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Universität/Hochschule Stochastik
Paidia
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-18


Hallo, ich beschäftige mich gerade mit dem folgenden Beispiel.

Zuerst
Corollary:
Suppose $\mathcal{A}$ is a linear subspace of $\mathcal{C}([a,b])$, and $\mathcal{A}$ contains constant functions. Suppose $f,g\in\mathcal{A}$ are two functions satisfying
(i) f is strictly increasing,
(ii) $\frac{g(x)-g(y)}{f(x)-f(y)}$ is strictly increasing in $x\neq y$ $\forall y$.
Then $\overline{\mathcal{A}_{m}}=\mathcal{C}(X)$ ($\mathcal{A}_{m}$ is dense in $\mathcal{C}(X)$). ($\mathcal{A}_{m}=\lbrace f : f(x)=\min_{1\leqslant i\leqslant n} f_{i}(x),\nobreakspace f_{i}\in\mathcal{A},\nobreakspace n\in\mathbb{N}\rbrace$)

Remark:
If f and g are twice differentiable, (i) and (ii) reduce to $f^{\prime}>0$ and $\left(\frac{g^{\prime}}{f^{\prime}}\right)^{\prime}>0$.

Beispiel:
Suppose a random variable $s$ has cumulative distribution function $s^{\nu}$ for $s\in[0,1]$. An economic agent who knows $\nu$ is to be offered a menu $\lbrace z_{i}\rbrace$ of payments. This agent chooses the charge with the least expected value:
$p(\nu)=\min_{1\leqslant i\leqslant n}\int_{0}^{1}z_{i}(s)\nu s^{\nu-1}ds$.
Is the set of such charges dense in $\mathcal{C}([0,1])$? That is, if the agent's value of an object for sale is $\pi(\nu)$, is there a manu $\lbrace z_{i}(s)\rbrace$, that approximately charges the agent his value? The answer is yes. Consider
$\mathcal{A}=\lbrace f:f(\nu)=\int_{0}^{1}z(s)\nu s^{\nu-1}ds,\ \ z\in\mathcal{C}([0,1])\rbrace$.
Note that $\mathcal{A}$ contains constant functions (using $z=1$), $f(\nu)=\nu/(\nu+1)$ (for $z(s)=s$), and $g(\nu)=\nu/(\nu+2)$ (for $z(s)=s^{2}$). It is easily verifield that $f$ and $g$ satisfy the hypotheses of the corollary, so $\overline{\mathcal{A}_{m}}=\mathcal{C}([0,1])$.

Mir ist hier leider vieles unverständlich.
1. Die Zufallsvariable s liegt in [0,1]. Was bedeutet das?
2. Wie kommt man auf $p(\nu)=\min_{1\leqslant i\leqslant n}\int_{0}^{1}z_{i}(s)\nu s^{\nu-1}ds$, bzw. was bedeutet das genau in eigenen Worten ausgedrückt?
3. Is the set of such charges dense in $\mathcal{C}([0,1])$? Wie sieht denn diese Menge genau aus?
4. That is, if the agent's value of an object for sale is $\pi(\nu)$, is there a manu $\lbrace z_{i}(s)\rbrace$, that approximately charges the agent his value? Diese Frage ist für irgenwie unverständlich. Was will man mit ihr ausdrücken?

Falls sich das jemand von euch anschauen möchte und mir meine Fragen (auch wenn nicht alle) beantworten kann, wäre ich euch sehr dankbar.



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-18


Huhu Paidia und herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten!

Bevor wir zu den Detailfragen kommen, würde es vermutlich helfen, wenn Du den Kontext noch ein wenig ausführst.

Z.B. beginnst Du mit dem Zitat eines Korollars. Darin kommt etwa $X$ vor, was sicher im eigentlichen Satz erklärt wird - hier könnten wir nur mutmaßen. Auch erscheint mir die Indexierung durch $m$ im Ausdruck $\mathcal{A}_m$ ohne weiteren Kontext völlig unnötig und willkürlich.

