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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Russellsche Antinomie und das moderne Mengenbildungsaxiom
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Universität/Hochschule J Russellsche Antinomie und das moderne Mengenbildungsaxiom
Amboss
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  Themenstart: 2019-01-11

Hallo liebe Matheplanet-Mitglieder, Auslöser für meine Frage war der Satz: "Wenn wir von Mengen reden, vermeiden wir logische Probleme, wenn wir Mengen als Teilmengen einer Obermenge auffassen." Meine Vermutung war, dass diese Aussage mit der Russelschen Antinomie zusammenhängen muss. Bei einer Internetrecherche stieß ich dann auf einen Text der von der Russelschen Antinomie \(R:=\lbrace x|x \notin x \rbrace\) ausging. Hier wurde gezeigt, dass aus dieser Mengendefinition dann der Widerspruch \(x \in R \Leftrightarrow x \notin R\) folgt (Kurze Frage schon hierzu: Würde beispielsweise die Implikation \(x \in R \Rightarrow x \notin R\) schon als Widerspruch gelten? Wenn nein, warum?). Nachtrag: Mir ist inzwischen klar, dass aus \(x \in R \Rightarrow x \notin R\) nur \(x \notin R\) folgt. Aber warum genau ist \(x \in R \Leftrightarrow x \notin R\) ein Widerspruch. Intuitiv ist mir das klar, aber wie lässt sich das aussagenlogisch begründen? Das zeigt mir, dass ich nicht verstanden habe, was vom Standpunkt der Aussagenlogik aus überhaupt ein Widerspruch ist. Wie würde man einen solchen darstellen? Könnte da jemand nachhelfen? Als Lösung dieses Problem wird "das moderne Mengenbildungs-Axiom" angeführt: "Ist \(M\) eine Menge und \(A(x)\) eine Aussageform, so gibt es die Menge \(M_A= \lbrace x \in M \land A(x) \rbrace\). Man schreibt auch \(M_A=\lbrace x \in M |A(x) \rbrace\)". Es wird nun gesagt, dass sich damit die Russellsche Menge nicht mehr definieren ließe. (Link: http://www.informatik.uni-bremen.de/~michaelh/Lehrveranstaltungen/LinA1_WS05/Mengenlehre.pdf ) Warum lässt sie sich mit dieser neuen Definition die Russelsche Menge nicht mehr definieren? Hängt der Auslöser meine Frage mit dieser neuen Definition zusammen? Wenn ja, wie? Ich kann da leider gerade keinen für mich schlüssigen Zusammenhang reinbringen. Ich sollte vielleicht noch anmerken, dass ich mich nur privat aus eigenem Interesse damit beschäftige und somit keine soliden Grundkenntnisse habe. Liebe Grüße Amboss


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tactac
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-11

