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Strukturen und Algebra » Ringe » Komplexprodukt von Idealen wieder Ideal
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Universität/Hochschule J Komplexprodukt von Idealen wieder Ideal
Scheystein
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Hallo, ausgehend von diesem Beitrag \quoteon(2009-08-11 20:11 - Martin_Infinite in Beitrag No. 4) probiere (x,y)2 in k[x,y]. ps: hauptideale scheiden aus. [ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 11.08.2009 20:15:42 ] \quoteoff will ich untersuchen, wann das Komplexprodukt $\mathfrak{a}\mathfrak{b} = \{ a\cdot b \mid a \in \mathfrak{a}, b \in \mathfrak{b} \}$ ein zweiseitiges Ideal ist. Ich weiß bereits, dass dies nicht immer ein Ideal ist. Ich benutze die Definitionen aus Wikipedia. Nun habe ich mir folgendes überlegt: ---------------------------------------- Lemma 1 Sei $(R, + , \cdot)$ ein Pseudo-Ring (möglicherweise ohne $1$) und $\mathfrak{a}$ linksseitiges und $\mathfrak{b}$ ein rechtsseitiges Ideal von $R$. Dann ist für $c \in \mathfrak{a}\mathfrak{b}$ und $r \in R$ das Produkt [edit] $r \cdot c, c \cdot r \in \mathfrak{a}\mathfrak{b}$. Beweis: Sieht man sehr leicht ;-) ---------------------------------------- Satz 1 Sei $(R, + , \cdot)$ ein Ring und $\mathfrak{a}$ zwei linksseitiges und $\mathfrak{b}$ ein rechtsseitiges Ideal von $R$. Zudem sei $\mathfrak{a}$ ein rechtsseitiges Hauptideal oder $\mathfrak{b}$ ein linksseitiges Hauptideal. Dann ist $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ ein zweiseitiges Ideal in $R$. Beweis: Wir nehmen an, dass $\mathfrak{a}$ ein rechtsseitiges Hauptideal mit Erzeuger $a$ ist. Dann gilt $\mathfrak{a} = aR$. Zunächst zeigen wir, dass $\mathfrak{a}\mathfrak{b} \leq R$ eine abelsche Untergruppe ist. Seien $c,d \in \mathfrak{a}\mathfrak{b}$. Dann finden wir $a_c, a_d \in \mathfrak{a}$ und $b_c, b_d \in \mathfrak{b}$ und weiter $r_c, r_d \in R$ mit $c = a r_c b_c$ und $d = a r_d b_d$. Es gilt \[c - d = a r_c b_c - a r_d b_d = a (r_c b_c - r_d b_d) \in \mathfrak{a}\mathfrak{b}\] Also ist $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ eine abelsche Untergruppe von $R$. Die Kommutativität ist klar. Mit Lemma 1 folgt, dass $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ ein zweiseitiges Ideal von $R$ ist. Für $\mathbb{b}$ ein linksseitiges Hauptideal folgt dies analog. ---------------------------------------- Ich bin mir recht sicher, dass Satz $1$ auch für Ringe ohne $1$ gilt. Es sind ja lediglich Summen. Nun ist die eigentlich Frage: Sind meine obigen Beweise richtig? und insbesondere kennt jemand noch eine Verschärfung? Am besten wäre ein Charakterisierung "$\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ ist zweiseitiges Ideal genau dann wenn ...". Vielleicht hilft ja $\mathfrak{a}\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}$. Hat da jemand eine Idee :-) Gruß Scheystein


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Creasy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-16