Vermutlich bewegst Du Dich im Bereich der Auktionstheorie und damit in einem wirtschaftswissenschaftlichen Kontext. Die Gefahr, dass auch der Kontext nicht alle Fragen in einem für Mathematiker befriedigenden Maße klärt, ist also durchaus hoch...

Um Dich aber nicht nur mit einem "Arbeitsauftrag" abzuspeisen, versuchen wir einmal, ein paar Mutmaßungen zu Deinen Fragen:

1. Ich lese das so: $S:\Omega\rightarrow [0,1]$ ist eine Zufallsvariable, ($s$ wäre dann eine Realisation), deren Verteilungsfunktion (mit einem reellen Parameter $\nu >0$) lautet $F_S(s)=s^\nu$.

2. Dies bedeutet nur, das der Agent seine erwarteten Kosten minimiert. Für eine Strategie $z_i$ sind die erwarteten Kosten $\mathbb{E}_S(z_i)=\int \limits_0^1 f_S(s) z_i(s) ds = \int \limits_0^1 \nu s^{\nu-1} z_i(s) ds$. Unter den $n$ möglichen Strategien wählt der Agent diejenigen mit den minimalen Kosten, welche gerade $p(\nu)$ betragen.

3. So wie ich das verstehe, ist $\mathcal{A}$ hier schlicht der von $\{ z_i \}$ aufgespannte Unterraum von $C([0,1])$.

4. Das interpretiere ich so: Hat ein Agent ein Nutzenprofil $\pi(\nu)$ für ein Gut, kann man dann einen Mechanismus (eine Auktion) mit endlich vielen (reinen) Strategien/Handlungsmöglichkeiten $z_i$ entwerfen, so dass die Abweichung der unter $S$ zu erwartenden Kosten (für jede auch gemischte Strategie) zum Wert/Nutzen des Gutes beliebig klein wird.

Hoffentlich hilft Dir das ein wenig weiter; andererseits können wir Dir sicher besser helfen, wenn Du (deutlich...) mehr Kontext zu den Fragen zur Verfügung stellen kannst und noch einmal überprüfst, auch alles korrekt und vollständig wiedergegeben zu haben.

lg, AK.





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Paidia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-18


Hallo AnnaKath, vielen Dank für deine Antwort.
Sorry, bei X habe ich mich verschrieben, das soll [0,1] heißen.
$\mathcal{A}_{m}$ bezeichnet den Abschluss bezüglich Minima:
For $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{C}(X)$, $X$ is a compact metric space, define the closure under minima:
$\mathcal{A}_{m}=\lbrace f : f(x)=\min_{1\leqslant i\leqslant n} f_{i}(x),\nobreakspace f_{i}\in\mathcal{A},\nobreakspace n\in\mathbb{N}\rbrace$

Villeich ist das Folgende, was vor dem Beispiel steht, auch noch hilfreich:
Suppose the value $\nu$ of an object for sale is correlated to an observable $s$. Let $f(\frac{s}{\nu})$ be the density of $s$, given $\nu$. Suppose the potential buyer, but not the seller, knows $\nu$. Can the seller on average charge the potential buyer his value $\nu$?
This reduces to solve the equation:
$v=\int_{S}z(s)f(s/\nu)ds$,
where $z(s)$ is the price charged when the outcome $s$ arises. Assume $s$ is a draw from a compact metric space $S$.
If the seller offers the buyer a set $\lbrace z_{1},...,z_{n}\rbrace$ of price functions, and lets the buyer choose the one he likes best (i.e., which minimizes the expected price) the seller will learn, on average,
$p(\nu)=\min_{1\leqslant i\leqslant n}\int_{S}z_{i}(s)f(s/\nu)ds$.
This requires that $p(\nu)$ be no greater than the buyer's value, $\nu$, so that the buyer is willing to participate in this schema.
$\mathcal{R}=\lbrace\int z(s)f(s/\cdot)ds: z\in\mathcal{C}(S)\rbrace$,
then the seller can charge the buyer his value (on average) precisely when the identity is in $\mathcal{R}_{m}$. Obviously, the seller can get arbitrarily close if $\overline{\mathcal{R}_{m}}=\mathcal{C}([0,\overline{\nu}])$, where the value falls in  $[0,\overline{\nu}]$. Note that $\textbf{1}\in\mathcal{R}$ since $f(\cdot/\nu)$ is a density.