\quoteon(2019-01-11 20:17 - Amboss im Themenstart) Hallo liebe Matheplanet-Mitglieder, Auslöser für meine Frage war der Satz: "Wenn wir von Mengen reden, vermeiden wir logische Probleme, wenn wir Mengen als Teilmengen einer Obermenge auffassen." Meine Vermutung war, dass diese Aussage mit der Russelschen Antinomie zusammenhängen muss. Bei einer Internetrecherche stieß ich dann auf einen Text der von der Russelschen Antinomie \(R:=\lbrace x|x \notin x \rbrace\) ausging. Hier wurde gezeigt, dass aus dieser Mengendefinition dann der Widerspruch \(x \in R \Leftrightarrow x \notin R\) folgt (Kurze Frage schon hierzu: Würde beispielsweise die Implikation \(x \in R \Rightarrow x \notin R\) schon als Widerspruch gelten? Wenn nein, warum?). Nachtrag: Mir ist inzwischen klar, dass aus \(x \in R \Rightarrow x \notin R\) nur \(x \notin R\) folgt. Aber warum genau ist \(x \in R \Leftrightarrow x \notin R\) ein Widerspruch. Intuitiv ist mir das klar, aber wie lässt sich das aussagenlogisch begründen? Das zeigt mir, dass ich nicht verstanden habe, was vom Standpunkt der Aussagenlogik aus überhaupt ein Widerspruch ist. Wie würde man einen solchen darstellen? Könnte da jemand nachhelfen? \quoteoff Ein Widerspruch liegt vor, wenn man zugleich $P$ und $\lnot P$ hat. Du hast $P\iff \lnot P$, woraus $P \implies \lnot P$ folgt (und daraus $\lnot P$, wie du schon festgestellt hast), sowie $\lnot P \implies P$ (und daraus, mit $\lnot P$ auch $P$). \quoteon Als Lösung dieses Problem wird "das moderne Mengenbildungs-Axiom" angeführt: "Ist \(M\) eine Menge und \(A(x)\) eine Aussageform, so gibt es die Menge \(M_A= \lbrace x \in M \land A(x) \rbrace\). Man schreibt auch \(M_A=\lbrace x \in M |A(x) \rbrace\)". Es wird nun gesagt, dass sich damit die Russellsche Menge nicht mehr definieren ließe. (Link: http://www.informatik.uni-bremen.de/~michaelh/Lehrveranstaltungen/LinA1_WS05/Mengenlehre.pdf ) Warum lässt sie sich mit dieser neuen Definition die Russelsche Menge nicht mehr definieren? \quoteoff Weil man eine vorher anderweitig hergezauberte Obermenge $M$ braucht. Mit $R' := \{x \in M \mid x \notin x\}$ hat man aber nicht $R' \in R' \iff R' \notin R'$, sondern nur $$R'\in R' \iff R'\in M \land R'\notin R'.$$ Daraus folgt aber noch kein Widerspruch. Lediglich $R' \notin M$ und $R'\notin R'$ sind vielleicht interessante Konsequenzen. (Woraus unter anderem folgt, dass es keine Menge aller Mengen geben kann.) \quoteon Hängt der Auslöser meine Frage mit dieser neuen Definition zusammen? Wenn ja, wie? Ich kann da leider gerade keinen für mich schlüssigen Zusammenhang reinbringen. Ich sollte vielleicht noch anmerken, dass ich mich nur privat aus eigenem Interesse damit beschäftige und somit keine soliden Grundkenntnisse habe. \quoteoff Der Satz "Wenn wir von Mengen reden, vermeiden wir logische Probleme, wenn wir Mengen als Teilmengen einer Obermenge auffassen." stimmt nicht so recht, da jede Menge sich selbst als Obermenge hat. Das Auffassen bewirkt also gar nichts.


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strike
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  Beitrag No.2, eingetragen 2019-01-12

Der genannte Satz hat m.E. nur einen Sinn, wenn man das zugrunde gelegte Axiomensystem erwähnt. In ZFC ist die Russel Antinomie u.a. durch das "Aussonderungsaxiom" ausgeschlossen: \big\ Zu jeder Eigenschaft \phi2 von Mengen und zu jeder Menge x existiert eine Menge y, die genau aus den Elementen von x besteht, welche die Eigenschaft \phi2 haben. Nach dem Extensionalitätsaxiom ist diese Menge y eindeutig bestimmt \(nämlich durch die in ihr enthaltenen Elemente): y = menge(z\el\ x|x hat \phi2). Durch das Axiom werden Komprehensionen auf schon vorgegebene Mengen begrenzt, und damit wird eben die Russel Antinomie verhindert. Dabei entstehen Klassen K. Auch für die Behandlung von Klassen ist natürlich ein entsprechendes Axiomensystem notwendig. Die Elemente von Klassen sind zwar Mengen, aber die Klasse selbst ist keine Menge \(Klassen sind eher als Eigenschaften von Mengen bzw. deren Extensionen anzusehen). Jede Menge wiederum ist auch eine Klasse, denn man kann schreiben: x = menge(z|z ist eine Menge und z \el\ x). Für die Klasse R von Russel kann man schreiben: Für R = menge(x|x ist Menge und x \notel\ x) ist mit R \el\ R <=> R ist Menge und R \notel\ R sofort klar, das R nicht als Menge durchgeht, sondern eine echte Klasse ist, wodurch die Russel'sche Antinomie verhindert wird.


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tactac
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-12

@strike Ein Axiom verhindert nie etwas aus. Axiome ermöglichen nur, und jedes hinzugefügte Axiom befördert die Theorie in Richtung Inkonsistenz. Der Punkt ist, dass man für Mengenlehre *nicht* das "naive" Axiom wählt, dass jede Klasse eine Menge ist, aber trotzdem noch einen möglichst starken Ersatz haben will: Der Schnitt einer Menge mit einer Klasse ist eine Menge. Und dieser Ersatz ist eben nicht dazu geeignet, die Russel-Menge zu basteln.


