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Schulmathematik » Geometrie » Volumen eines Kegelstumpfes in Abhängigkeit von der Höhe
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Universität/Hochschule J Volumen eines Kegelstumpfes in Abhängigkeit von der Höhe
sYc
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  Themenstart: 2019-02-21

Guten Morgen zusammen, Ich bin etwas verwirrt, da ich mir keinen Reim auf eine eigentlich einfach scheinende Schulaufgabe machen kann. Es geht darum, dass man einen Eimer gegeben hat mit oberem und unterem Durchmesser, sowie der Höhe. Im ersten Teil der Aufgabe berechnet man das Volumen. Im zweiten Teil ist nun gefragt, wie hoch das Wasser steht, wenn der Eimer 8l Wasser enthält. Ich habe es selbst versucht und bin gescheitert, da ich am Ende auf eine kubische Gleichung kam. Ohne jetzt groß zu rechnen und hier zu texen, erstmal die Frage, ob mein Vorgehen richtig ist, oder es auch einfacher geht. Ich finde es schon ziemlich happig, wenn sowas z.B. in einer Arbeit drankommen würde. 1. Ermittle mit Hilfe des Strahlensatzes die Höhe h des Hilfskegels 2. Berechne Volumen des Hilfskegels 3. Stelle Volumenformel des Kegels in Abhängigkeit der Höhe auf, wieder mit Hilfe des Strahlensatzes 4. Berechne Volumen, indem man den Hilfskegels von dem in 3. berechnete Volumen des Kegels mit variabler Höhe abzieht. So müsste nur das Volumen des Eimers übrig bleiben, jedoch kommt bei mir durch den Strahlensatz eine Addition raus, wenn ich den Radius mit Hilfe der Höhe darstellen möchte. Setze ich diese in die Formel ein, wird sie quadriert und dann nochmal mit der Höhe multipliziert, die in der Addition vorkommt. Macht für mich eine kubische Gleichung. Habe noch andere "Lösungen" gefunden, bei denen verschiedene Summen von Volumina in Abhängigkeit der Addition der Höhen gesetzt wurden, aber das kam im Stoff noch nicht dran. Sorry für das verbale umschreiben, aber es ist spät und ich habe mich noch nicht mit dem Latextemplate auseinandergesetzt. Werde es morgen mal formalisieren, damit man besser sieht, was ich meine. Eventuell findet ihr schon einen Fehler in meiner Argumentation, denn es ist eine 9. Klasse Aufgabe... Sollte nicht so kompliziert sein. MfG sycx2


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-21

Hallo, um dir die Frage sinnvoll zu beantorten, sollten wir den genauen Aufgabentext kennen. Was ich auch nicht verstehe: erst sprichst du von einem Kegelstumpf, dann von Hilfszylindern. Also wie gesagt, da bleibt zu viel im Unklaren. Sagen kann man aber jetzt schon, dass es bei einer solchen Aufgabenstellung nicht ungewöhnlich ist, auf eine kubische Gleichung zu stoßen. Ehedem kam ja der GTR (:=Graphikfähiger Taschenrechner) teilweise schon ab Klasse 8 zum Einsatz, insofern wäre das nicht ganz ungewöhnlich. Um welches Bundesland geht es denn? Das wäre für die Frage der angedachten Rechenhilfsmittel u.U. auch noch wichtig. Gruß, Diophant


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Kitaktus
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  Beitrag No.2, eingetragen 2019-02-21

Wenn Du "Zylinder" schreibst, meinst Du eigentlich Kegel, oder? Ja, man kommt auf eine kubische Gleichung. Die ist aber gutmütig, wenn man umgedreht eine Formel für das Volumen der abgeschnittenen Kegelspitze aufstellt. Die Höhe h' dieser Kegelspitze geht auch kubisch in das Volumen ein, aber ohne Terme niederer Potenzen, so dass man einfach nach h' auflösen kann. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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sYc
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21

