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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Skelett der Kategorie vect_k
Autor
Universität/Hochschule J Skelett der Kategorie vect_k
Pauline124
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 10
  Themenstart: 2019-02-12

Hey Ihr Lieben, ich beschäftige mich gerade mit der Kategorie $\mathrm{vect_k}$ aller Vektorräume über einem Körper $k$. Im Netz habe ich jetzt an einigen Stellen gefunden, dass diese äquivalent zu ihrem Skelett ist, welches aus den Vektorräumen $k^n$ besteht. Dabei ist $n$ manchmal aus $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ und manchmal eine Kardinalzahl. Dazu habe ich folgende Fragen: 1) Was ist richtig, $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ oder Kardinalzahl? Macht das einen Unterschied, wenn ja welchen? 2) Ich möchte dies für einen anderen Beweis nutzen in dem ich dann brauche, dass für jedes $V \in \mathrm{vect}_k$ gilt $V \otimes X = k^n \otimes X = X^{\oplus n}$. Dies ergibt für mich Sinn, wenn $n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$. Wenn es eine Kardinalzahl ist, sind dann nicht auch "unendliche" Zahlen da drin? (Diese Frage geht also praktisch zurück auf 1)) 3) Wie zeigt man, dass dies das Skelett ist? Bzw. wieso spannt dieses Skelett auch die unendlich-dimensionalen Vektorräume auf? Für endlich-dimensionale ist mir klar, dass man einen Isomorphismus zu $k^n$ findet. Aber ich verstehe nicht, wie dieses Skelett auch die unendlich-dimensionalen VR abdecken kann, s.d. die beiden Kategorien äquivalent sind. Ich hoffe, die Fragen waren verständlich gestellt und jemand kann mir helfen :) Vielen Dank im Voraus! Lg


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xiao_shi_tou_
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-12

\(\begingroup\)\(\) Hallo Pauline124. Seien \(\kvec\) und \(\fkvec\) jeweils die Kategorien der \(k\)-Vektorräume und der endlich-dimensionalen \(k\)-Vektorräume. Sei \(k^\infty\) die volle Unter-Kategorie von \(\kvec\) deren Objekte von der Form \(k^\alpha\) sind wo \(\alpha\) eine Kardinalzahl ist und \(k^{fin}\) die volle Unter-Kategorie von \(\fkvec\) deren Objekte von der Form \(k^n\) sind fuer eine natürliche Zahl \(n>0\). Es ist offensichtlich, dass diese beiden Kategorien skelletal sind (dass heißt, dass isomorphe Objekte bereits identisch sind). Es ist dann \(k^\infty\) ein Skellet von \(\kvec\) und \(k^{fin}\) ein Skellet von \(\fkvec\). Deine Kernfrage war, ob \(k^{fin}\) ein Skellet von \(\kvec\) sein kann. Das ist nicht möglich, denn obwohl \(k^{fin}\) eine volle skelletale Unterkategorie von \(\kvec\) ist, sind die beiden Kategorien nicht äquivalent: Die Inklusion ist nicht essentiell surjektiv: Ein unendlich dimensionaler Vektorraum kann nicht isomorph zu einem Vektorraum der Form \(k^n\) sein. Genau das verlangt aber die Definition von "essentiell surjektiv", nämlich dass jedes Objekt in \(\kvec\) isomorph ist zu einem Objekt in \(k^{fin}\). Beantwortet das deine Fragen?

Warnung

Die Begriffe "skelletal" und "Skellet" haben verschiedene Bedeutungen! Gruß
\(\endgroup\)


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Pauline124
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-13

Hallo xiao_shi_tou_, Vielen Dank für deine Antwort. Das beantwortet meine Frage, allerdings dazu noch eine kleine weiterführende Sache: In http://mathserver.neu.edu/~jose/TannakianCats.pdf unter 2.12. macht er im Prinzip das, was mich interessiert und geht von $n \in \mathbb{N}$ aus. Kann ich wenn $\alpha$ eine Kardinalzahl ist, folgendes definieren: $V \otimes X = k^\alpha \otimes X = X^{\oplus \alpha}$? Dann könnte ich den Beweis auf diesen Fall erweitern. Viele Grüße, Pauline


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xiao_shi_tou_
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-13

\(\begingroup\)\(\) Hi. Mit diesem Thema kenne ich mich (noch) nicht aus, aber wenn \(X\) ein \(k\)-Vektorraum ist und \(V\cong k^\alpha\), dann folgt aus der Distributivität des Tensorprodukts: \(V\otimes_k X\cong k^\alpha\otimes_k X=(\bigoplus_\alpha k)\otimes_k X\cong\bigoplus_\alpha(k\otimes_k X)\cong \bigoplus_\alpha X=X^{\oplus\alpha}\). Ob man das für die Konstruktion in deinem Beweis sinnvoll einsetzen kann weiß ich noch nicht, da ich auch nur ein Laie bin. Grüße\(\endgroup\)


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