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strike
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  Beitrag No.4, eingetragen 2019-01-12

@tactac Korrekt. So meinte ich das... Danke für die Klarstellung.


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Amboss
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12

Vielen, vielen Dank für die bisherigen Antworten! \quoteon(2019-01-11 22:27 - tactac in Beitrag No. 1) Ein Widerspruch liegt vor, wenn man zugleich $P$ und $\lnot P$ hat. Du hast $P\iff \lnot P$, woraus $P \implies \lnot P$ folgt (und daraus $\lnot P$, wie du schon festgestellt hast), sowie $\lnot P \implies P$ (und daraus, mit $\lnot P$ auch $P$). \quoteoff Ein Widerspruch ist also dann und nur dann gegeben, wenn ich $P \land \lnot P$ vorliegen habe bzw. folgern kann? Ausführlich notiert käme der Widerspruch hier also folgendermaßen zustande: \[(R \in R \Leftrightarrow R \notin R) \Rightarrow [(R \in R \Rightarrow R \notin R) \land (R \notin R \Rightarrow R \in R)] \Rightarrow (R \in R \land R \notin R)\] Ist das korrekt? Hier ein kurzer Einschub: Ich möchte mir mittels des Lehrbuches "Mathematik" von Arens et al. bessere Kenntnisse der höheren Mathematik im Selbststudium aneignen, d.h. es mit der Zeit vollständig durcharbeiten. Da es viele Erläuterungen enthält und meines Wissens nach "trotzdem" exakt ist, halte ich es dafür gut geeignet und komme bisher auch wunderbar damit zurecht. Am Anfang des Buches findet man u.a. eine kurze Einführung in die Aussagenlogik. Nun stelle ich jedoch - wie zum Beispiel hier - fest, dass ich teilweise noch kein ausreichendes Verständnis für mathematische Logik besitze. Also dachte ich mir, ich sollte mich zunächst genauer mit diesem Gebiet befassen. Leider finde ich keine Lehrbücher, die sich "anfängerfreundlich" mit diesem Thema auseinandersetzen - nur recht formal und knapp geschriebene Skripte und Bücher, denen ich recht schnell nicht mehr folgen kann. Ich denke, mir fehlt dafür einfach noch die "mathematische Denkweise". Ist es überhaupt notwendig/ratsam sich am Anfang damit zu beschäftigen oder würdet ihr davon abraten? \quoteon(2019-01-11 22:27 - tactac in Beitrag No. 2) Der genannte Satz hat m.E. nur einen Sinn, wenn man das zugrunde gelegte Axiomensystem erwähnt. In ZFC ist die Russel Antinomie u.a. durch das "Aussonderungsaxiom" ausgeschlossen: \big\ Zu jeder Eigenschaft \phi2 von Mengen und zu jeder Menge x existiert eine Menge y, die genau aus den Elementen von x besteht, welche die Eigenschaft \phi2 haben. Nach dem Extensionalitätsaxiom ist diese Menge y eindeutig bestimmt \(nämlich durch die in ihr enthaltenen Elemente): y = menge(z\el\ x|x hat \phi2). Durch das Axiom werden Komprehensionen auf schon vorgegebene Mengen begrenzt, und damit wird eben die Russel Antinomie verhindert. Dabei entstehen Klassen K. Auch für die Behandlung von Klassen ist natürlich ein entsprechendes Axiomensystem notwendig. Die Elemente von Klassen sind zwar Mengen, aber die Klasse selbst ist keine Menge \(Klassen sind eher als Eigenschaften von Mengen bzw. deren Extensionen anzusehen). Jede Menge wiederum ist auch eine Klasse, denn man kann schreiben: x = menge(z|z ist eine Menge und z \el\ x). Für die Klasse R von Russel kann man schreiben: Für R = menge(x|x ist Menge und x \notel\ x) ist mit R \el\ R <=> R ist Menge und R \notel\ R sofort klar, das R nicht als Menge durchgeht, sondern eine echte Klasse ist, wodurch die Russel'sche Antinomie verhindert wird. \quoteoff Da ich mich noch nie mit ZFC beschäftigt habe, kann ich deinem Beitrag leider nur unvollständig folgen. Wieso geht R nicht als Menge durch und ist somit eine Klasse? Was ist eine Klasse? Sollte ich mich zunächst damit beschäftigen, bevor ich in Lineare Algebra und Analysis einsteige? Viele Grüße Amboss