Vielen Dank erstmal für die Antworten. Wie gesagt, war sehr spät xD Ja es sollte natürlich Kegel heißen. Hier einmal die genaue Aufgabenstellung und was ich gemacht habe. Ein Eimer hat die Form eines Kegelstumpfes. Der untere Durchmesser beträgt 18 cm, der obere Durchmesser 22 cm und die Höhe 32 cm. Wie viele Liter fasst der Eimer? Wie hoch steht das Wasser im Eimer, wenn 8 Liter eingefüllt wurden. Also zu den Bezeichnungen: \ r = unterer Radius = 9cm R = oberer Radius = 11cm h_e = Höhe des Eimers h = Höhe des Hilfskegels mit Radius r h_f = Höhe des gefüllten Eimers r_f = Radius des gefüllten Eimers. Strahlensatz liefert: R/r = (h+h_e)/h => h = rh_e/(R-r) = 9*32/2 cm = 144 cm. Damit haben wir die Höhe des Hilfskegels. Nun wenden wir wieder den Strahlensatz an, um r_f mit Hilfe von h_f auszudrücken: r_f/r = (h_f+h)/h => r_f = r*(h_f+h)/h = 9*(h_f+144)/144 = 1/16 h_f + 9. Nun können wir das Voluemn des Eimers als Differenz der Volumina des gefüllten Kegels und des Hilfskegels schreiben: V_f = V_(Z_r_f) - V_(Z_r), wobei Z_r den Kegel mit Radius r meint und V_f das Volumen des Kegelstumpfes bis zur Füllhöhe h_f, das gegeben ist durch V_f = 8l. => V_f = 1/3 \pi r_f^2 h_f - 1/3 \pi r h = 1/3 \pi ((1/16 h_f + 9)^2 h_f - 1296\pi) = 1/3 \pi ((1/256 h_f^3 + 9/8 h_f^2 + 81 h_f + 1296\pi) => (3V_E/\pi)-1296\pi = 1/256 h_f^3 + 9/8 h_f^2 + 81 h_f Nun rechnen wir 3V_E = 3*8l = 3000cm^3 damit die Einheiten passen => 24000/\pi -1296\pi = 1/256 h_f^3 + 9/8 h_f^2 + 81 h_f. => 3567.933 = 1/256 h_f^3 + 9/8 h_f^2 + 81 h_f. So, ich hoffe ich habe mich auf die Schnelle nicht verrechnet, sieht aber für mich nicht so gutmütig aus xD Und soweit ich weiß, steht kein fähiger Taschenrechner zur Lösung. Vllt. ist das aber der Grund, warum die Aufgabe mit einem * gekennzeichnet ist xD MfG sYc P.S. Befinden uns in NRW. @Kitaktus, siehst du warum (meiner Meinung nach) die kubische Gleichung aufkommt?


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2019-02-21

Hallo, ich glaube, du rechnest zu kompliziert. Ich würde es so machen. - Volumen des Hilfskegels berechnen und 8l hinzuaddieren - Dieses Volumen mit der Formel für das Kegelvolumen gleichsetzen (nennen wir Radius und Höhe dieses Kegels r* bzw. h*) - Zusätzlich das bekannte Verhältnis r*/h* nutzen, um eine Variable zu eliminieren, am besten h* - Damit r*, also den Radius der Flüssigkeitsoberfläche ausrechnen. - Damit und mit dem Radius des Eimerbodens in die Volumenformel für den Kegelstumpf eingehen. Das liefert eine lineare Gleichung für die gesuchte Höhe... EDIT: nein, da war ein Denkfehler drin, bitte den Tipp vergessen, sorry... Gruß, Diophant


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sYc
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21

