_g$ notwendig.
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12 13:44

\(\begingroup\)
ja, jetzt sehe ich es auch. Nur für jene $\lambda$ die in $\sigma_c$ liegen ist die Bedingung notwendig. bei den anderen ist es egal.


Aber ich vermute dass auch $t \in [0,\infty[$ eine unnötig strenge Bedingung ist. Es genügt $[a,\infty[$ für irgend eine reelle zahl a.


Siehst du das auch so?
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-01-12 13:57

\(\begingroup\)
2019-01-12 13:44 - sulky in Beitrag No. 14 schreibt:
Siehst du das auch so?

Natürlich. Ob du $[0,\infty)$ um ein beschränktes Intervall erweiterst oder ein solches herausnimmst, spielt keine Rolle.
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12 14:28


Super, dann habe ich das nun verstanden.
Dies hätte ich ohne eure Denkanstösse wohl kaum geschafft.

Vielen Dank Zippy und Wally



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12 14:29





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