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tactac
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  Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-12

\quoteon(2019-01-12 18:06 - Amboss in Beitrag No. 5) Vielen, vielen Dank für die bisherigen Antworten! \quoteon(2019-01-11 22:27 - tactac in Beitrag No. 1) Ein Widerspruch liegt vor, wenn man zugleich $P$ und $\lnot P$ hat. Du hast $P\iff \lnot P$, woraus $P \implies \lnot P$ folgt (und daraus $\lnot P$, wie du schon festgestellt hast), sowie $\lnot P \implies P$ (und daraus, mit $\lnot P$ auch $P$). \quoteoff Ein Widerspruch ist also dann und nur dann gegeben, wenn ich $P \land \lnot P$ vorliegen habe bzw. folgern kann? Ausführlich notiert käme der Widerspruch hier also folgendermaßen zustande: \[(R \in R \Leftrightarrow R \notin R) \Rightarrow [(R \in R \Rightarrow R \notin R) \land (R \notin R \Rightarrow R \in R)] \Rightarrow (R \in R \land R \notin R)\] Ist das korrekt? \quoteoff Man könnte das als Zusammenfassung nehmen. \quoteon Hier ein kurzer Einschub: Ich möchte mir mittels des Lehrbuches "Mathematik" von Arens et al. bessere Kenntnisse der höheren Mathematik im Selbststudium aneignen, d.h. es mit der Zeit vollständig durcharbeiten. Da es viele Erläuterungen enthält und meines Wissens nach "trotzdem" exakt ist, halte ich es dafür gut geeignet und komme bisher auch wunderbar damit zurecht. Am Anfang des Buches findet man u.a. eine kurze Einführung in die Aussagenlogik. Nun stelle ich jedoch - wie zum Beispiel hier - fest, dass ich teilweise noch kein ausreichendes Verständnis für mathematische Logik besitze. Also dachte ich mir, ich sollte mich zunächst genauer mit diesem Gebiet befassen. Leider finde ich keine Lehrbücher, die sich "anfängerfreundlich" mit diesem Thema auseinandersetzen - nur recht formal und knapp geschriebene Skripte und Bücher, denen ich recht schnell nicht mehr folgen kann. Ich denke, mir fehlt dafür einfach noch die "mathematische Denkweise". Ist es überhaupt notwendig/ratsam sich am Anfang damit zu beschäftigen oder würdet ihr davon abraten? \quoteoff Ich schlage vor, du fragst das in einem neuen Thread. \quoteon \quoteon(2019-01-11 22:27 - tactac in


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Amboss
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12

Vielen Dank für deine erneute Antwort! Ahh, ich verstehe jetzt, warum aus $R'\in R' \iff R'\in M \land R'\notin R'$ nur $R' \notin M \land R'\notin R'$ folgt. \quoteon(2019-01-12 20:08 - tactac in


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  Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-12

\quoteon(2019-01-12 21:27 - Amboss in Beitrag No. 7) Meinst du hier: Würde man versuche für die "neue" Russelsche Menge $R'$ als vermeintlich geeignete Obermenge die Menge aller Mengen wählen, so würde sich der genannte Widerspruch ergeben und somit kann es die Russelsche Menge nicht mehr geben? Müsste man dann nicht noch zeigen, dass es keine andere geeignete Obermenge geben kann? \quoteoff Es geht nicht um Eignung. Mit dem neuen Axiom ist *für alle* Mengen $M$ die Klasse $R'(M) := \{x \in M \mid x \notin x\}$ eine Menge. Und für alle $M$ gilt $R'(M) \notin M$. Insbesondere auch für die hypothetische Menge $V$ aller Mengen. Wir haben also $R'(V) \in V$ (weil $V$ alle Mengen enthält) und $R'(V)\notin(V)$ (Folge aus der Definition von $R'(-)$).


