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 Komplexe Zahlen |
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RogerKlotz
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 147
 |  Themenstart: 2019-03-08
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Hallo. Folgende komplexe Zahlen sollen in der Form \[x+iy=z\] und \[e^{i\varphi} \] dargestellt werden.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51297_Unbenannt21.PNG
a)...hier bekomme ich z=i^k heraus... wie ich das allerdings in die andere Form bringe, weiß ich nicht genau..besonders wegen der Potenz..
b) habe ich leider keine Ahnung.
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Wirkungsquantum
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 812
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-08
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Hallo,
du könntest z=i setzen und dann i erstmal in Polarform umwandeln. Dann ist das potenzieren einfach, und die kartesische Darstellung gelingt daraus dann leicht.
Grüße,
h
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dlchnr
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-08
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\sourceon
i^1 = i = i = cos(1*pi/2) + sin(1*pi/2) i
i^2 = -1 = -1 = cos(2*pi/2) + sin(2*pi/2) i
i^3 = -1 i = -i = cos(3*pi/2) + sin(3*pi/2) i
i^4 = -i i = 1 = cos(4*pi/2) + sin(4*pi/2) i
i^k = = cos(k*pi/2) + sin(k*pi/2) i = e^(i k pi/2)
\sourceoff
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dlchnr
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| Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-08
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\sourceon
z^2 = 1/2 - i sqr(3)/2
z^2 = cos(pi/3) - i sin(pi/3)
z = cos(pi/6) - i sin(pi/6) = e^(-i pi/6)
\sourceoff
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dlchnr
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| Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-09
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Hab' mir mal den fed angeschaut!
i^1 = i = i = cos(1*\pi/2) + sin(1*\pi/2) i
i^2 = -1 = -1 = cos(2*\pi/2) + sin(2*\pi/2) i
i^3 = -1 * i = -i = cos(3*\pi/2) + sin(3*\pi/2) i
i^4 = -i* i = 1 = cos(4*\pi/2) + sin(4*\pi/2) i
i^k = cos(k*\pi/2) + sin(k*\pi/2) i = e^(i*k*\pi/2)
eigentlich ganz einfach - was mich aber stört, dass es offenbar keine Möglichkeit gibt, die Formel "auszurichtem" (also dass z.B. die Gleichheitszeichen untereinander stehen) - oder übersehe ich was?
Mein Eindruck ohne die Ausrichtung: Ich hab' zwar eine schönere Darstellung, aber der casus knạcksus läßt sich nicht so deutlich herausarbeiten!
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,
\quoteon(2019-03-08 19:13 - RogerKlotz im Themenstart)
Hallo. Folgende komplexe Zahlen sollen in der Form \[x+iy=z\] und \[e^{i\varphi} \] dargestellt werden.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51297_Unbenannt21.PNG
a)...hier bekomme ich z=i^k heraus... wie ich das allerdings in die andere Form bringe, weiß ich nicht genau..besonders wegen der Potenz..
\quoteoff
Das ist richtig, wie du zur Exponentialdarstellung kommst, wurde schon beantwortet. Für die arithmetische Darstellung wirst du für k mod 4 eine Fallunterscheidung machen müssen.
\quoteon(2019-03-08 19:13 - RogerKlotz im Themenstart)
b) habe ich leider keine Ahnung.
\quoteoff
Entweder du schaust dir mal Argument und Betrag des Radikanden an und überlegst, was die Quadratwurzel mit beiden macht. Wenn deine Kenntnisse soweit noch nicht reichen, dann versuche folgendes: Setze
\[(x+iy)^2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\]
und bestimme Real- und Imaginärteil durch einen Koeffizientenvergleich. Das führt zwar auf ein nichtlineares Gleichungssystem, welches aber leicht lösbar ist.
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
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dlchnr
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Wohnort: Aalen, DE
| Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-09
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Wurde eigentlich auch schon im Beitrag No. 3 beantwortet -
Zwischenschritte sollten damit herleitbar sein!
z^2 = 1/2 - i sqrt(3)/2
z^2 = cos(\pi/3) - i sin(\pi/3)
z = cos(\pi/6) - i sin(\pi/6) = e^(-i * \pi/6)
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