Hier versteh ich leider einiges auch nicht:
1. Was ist mit Assume $s$ is a draw from a compact metric space $S$. gemein, ist s ein Ergebniss eines Zuges aus $S$?
2. Das when the identity is in $\mathcal{R}_{m}$ ist mir auch nicht klar.
3. Was heißt $\overline{\nu}$?



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-18


Huhu Paidia,

ich verstehe zwar nun (hoffentlich) ein bisschen besser, worum es hierbei überhaupt geht, aber leider ist dies nicht gerade mein Spezialgebiet; vielleicht versuchen wir uns gemeinsam ein wenig der Textpassage zu nähern. [Es würde im Übrigen helfen, wenn Du das Werk, aus dem der Text stammt, angeben könntest].

2019-01-18 14:54 - Paidia in Beitrag No. 2 schreibt:
This reduces to solve the equation:
$v=\int_{S}z(s)f(s/\nu)ds$,
where $z(s)$ is the price charged when the outcome $s$ arises.
Anstelle von $f(s/\nu)$ meinst Du vermutlich die bedingte Dichte $f(s|\nu)$? Und - was bedeutet $v$? Du meinst vielleicht $\nu$, dann kann ich einen gewissen Sinn darin erkennen: Löst $z$ diese Gleichung, so hat der Verkäufer eine anreizkompatible Auktion geschaffen, in dem der Bieter incentiviert ist, seinen (wahren) Objektwert zu bieten.

2019-01-18 14:54 - Paidia in Beitrag No. 2 schreibt:
Hier versteh ich leider einiges auch nicht:
1. Was ist mit Assume $s$ is a draw from a compact metric space $S$. gemein, ist s ein Ergebniss eines Zuges aus $S$?
2. Das when the identity is in $\mathcal{R}_{m}$ ist mir auch nicht klar.
3. Was heißt $\overline{\nu}$?
1. Ich lese das so: $S$ ist eine Zufallsvariable, die abhängig von (nur dem Verkäufer bekannten) Objektwert $\nu$ (selber eine Zufallsvariable!) ist, und die der Verkäufer beobachten kann (ihre Realisation heisst hier $s$). Im Sinne der Prinzipal-Agent-Theorie handelt es sich dabei wohl um ein Signal des Agenten (Käufers) an den Prinzipal (Verkäufer).

2. $\mathcal{R_m}$ ist ein Raum von (stetigen) Funktionen $z:\mathcal{S}\rightarrow \mathcal{S}$ (auf dem kompakten metrischen Raum $\mathcal{S}$). Insbesondere ist $id: \mathcal{S}\rightarrow \mathcal{S}$ mit $id(x)=x$ eine stetige Funktion. Die Aussage sagt also, dass es (genau dann) ein anreizkompatibles $z$ für den Verkäufer gibt, wenn $id\in \mathcal{R}_m$ gilt. Das ist eigentlich nur eine Formalisierung der verbalen Aussage.

3. $\overline{\nu}$ ist einfach eine reelle Zahl (deren mögliche Werte sich aus der Struktur von $\mathcal{R}_m$ ergbeben). Ist diese größer als der Objektwert $\nu$, so kann der Verkäufer eine anreizkompatible Auktion gestalten.

lg, AK



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Paidia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-18


Danke, dass du antwortest. Ich werde mir deine Antwort jetzt anschauen und meld mich dann.

Es ist ein Artikel, der unter
authors.library.caltech.edu/81084/
zu finden ist.



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Paidia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-18


Wow, danke nochmals.

