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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Duale Äquivalenz von Kategorien
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Universität/Hochschule Duale Äquivalenz von Kategorien
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2019-01-10

Hallo, ich hätte mal eine naive Frage zur Kategorientheorie: Seien A, B zwei Kategorien, A' bzw. B' bezeiche die entsprechenden dualen Kategorien. Meine Frage, wenn A=B' (Äquivalenz von Kategorien), gilt dann A'=B? (Ist das plausibel?)


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xiao_shi_tou_
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-10

Ja, natuerlich gilt das. \((C^{op})^{op}=C\). Drehst du die Pfeile zweimal um hast du ja wieder die urspruengliche Kategorie.


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-10

Ich dachte es könnte Kompatibilitätsprobleme geben - hätte vielleicht überkompliziert gedacht. Am besten schreibe ich mal den Beweis für die Aussage auf, dass $A^{op}=B$, falls $A=B^{op}$. (Unter Benutzung der Identifikation ($B^{op})^{op}$, wiederum bezeichnet "=" Äquivalenz von Kategorien) Seien $A, B$ Kategorien und es gebe (kovariante) Funktoren $F: A\to B^{op},~ G:B^{op}\to A$ so, dass $FG=id_{B^{op}}, \, GF=id_A.$ Zur Äquivalenz $A^{op}=B$ betrachte die Zuordnungen $F': A^{op}\to B,~ G': B\to A^{op}$ definiert durch $F'(x):=F(x), F'(x\to y):=F(y\to x)$ für Objekte $x,y\in A^{op}$ und Morphismen $x\to y$ (in $A^{op}$!); $G'(x):=G(x), G'(x\to y):=G(x\to y)$ für Objekte $x,y\in B$ und Morphismen $x\to y$. Dann sind $F', G'$ Funktoren und es gilt die funktoriellen Gleichheiten $F'G'=id_{B^{op}}=id_B,\, G'F'=id_A=id_{A^{op}}$. Damit sind wir fertig. Zur Motivation der Frage. Wir wissen 1. $\mathsf{affSch}=\mathsf{CRing^{op}}$, die Kategorie der affinen Schemata ist äquivalent zur dualen Kategorie der kommutativen Ringe mit Eins. 2. $\mathsf{CC^*Alg}=\mathsf{CHaus^{op}}$, die Kategorie der kommutativen $C^*$-Algebren ist äquivalent zur Kategorie der kompakten Hausdorffräume (Gelfand-Naimark). Nach dem Obigen sind also Objekte in $\mathsf{CHaus}$ affine Schemata. Ich würde gern wissen wie diese Schemata konkret aussehen. (Die Äquivalenz $\mathsf{CC^*Alg}=\mathsf{CHaus^{op}}$ hatte ich in einem Seminar zur Kenntnis genommen, unten habe ich ein paar Ergebnisse davon modifiziert, ohne Vergleich mit der Standardliteratur zur Funktionalanalysis) Für eine $C^*$-Algebra $A$ definiert man $\Delta(A):=\{\phi: A\to \IC; \phi\neq 0, \phi \text{ Algebrenhomomorphismus}\}$. Nun sei $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $\mathcal{C}_X=C^0(-,\IC)$ die Garbe der $\IC$-wertigen stetigen Funktionen auf $X$. Man kann zeigen, dass $\Phi: X\to \Delta(\mathcal{C}_X(X)),~ x\mapsto (f\mapsto f(x))$ ein Homöomorphismus ist ($\Delta(\mathcal{C}_X(X))$ trage die schwach-*-Topologie). Es liegt nah zu vermuten, dass $\Phi$ ein Morphismus von lokal geringten Räumen $(X,\mathcal{C}_X(X))$ nach $(Spec(A),O_{Spec(A)})$ induziert, wobei $A:=\mathcal{C}_X(X)$ und es gilt somit - so vermute ich - $Spec(A)=\Delta(\mathcal{C}_X(X))$. Ich habe noch keine Gedanken gemacht, dass der von $\Phi$ induzierte Morphismus ein Morphismus zwischen lokal geringten Räumen ist. Vielleicht kennt jemand die Operatortheorie gut und möchte die erwähnte Vermutung nachweisen (bzw. korrigieren/widerlegen). Edit. Mir ist aufgefallen, dass $\mathsf{CC^*Alg}$ nicht notwendigerweise eine Unterkategorie von $\mathsf{CRing}$ sein muss. Das macht die Vermutung schon kaputt.


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-09

1) Du sagst, dass Objekte in $\mathsf{CHaus}$ affine Schemata "sind". Gemeint ist wohl eher, dass man einen Funktor $\mathsf{CHaus} \to \mathsf{affSch}_{\IC}$ hat, nämlich $X \mapsto \mathrm{Spec}(C(X))$. Er ist aber nicht volltreu, weil ein Homomorphismus von $C^*$-Algebren die Involution erhalten muss und dies nicht automatisch ist. Daher passt das Wort "sind" oben nicht. 2) Ich verstehe deine Frage, wie diese Schemata konkret aussehen, so: Wie sehen die Primideale von $C(X)$ aus, wenn $X$ ein kompakter Hausdorffraum ist? Dazu gibt es, soweit ich mich erinnere, sehr viele Paper (hier eines davon: http://www.numdam.org/article/RSMUP_1977__58__207_0.pdf - über google scholar findest du die Paper, die das zitieren, usw.). Die maximalen Ideale sind ja bekannt, aber es gibt noch viel mehr Primideale. 3) Deine Vermutung, dass es einen Morphismus lokalgeringter Räume gibt, ist richtig, und zwar ganz allgemein: Für jeden lokalgeringten Raum $X$ hat man einen Morphismus von lokalgeringten Räumen $X \to \mathrm{Spec}(\mathcal{O}_X(X))$ (insbesondere in dem Fall der Garbe der stetigen Funktionen auf einem topologischen Raum). Man kann ihn explizit hinschreiben. So wird etwa ein Punkt $x \in X$ auf das Primideal $\mathfrak{m}_x = \{f \in \mathcal{O}_X(X) : f(x) = 0\}$ geschickt, wobei $f(x)$ das Bild von $f$ im Restklassenkörper $k(x)$ ist.


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