Danke für die schnelle Antwort;) \ Habe es mal ausprobiert, komme aber nachdem ich die Formel aus dem Strahlensatz nach h^\* = (r^\* * h)/r -h , wie empfohlen umgeformt habe und wieder in die Formel des Stumpfes V=1/3 pi h^\* ((r^\*)^2 + r^2 + rr^\*) einsetze, wieder auf eine Gleichung dritten Grades oder sehe ich das falsch? P.S. Ich sehe gerade du schriebst - Damit r^\*, also den Radius der Flüssigkeitsoberfläche ausrechnen. Meinst du wirklich ausrechnen? Bleibt da nicht noch h^\* in der Formel? EDIT: Hab wohl mal wieder die Hälfte überlesen xD Du schreibst: - Damit r*, also den Radius der Flüssigkeitsoberfläche ausrechnen. Also Formel für h^\* stimmt. V_K = 12.07l = Volumen des Kegels mit Radius r. V_K + 8l = 1/3 \pi (r^\*)^2 h^\* => (3 * 20.07)/\pi = (r^\*)^2 * ((r^\* h)/r -h) => 19.1654 = (r^\*)^3 * h/r - ((r^\*)^2 * h) Nun stehe ich wieder vor einem Problem oder? LG sYc


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markusv
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  Beitrag No.6, eingetragen 2019-02-21

Der Hilfskegel ist nicht notwendig. Aus der Aufgabenstellung (Stichwort Steigungsdreieck) ergibt sich der Radius \(r_f\) des Füllstandes zu \[r_f = \frac1{16}h_f+9\] oder nach der Höhe umgestellt \[h_f = (r_f-9)\cdot 16\] Daraus lässt sich mit der Gleichung für das Volumen der Füllung \[8000 = \frac{\pi\cdot h_f}3 \cdot (r_f^2+9r_f+9^2)\] \(r_f\) oder \(h_f\) ermitteln. Anscheinend hast du dich beim Umstellen etc. vermacht. Es kommt eine Gleichung der Form \(X = h_f^3\) heraus, welche sich einfach durch Ziehen der dritten Wurzel lösen lässt. \hideon \[(r_f-9)\cdot(r_f^2+9r_f+9^2) = r_f^3 \color{green}{-9r_f^2+9r_f^2}\color{red}{-81r_f+81r_f}-9^3=r_f^3-9^3\] \hideoff


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sYc
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21

\quoteon Daraus lässt sich mit der Gleichung für das Volumen der Füllung \[8000 = \frac{\pi\cdot h_f}3 \cdot (r_f^2+9r_f+9^2)\] \(r_f\) oder \(h_f\) ermitteln. Anscheinend hast du dich beim Umstellen etc. vermacht. Es kommt eine Gleichung der Form \(X = h_f^3\) heraus, welche sich einfach durch Ziehen der dritten Wurzel lösen lässt. \quoteoff Okay wow... Das muss man aber auch erstmal sehen.... Vielen Dank dafür. Dass da ne Art Teleskopsumme rauskommt habe ich nun wirklich nicht erwartet. Habe auch gleich überprüft, ob es Zufall ist, aber es fällt tatsächlich alles weg, zumindest wenn man nach r_f auflöst. Ich schaue gerade mal, ob ich es mit h_f auch hinbekomme. MfG sYc


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  Beitrag No.8, eingetragen 2019-02-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\) Hallo nochmals, @markusv: Sehr schön! Mir ist jetzt doch noch eine andere, sehr einfache Variante eingefallen, die allerdings das Volumen des Hilfskegels benötigt. Sei VH das Volumen des Hilfskegels. Für Kegel mit gleichem Verhältnis r/h ist das Volumen proportional zur dritten Potenz der Höhe. Daraus ergibt sich sofort die folgende Verhältnisgleichung, mit der sich die fragliche Höhe dann leicht berechnen lässt: \[\frac{h_F+144}{144}=\sqrt[3]{\frac{V_H+8000}{V_H}}\] Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]\(\endgroup\)


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sYc
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21

