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Mathematik » Geometrie » Aperiodische Parkettierung mit geteilter "Ivy leaf"-Kachel
Thema eröffnet 2019-03-13 14:46 von Slash
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Universität/Hochschule Aperiodische Parkettierung mit geteilter "Ivy leaf"-Kachel
Slash
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  Beitrag No.200, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16

Echt klasse, haribo! Vielleicht könnte man diesen Spiralabschnitt sogar durch eine einfache Funktion darstellen.


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haribo
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  Beitrag No.201, eingetragen 2021-05-16

Archimedische Spirale kannst du bei Wiki ne Funktion nachlesen, aber die enden und Ausrichtung muss man so finden...


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haribo
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  Beitrag No.202, eingetragen 2021-05-17

https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_kach-011.PNG ...


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haribo
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  Beitrag No.203, eingetragen 2021-05-25

die suche nach einer vereinfachung der form geht weiter, derzeit versuch ich die kleinste berührstelle zu vergrössern, ziemlich komplizierte bedingungen immer noch https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_kach-012.PNG das geht derzeit zu lasten der engsten stelle, aber immerhin der untere rechte geometriepunkt liegt jetzt das erster mal ausserhalb des konstrukts, das erschien mir bisher für undenkbar... https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_kach-013.PNG


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Slash
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  Beitrag No.204, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-25

weiterhin sehr spannend die sache, bin gespannt was für eine form letztlich herauskommt.


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haribo
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  Beitrag No.205, eingetragen 2021-05-25

kleine verbesserungen: anschluss 0.97 schmalste stelle ~0.2 gerne würde ich 1; 0.5 erreichen der markierte anschluss im gelben feld ist jetzt das erste mal nach innen gewölbt das scheint geschickter zu sein https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_kach-014.PNG [Die Antwort wurde nach Beitrag No.203 begonnen.] immerhin gegenüber den ersten ist die form extrem vereinfacht, als einfachkeits-massstab könnte man die wechsel von konkav zu konvex zählen wenn man einmal die kontur des roten entlangfährt, da bin ich jetzt bei 8 oder 10 (konzentration is grad futsch) mal wechseln... und anfangs wars deutlich >20 eine jing-jang form oder eine mondsichel hat solche wechsel 2 mal; ein kreis oder ellipse gar keine


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haribo
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  Beitrag No.206, eingetragen 2021-05-25

eigendlich wäre ein numerischer ansatz fällig: sozusagen roten pixel für roten pixel jeweils die beiden rotationen von rot nach gelb (-23° um den oberen rechten pkt) und von rot nach blau (180° um die halbe höhe) ausführen, und als nächstes immer geschickt einen benachbarten pixel wählen bis es zu eng wird, damit müsste man die gemessenen werte und gleichzeitig eine form schlüssig anpeilen können selbstbildend wie wenn man gleichzeitig in dieser geometrie drei luftbalons aufblasen würde, sozusagen aber dass kann ich leider nicht haribo


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haribo
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  Beitrag No.207, eingetragen 2021-05-25

variante NR 15, das soll meine finale form sein, meine zielgrössen 1;0.5 sind nahezu erreicht https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_kach-015.PNG die konstruktion der kontour ist rechts erläutert: ein spline entlang der knotenpunkte eines spinnenetzes(?), also weitgehend entlang einer archimedischen spirale wird unten zum mittelpunkt herausbegradigt, das fehlende randstück rechts (im blauen feld oben zwischen den beiden roten gleichlangen linien dargestellt, ist eine kopie des linken randabschnittes welcher nach rechts kopiert wurde) alles andere sind dann jeweils rotationen um die beiden roten geometrie-punkte mit 23° bzw 180° damit hat die kontourlinie wohl nur noch 6 wendestellen, wechsel zwischen konkav-konvex eine wirkliche begründung warum die schmalste stelle ungefähr diesen wert hat habe ich bisher nicht gefunden ich denke aber das dieses ergebniss gegenüber dem in den ecken modifizierten voderberg tile #179 einen echten schritt weiter gekommen ist haribo


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  Beitrag No.208, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-26

\quoteon(2021-05-25 22:53 - haribo in Beitrag No. 207) ich denke aber das dieses ergebniss gegenüber dem in den ecken modifizierten voderberg tile #179 einen echten schritt weiter gekommen ist \quoteoff Ja, eine echte Evolution.


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  Beitrag No.209, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-26

Ich habe Casey Mann mal den Link zu diesem Thread geschickt. Mal sehen, ob er antwortet. 😎


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  Beitrag No.210, eingetragen 2021-05-26

ja , das ist nett. haribo


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  Beitrag No.211, eingetragen 2021-05-28

guck a mal, die rote kachel ist eindeutig durch die beiden formgleichen vollständig umschlossen, wenn auch nicht lückenlos, aber war das wirklich gefordert? müssen wir "surroundet" exakter definieren? https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_kach-016.PNG


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  Beitrag No.212, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-28

Nein, "surrounded" ist bereits eindeutig definiert. Es muss zu jedem äußeren Punkt der inneren Kachel einen Berührpunkt mit den äußeren Kacheln geben. Alle Kacheln zusammen müssen dabei aber keine "topologische Scheibe" bilden, d.h. es dürfen Löcher und Öffnungen enthalten sein. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_35059_kach-016.PNG Ansonsten wäre das die einfachste Lösung. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_surrounded_bsp2.jpg


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  Beitrag No.213, eingetragen 2021-05-28

ach, doch so einfach ein U... da kann ich länger herumprobieren, aber klar es gibt hüllen bei denen das innere sogar lose ist https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_kach-017.PNG


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  Beitrag No.214, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-28

Ich frage mich noch, ob so eine Umrundungseigenschaft hilfreich für die Suche nach einem Monoteil wäre.