Jetzt versteh ich nicht so ganz, wer der Bieter ist. Der Käufer?

Versteh ich eventuell den Satz:
Can the seller on average charge the potential buyer his value $\nu$?
falsch. Ich übersetze ihn so:
Kann der Verkäufer dem potentiellen Käufer durchschnittlich den Wert $\nu$ in Rechnung stellen?. Irgendwie ergibt das keinen Sinn.

Und $\nu$ ist nur dem Käufer bekannt und nicht dem Verkäufer, was auch ziemlich irritierend ist.



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-18


Huhu Paidia,

zunächst: Ja, Bieter=Käufer.

Vielleicht hilft Dir eine generelle Anmerkung zu dem Gebiet aus dem die Beispiele des Artikels (Danke für den Link; ich denke ich verstehe nun, warum es geht!) gewählt sind:

Stell Dir vor, Du hast einige (extrem kitschige, aber wertvolle) Erbstücke und möchtest diese veräußern, z.B. in einer Online-Auktion. Natürlich möchtest Du möglichst viel Geld für den Krempel erhalten.
Ich bin (vielleicht einzige - die Erbstücke sind ja sehr hässlich) die potentielle Käuferin. Natürlich werde ich den Teufel tun und Dir verraten, wie viel Geld (d.i. $\nu$) ich wirklich bereit wäre, für das gerade betrachtete Ding zu zahlen.

Die Frage, die sich Dir stellen sollte, ist nun die: Wie kannst Du versuchen, das Bietverfahren so zu gestalten, dass Du möglichst viel Geld für alle Stücke erhältst.

Du versuchst also, die Auktionen so zu gestalten, dass ich möglichst das zahle, was mir der gesamte Nachlass wert ist - im Erwartungswert also jeweils $\nu$ für jedes einzelne Stück zahle.

Genau das ist mit dem Satz (den Du durchaus richtig übersetzt hast) gemeint:

Kannst Du also das Bietverfahren so gestalten, dass ich im Erwatungswert ("Mittel") gerade meinen (Dir nicht bekannten) Wert für ein Gut zahle? Die Antwort wird in dem Artikel gegeben; wobei rein praktisch natürlich fraglich ist, wie Du mich dazu bringen kannst, etwas über meine private Information - also das $S$ zu offenbaren. Allerdings hilft hier im Zweifel das Übliche: Erpressung und Einschüchterung - bzw. die Drohung, einfach gar nichts zu veräußern! :)

lg, AK.



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Paidia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-18


Ich schau mir gerade die Prinzipal-Agent-Theorie an, Prinzipal ist doch dann der Käufer und Agent ist der Verkäufer. Dann müsste ja $\nu$ dem Verkäufer bekannt sein, wie du, AnnaKath geschrieben hast, leider steht das aber im Text umgekehrt, dass $\nu$ dem Käufer bekannt ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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Paidia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-18


:)
Voll gut!
Einen großen Dank dir!

Ich schau mir das alles dann morgen nochmal an und versuch mir dann ein vollständiges Bild daraus zu machen.

Du hast mir wirklich weiter geholfen.



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AnnaKath
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2019-01-18 17:59 - Paidia in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich schau mir gerade die Prinzipal-Agent-Theorie an, Prinzipal ist doch dann der Käufer und Agent ist der Verkäufer. Dann müsste ja $\nu$ dem Verkäufer bekannt sein, wie du, AnnaKath geschrieben hast, leider steht das aber im Text umgekehrt, dass $\nu$ dem Käufer bekannt ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]

Huhu,
nur eine kurze Anmerkung: Der Agent ist hier der Käufer (d.i. immer derjenige im Besitz von privater Information), der Verkäufer der Prinzipal (also derjenige, der etwas von dem Agenten möchte aber in dem Dilemma steckt, dass er die private Information/Eigenschaft/Absicht des Letzteren nicht kennt).
lg, AK.



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Paidia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-18


Ah, ok.
Dankeschön!:)



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