Hey Scheystein \quoteon Dann ist $r\cdot c,c\cdot r\in\mathfrak{a}\mathfrak{b}$. \quoteoff Was ist hier $c$? Vermutlich auch in dem Komplexprodukt? \quoteon Zudem sei $\mathfrak{a}$ ein linksseitiges Hauptideal \quoteoff Ist das Ideal dann nicht von der Form $Ra$? (Zumindest für Ringe mit 1) Zumindest steht es auch so in dem von dir verlinkten Artikel. Das ändert den Beweis. Das Bsp. vom letzten Mal: $R=Mat_{2\times2}(\mathbb{R})$, $\mathfrak{a}=R\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ und $\mathfrak{b}=R$ dürfte die Anforderungen des Satzes erfüllen, aber im Komplexprodukt liegen nur Matrizen mit Rang $<2$ (da $a$ keinen vollen Rang hat), aber wenn ich mich Recht erinnere haben wir zeigen können, dass man durch Addition verschiedener Elemente im Komplexprodukt die Einheitsmatrix erzeugen konnte. Damit wäre das Komplexprodudkt nicht abgeschlossen unter der Addition. Ich glaube der Satz 1 so wie er da steht ist nicht korrekt, aber da ich wenig Theorie über nicht-kommutative Ringe kenne mag ich mich irren. Beste Grüße Creasy


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Scheystein
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Hallo Creasy, \quoteon(2019-03-16 17:18 - Creasy in Beitrag No. 1) Hey Scheystein \quoteon Dann ist $r\cdot c,c\cdot r\in\mathfrak{a}\mathfrak{b}$. \quoteoff Was ist hier $c$? Vermutlich auch in dem Komplexprodukt? \quoteon Zudem sei $\mathfrak{a}$ ein linksseitiges Hauptideal \quoteoff Ist das Ideal dann nicht von der Form $Ra$? (Zumindest für Ringe mit 1) Zumindest steht es auch so in dem von dir verlinkten Artikel. Das ändert den Beweis. Das Bsp. vom letzten Mal: $R=Mat_{2\times2}(\mathbb{R})$, $\mathfrak{a}=R\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ und $\mathfrak{b}=R$ dürfte die Anforderungen des Satzes erfüllen, aber im Komplexprodukt liegen nur Matrizen mit Rang $<2$ (da $a$ keinen vollen Rang hat), aber wenn ich mich Recht erinnere haben wir zeigen können, dass man durch Addition verschiedener Elemente im Komplexprodukt die Einheitsmatrix erzeugen konnte. Damit wäre das Komplexprodudkt nicht abgeschlossen unter der Addition. Ich glaube der Satz 1 so wie er da steht ist nicht korrekt, aber da ich wenig Theorie über nicht-kommutative Ringe kenne mag ich mich irren. Beste Grüße Creasy \quoteoff Wieder vielen Dank für deine Antwort. Ich habe die Bezeichnung im Satz verwechselt - diese richtet sich ja nach der Menge $R$ und nicht dem Element $a$ - und oben angepasst. Ja du hast recht, dass linksseitige Ideale in unitären Ringen die Form $Ra$ haben ;-) Zu dem Beispiel. Ja der Matrizenring ist unitär und die angegebenen Mengen $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$ sind Ideale. Jedoch ist dein angegebenes Ideal ein Linkshauptideal und kein Rechtshauptideal (denke ich). Sry, dass ich mich bei der Formulierung im Startbeitrag verschrieben habe :-( Gruß Scheystein


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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-16

Hey wenn man die Bedingungen natürlich ändert, passt das Bsp nicht mehr und jetzt glaube ich dir auch den Beweis :). Eine Verschärfung ist mir nicht bekannt, aber wie gesagt: Habe mich nie damit beschäftigt. Viel Erfolg


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Scheystein
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\quoteon(2019-03-16 18:45 - Creasy in Beitrag No. 3) Hey wenn man die Bedingungen natürlich ändert, passt das Bsp nicht mehr und jetzt glaube ich dir auch den Beweis :). Eine Verschärfung ist mir nicht bekannt, aber wie gesagt: Habe mich nie damit beschäftigt. Viel Erfolg \quoteoff Mit der vorherigen Bezeichnung war ja schon der zweite Satz irreführend :-D Vielleicht kennt ja jemand eine Charakterisierung oder ich werde eine solche in einem (anderen) Buch finden.


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