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Die Antwort ist eingetroffen: Hi Mike, Thanks for the message! That is pretty neat! It is a different construction than I’ve seen before. I have wondered if there is a shape that is genuinely different than the Voderberg shape that has this self surrounding property. This may be a candidate, but on the other hand, I don’t really know what I mean by “genuinely different!" Cye Waldman posted a smoothed out version of the Voderberg tile construction on the listserv that I manage, but I do not think he tried to do something similar with respect to the surround number property. I will post the link you provided to the listserv as I think there will be interested folks there. Regards, Casey


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  Beitrag No.216, eingetragen 2021-06-03

thx, ick weiss ja auch nicht ob es genial anders oder nur modifiziert isch lg haribo


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  Beitrag No.217, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-05

So, habe jetzt meinen "Parkettierungs-Alleingang" beendet. Kannst ja mal reinschauen (hier). Der Artikel wird in Geombinatorics erscheinen. Vielleicht hast du ein paar neue Ideen dazu, z.B. die approximierte Monokachel anders zu designen, um weniger Lücken oder nur leichte Überlappungen zu erreichen. Ich merke bei solchen "Alleingängen" immer, wie sehr mir dein genialer Input fehlt. Aber vielleicht können wir jetzt weiter gemeinsam daran tüfteln. Die "Windmühlen-Lücken" lassen sich fast mit je einer Kachel abdecken, allerdings mit kleinen Lücken und Überlappungen. Das wäre auch ein schöne Lösung, wenn die großen Lücken genau die Form der Kachel hätten. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_variation_monotile_mikematics_mp_2.png \showon Monokachel Maße https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_monokachel_ma_e.png \showoff Hier die Kachel mit "Zähnen und Einkerbungen" wie bei Puzzleteilen. Ist noch nicht ganz perfekt, geht aber. Die Lücken im Parkett bleiben aber gleich groß in ihrer Gesamtheit. Es ist aber nicht ausgeschlossen, doch noch eine ähnliche Form zu finden, die (fast) keine Lücken mehr zulässt, aber diese Form hätte dann andere Substitutionsregeln als die Penrose Kacheln (sie Bild) und wohl auch keine lokale 5-zählige Rotationssymmetrie mehr. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_monokachel_zacken.jpg


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  Beitrag No.218, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-14

Was man allerdings bei solchen Näherungen mit Lücken auch immer berücksichtigen muss, ist eine periodische Anordnung mit Lücken. Hier sind es sogar nur drei kleinere. Eine echte Approximation sollte eben auch nur eine nichtperiodische Anordnung zulassen, trotz Lücken. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_periodic_monotile_aprox.png Jetzt könnte man noch untersuchen, ob auf einer größeren Fläche die Fläche der Lücken insgesamt größer, kleiner oder gleich ist.


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  Beitrag No.219, eingetragen 2021-08-20

Moin, sieht doch gut aus Es ist nicht „genialer Input“ was Dich weiterbringen würde weil neue Ideen doch nicht wirklich von außerhalb kommen, Eher würde ich die Zusammenarbeit „ verspielte Wechselwirkung“ nennen Und noch ehrlicher: „harte ausdauernde arbeit‘ Haribo


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Moin zurück! Ja, mit #219 hast du recht. Diese Substitutionsregeln sind in diesem Video gut erklärt. Das Bild in #217 zeigt übrigens das Parkett ausgehend von einer lokalen 5er-Symmetrie. Wenn man die Subregeln anwendet, entsteht immer ein leicht "ausgefranstes" Parkett (siehe Video). Es gibt also nur ein einziges unendliches Penrose Parkett (mit gezähnten Kacheln auch ganz ohne Subregeln) und in diesem einzigen möglichen Parkett existiert genau ein Punkt von dem die 5er-Symmetrie bis ins Unendliche geht. Deshalb müsste sich ein nicht-periodisches Penrose Parkett auch als Spirale aus zwei Protokacheln definieren lassen. Im Zusammenhang mit Spiralparkettierungen und deren periodischen Sektoren müsste dann eine Penrose-Spirale eben nur nichtperiodische Sektoren besitzen. ...mal so auf die Schnelle zusammengereimt 😉 Die Subregeln der Kachel aus #217 lassen sich übrigens kombinieren. Angewendet gibt es aber Überlappungen und auch Lücken. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_monosubneu.png


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Vielleicht hast du eine Idee dazu, wie man die Socolar-Taylor-Kachel verbunden darstellen könnte, also als abgeschlossene topologische Scheibe? 100 prozentig wird es wohl nicht klappen, aber vielleicht können wir die 13 Einzelteile reduzieren. Wird aber bestimmt kein leichtes Unterfangen. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_Socolar-Taylor_tile.png Wie die Kacheln aneinandergesetzt werden, erfährt man hier.


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