\quoteon(2019-02-21 11:14 - Diophant in Beitrag No. 8) Hallo nochmals, @markusv: Sehr schön! Mir ist jetzt doch noch eine andere, sehr einfache Variante eingefallen, die allerdings das Volumen des Hilfskegels benötigt. Sei VH das Volumen des Hilfskegels. Für Kegel mit gleichem Verhältnis r/h ist das Volumen proportional zur dritten Potenz der Höhe. Daraus ergibt sich sofort die folgende Verhältnisgleichung, mit der sich die fragliche Höhe dann leicht berechnen lässt: \[\frac{h_F+144}{144}=\sqrt[3]{\frac{V_H+8000}{V_H}}\] \quoteoff Wow, auch ne schöne Lösung, wenn man das mit der dritten Potenz weiß...^^ @markusv, sehe ich es richtig, dass ich mit h_f nicht so elegant an eine Lösung komme, sondern den Weg über r_f gehen sollte? Ich meine, nach h_f umgestellt erhalte ich nur eine Summe. Also kein Teleskop möglich, richtig? Habe nämlich mal rumgerechnet und es sieht nicht hübsch aus:D LG sYc


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Kitaktus
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  Beitrag No.10, eingetragen 2019-02-21

Versuche mal nicht nach $h_f$ sondern nach $h_f+h=h_f+144=:h_g$ und $r_f=h_g/16$ aufzulösen. Dann heben sich die gemischten Terme auch auf.


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@sYc: \quoteon(2019-02-21 11:23 - sYc in Beitrag No. 9) Wow, auch ne schöne Lösung, wenn man das mit der dritten Potenz weiß...^^ \quoteoff Aber genau das sollten die Schüler in Stufe 9 schon wissen! Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21

\quoteon(2019-02-21 11:44 - Diophant in Beitrag No. 11) @sYc: \quoteon(2019-02-21 11:23 - sYc in Beitrag No. 9) Wow, auch ne schöne Lösung, wenn man das mit der dritten Potenz weiß...^^ \quoteoff Aber genau das sollten die Schüler in Stufe 9 schon wissen! Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.] \quoteoff Da hast du vollkommen Recht, vor allem, weil es sofort aus der Umformung des Strahlensatzes folgt;) Habe nun 4 Lösungen, die allesamt anders funktionieren. Finde ich echt interessant. Lösung 1(von Diophant): Verhältnis von Volumen und Höhe, sowie Volimen und Radius ist kubisch. Damit kriegt man beides schnell raus mit dem Hilfskegel. Lösung 2 und 3(von markusv): Verhältnisse aus Strahlensatzes in Kegelstumpfformel einsetzen, wobei durch geschicktes Umformen alle Nichtkubischen und Nichtkonstanten Terme wegfallen. Einmal Umweg über r mit Teleskopsumme und bei dem direkten Weg über h den Trick aus Kitaktus Post anwenden, nicht nach h umzuformen. Lösung 4(von Diophant): Deine Lösung klappt doch und zwar wenn man als h_f nun die Höhe des Kegels bezeichnet bis zur Füllhöhe des Eimers und als h die Höhe des Hilfskegel, dann kann man auf diese den Strahlensatzes anwenden und erhält keine Summe mehr. Dann, wie du sagtest Volumen + 8l mit der Volumengleichung mit r_f und h_f, wobei dann r_f durch den einfachen Bruch r*h_f/h ersetzt wird. Das ist auch der Trick an dem man sieht, dass das Volumen und die Höhe in einem kubischen Verhältnis stehen. Vielen Dank an alle für die schnelle Klärung dieses Problems. Ich finde jedoch trotzdem, dass bei der Aufgabe die direkten Wegen schwer zum Ziel führen. Denke, dass die letzte Lösung wohl noch am einfachsten ist, wenn man es denn weiß, bzw. Es durch den Strahlensatzes fix sieht :) MfG sYc P.s. sorry für den fehlenden Fed, aber hab vom Handy geschrieben. MfG sYc


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sYc hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sYc hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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