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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12

Dass es keine Menge aller Mengen geben kann, konnte ich nun dank deiner Ausführung nachvollziehen. :-) Mir ist nur aufgefallen, das mir immer noch nicht ganz klar ist, warum es dann keine Menge aller Mengen geben kann, die sich nicht selbst enthalten. Ich habe verstanden, dass man dazu zunächst eine geeignete Obermenge bräuchte. Dann müsste man doch aber auch zeigen können, dass es eine solche Obermenge nicht geben kann? Edit: Könnte man diesbezüglich folgendermaßen argumentieren: Angenommen $S$ wäre die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enhalten. Mit $R'(S):=\{x\in S|x \notin x \}$ würde man $R'(S) \notin S$ sowie $R' \notin R'$ erhalten, womit aber eben $R'(S) \in S$ gelten müsste.


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13

Ich weiß leider nicht, wie ich den Haken entfernen kann.


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  Beitrag No.11, eingetragen 2019-01-13

\quoteon(2019-01-12 23:57 - Amboss in Beitrag No. 9) Edit: Könnte man diesbezüglich folgendermaßen argumentieren: Angenommen $S$ wäre die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enhalten. Mit $R'(S):=\{x\in S|x \notin x \}$ würde man $R'(S) \notin S$ sowie $R' \notin R'$ erhalten, womit aber eben $R'(S) \in S$ gelten müsste. \quoteoff Im Prinzip schon. Man kann es aber streamlinen, denn dein $R'(S)$ ist gerade $S$.


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-16

\quoteon(2019-01-13 15:39 - tactac in Beitrag No. 11) \quoteon(2019-01-12 23:57 - Amboss in Beitrag No. 9) Edit: Könnte man diesbezüglich folgendermaßen argumentieren: Angenommen $S$ wäre die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enhalten. Mit $R'(S):=\{x\in S|x \notin x \}$ würde man $R'(S) \notin S$ sowie $R' \notin R'$ erhalten, womit aber eben $R'(S) \in S$ gelten müsste. \quoteoff Im Prinzip schon. Man kann es aber streamlinen, denn dein $R'(S)$ ist gerade $S$. \quoteoff Stimmt, es leuchtet ein, dass $R'(S)=S$ gilt. Aber wie würde ich die Argumentation dann formal notieren? Wenn ich Menge nur in der Art $M_A=\lbrace x \in M | A(x) \rbrace$ angeben darf, dann brauche ich ja stets eine (angenommene) Obermenge. Mit welcher Menge führe ich dann die Argumentation ($R'(S)$ oder $S$)? Und was ist dann meine Obermenge?


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  Beitrag No.13, eingetragen 2019-01-16

Du hast doch $S$ schon als die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, angenommen. Das ist also eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle Mengen $X$ gilt: $X \notin X \iff X \in S$. Das Komprehensionsaxiom brauchst du überhaupt nicht zu bemühen.


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-16

\quoteon(2019-01-16 15:08 - tactac in Beitrag No. 13) Du hast doch $S$ schon als die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, angenommen. Das ist also eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle Mengen $X$ gilt: $X \notin X \iff X \in S$. Das Komprehensionsaxiom brauchst du überhaupt nicht zu bemühen. \quoteoff Aber wenn ich das Mengenbildungsaxiom übergehe, bin ich nicht dann wieder genau bei der Russellschen Antinomie, wie sie zum Anfgang des Threads dargestellt wurde? Oder wie würdest du damit argumentieren? Tut mir leid, falls ich ein "bisschen" auf dem Schlauch stehe.


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tactac
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  Beitrag No.15, eingetragen 2019-01-17

Nochmal deutlich: Axiome verhindern nichts, sondern ermöglichen nur. "Axiome übergehen" (ich interpretiere das mal als "nicht anwenden") ist also gut! Frege dachte, dass man das naive Komprehensionsaxiom(enschema) postulieren kann, das sagt, dass jede Klasse von Mengen eine Menge ist. Russel zeigte mit $\{x \mid x \notin x\}$, dass dem nicht so ist. Um diese Möglichkeit der Erzeugung von Widersprüchen auszuschließen, wird **statt** des naiven Komprehensionsaxioms eine Reihe anderer postuliert, unter anderem das, das du als "das moderne Mengenbildungsaxiom" bezeichnest. Alle Widersprüche werden dadurch nicht garantiert verhindert, nur u.a. Russels konkreter Weg ist nicht mehr erlaubt.


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-20

Danke! :-) Nun hat sich wirklich alles geklärt.


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Amboss hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Amboss hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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