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Funktionentheorie » Integration » Cauchy-Integralformel mit (w-z)^(m+1)
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Universität/Hochschule Cauchy-Integralformel mit (w-z)^(m+1)
Potheker
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  Themenstart: 2019-01-13

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/49091_chrome_2019-01-13_11-38-51.png Also dass wir es hier mit einer abgewandelten Form der CIF zu tun haben ist mir schon aufgefallen, aber ich finde keinen Weg den Beweis der CIF darauf zu übertragen.


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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-13

Ein Ansatz wäre: \[0=ind\ldots - \frac{1}{2\pi i}\int\ldots =\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f^{(m)}(z)}{m!(z-w)}-\frac{f(w)}{(z-w)^{m+1}}dw\] Dann zeige, dass der Integrand auf $\Omega$ holomorph ist.


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Potheker
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13

Ich habe jetzt anhand der CIF definiert g(z):=Ind_\gamma(z)*f(z)=1/(2*pi*i)*int(f(w)/(w-z),w,\gamma,) Dann ist auf Zusammenhangskomponenten von \Omega \\(\gamma(I)) also g(z) = c*f(z) und somit (laut einem Lemma) c*f^(n)(z)=g^(m)(z)=m!/(2*pi*i)*int(f(w)/(w-z)^(m+1),w,\gamma,) Das müsste hinhauen oder?


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Ex_Senior
  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-13

Da ist noch eine Lücke. $ind_\gamma(z)$ ist lokalkonstant. OK. Aber wie kommst Du an den Wert für $c$.


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Potheker
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13

\quoteon(2019-01-13 13:51 - TomTom314 in Beitrag No. 3) Da ist noch eine Lücke. $ind_\gamma(z)$ ist lokalkonstant. OK. Aber wie kommst Du an den Wert für $c$. \quoteoff Das war eher nur eine Beweisskizze, in meiner Lösung habe ich dann am Anfang ein z aus omega ohne delta genommen habe, dann eben nicht die Fkt. g sondern g eingeschränkt auf die entsprechedne Zusammenhangskomponente, und diese ist dann eben als c*f mit c=Ind... definiert. Dadurch konnte ich entsprechend Ableiten und am Ende dann Ind... wieder einsetzen


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Ex_Senior
  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-13

So richtig schlau werde ich aus Deiner Beschreibung nicht. Zu #2 habe doch noch ein paar Anmerkungen. \quoteon Ich habe jetzt anhand der CIF definiert g(z):=Ind_\gamma(z)*f(z)=1/(2*pi*i)*int(f(w)/(w-z),w,\gamma,) \quoteoff Im Integral sollte eigentlich $\frac{f(z)}{w-z}$ stehen. Falls Du mit $f(w)$ dort arbeitest, ist irgendetwas faul. \quoteon ... =g^(m)(z)=m!/(2*pi*i)*int(f(w)/(w-z)^(m+1),w,\gamma,) \quoteoff Wie bildest Du hier die Ableitung? Das ist ja gerade das, was gezeigt werden soll.


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